Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873819 писал(а):

Я не предлагал их выкинуть совсем.

А я не предлагал ограничиться только ими, зачем эти пустые дебаты? Пойдите лучше почитайте про некоммутативную геометрию.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873794 писал(а):

Стартовая площадка для понятия непрерывности есть у любого человека в голове.

Начинать с конкретных примеров легче, чем со смутной интуиции, не надо вешать мне лапшу на уши.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873850 писал(а):

Начинать с конкретных примеров легче, чем со смутной интуиции, не надо вешать мне лапшу на уши.

Непрерывность — это не смутная интуиция. Любой ребенок отличит график непрерывной функции от разрывной. И даже если ему заранее не говорить, он объяснит, чем эти два графика отличаются. И не нужно ему для этого знать, чем синус отличается от многочлена.

Кроме того, разрывных функций (чтобы на бесконечность не уходили) среди элементарных еще поискать. Разве что дробная часть или функция Хевисайда.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873856 писал(а):

Непрерывность — это не смутная интуиция. Любой ребенок отличит график непрерывной функции от разрывной.

И любой ребёнок понимает, что такое площадь и как её приблизить. Значит так: дельта для каждого эпсилон -- это то самое, а примеров, когда дельта пропорциональна эпсилон или степени эпсилон приводить нельзя, т.е ни аналитических, ни алгебраических, ни дважды дифференцируемых функций -- нельзя. Это какая-то комедия. И всё это ради того, чтобы убедить людей какая пропасть лежит между непрерывными и элементарными функциями, и что без заумных определений и длиннющих рассуждений ничего никогда не выйдет. И все должны зубрить именно тот матан, который вызубрили "математики," а иначе они никакого понимания не заслуживают, и пусть всё делают по справочнику или просто вбивают числа в компьютер, как сказал жрец высокой науки ex-math. Я всё понял.

-- 09.06.2014, 22:00 --

g______d в сообщении #873794 писал(а):

Потому что это не те частные случаи. Между "научиться определять интеграл от произвольной непрерывной функции" и "научиться определять интеграл от многочленов и синусов" находится огромная пропасть.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873865 писал(а):

а примеров, когда дельта пропорциональна эпсилон или степени эпсилон приводить нельзя, т.е ни аналитических, ни алгебраических, ни дважды дифференцируемых функций -- нельзя. Это какая-то комедия.

Кто сказал, что нельзя? Можно. Просто во главу угла их ставить неправильно; по крайней мере, по-моему скромному мнению.

mishafromusa в сообщении #873865 писал(а):

И всё это ради того, чтобы убедить людей какая пропасть лежит между непрерывными и элементарными функциями

Ну так с этим связана революция в анализе; когда люди поняли, что функция – это отображение, вовсе не обязательно заданное формулой. С понимания этого начался настоящий анализ. А Вы хотите студентов этого лишить и вернуть в начало 19 века, а то и раньше.

mishafromusa в сообщении #873865 писал(а):

без заумных определений и длиннющих рассуждений ничего никогда не выйдет

Да какие же они заумные и длиннющие? У меня они классе в девятом или десятом не вызывали проблем, причем я даже в первой пятерке своего класса не был. Неужели перво/второкурсник с ними не справится, учитывая, что сложных задач им не задают? А если не справится, то, может быть, ему стоит задуматься о целесообразности получения высшего образования?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873866 писал(а):

А Вы хотите студентов этого лишить и вернуть в начало 19 века, а то и раньше.

Да не хочу я никого ничего лишить, просто хочу сначала показать в чём суть дела на простых примерах, Это Вы пихаете всем одну и ту же "революционную" общность с самого начала, так что люди начинают задумываться стоит ли учиться. Вы просто не хотите понять, что не все склонны к абстракциям, особенно тем, которые на данном уровне беспредметны и никому не нужны.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873868 писал(а):

Да не хочу а никого ничего лишить, просто хочу сначала показать в чём суть дела на простых примерах

По-моему, наоборот; Вы как можно быстрее хотите создать иллюзию понимания на примере элементарных функций, отдаляя (от большинства студентов насовсем) тот факт, что элементарность здесь абсолютно ни при чём. Суть дела это вовсе не проясняет.

mishafromusa в сообщении #873868 писал(а):

Это Вы пихаете всем одну и ту же "революционную" общность с самого начала

Революционной она была 200 лет назад. Сейчас это уровень практически начальных классов. Кроме того, такое понятие функции лучше всего согласуется с Computer Science, т. к. там тоже функция – это "чёрный ящик", которому на вход дают аргумент, а на выходе получают значение. Не понимаю, чего тут упрямиться.

mishafromusa в сообщении #873868 писал(а):

начинают задумываться стоит ли учиться

Зачем потакать студентам-раздолбаям и превращать университет в детский сад?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873870 писал(а):

Зачем потакать студентам-раздолбаям и превращать университет в детский сад?

Конечно, нужно только потакать раздолбаям "математикам" которым лень объяснить по-человечески, а не кормить всех одной и той же абстрактной жевачкой.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873872 писал(а):

лень объяснить по-человечески, а не кормить всех одной и той же абстрактной жевачкой

По-человечески. Функция – чёрный ящик (большинство не-математиков программисты, и у них не будет с этим проблем). Непрерывность – на графике ни единого разрыва. Производная – скорость изменения функции. На калькулюсе ровно по-человечески и объясняют, в чём проблемы?

Каждое понятие имеет смысл по отдельности и формализуется при необходимости.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #873734 писал(а):

Но тут ещё вот какой вопрос: насколько разумно вычислять производную, как предел разностного отношения, ведь это приводит к катастрофической потере точности, т.е с вычислительной точки зрения это очень неважный метод.

И тем не менее -- иногда он необходим. Даже для вычисления производных от конкретных функций, не говоря уж о построении всевозможных конечноразностных схем. Если производная есть предел -- такие построения просты и естественны; если же производная -- лишь алгебраический экзерсис, то всё погружается в туман.

mishafromusa в сообщении #873801 писал(а):

Теорема о том, что функция с положительной производной возрастает, доказывается в 2 строчки, и не требует существования экстремального значения.

Экстремальные значения к монотонности вообще не имеют никакого отношения, при любом подходе. В обратную же сторону, т.е. использование монотонности для поисков экстремума -- возможно, существенно в Вашем варианте, но не нужно при обычном построении курса. И, что существенно, не нужно вычислительно.

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

вместо многих переменных ограничиться двумя, этим же числом ограничить порядок дифуров,

Это вредновато. Ограничение двумя переменными при анализе на экстремум тщательно затуманивает суть дела; в случае линейных дифуров -- аналогично, фактически теряется принципиальная идея пространства решений (другое дело, что задачи от отчаяния можно действительно предлагать лишь 2-го порядка).

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

вместо произвольной замены в двойном интеграле взять только полярную,

Может быть; но надо понимать, что это -- неадекватная замена. Для полярной замены (и отчасти сферической) достаточно очень специфических геометрических соображений, что опять же изымает из оборота суть дела.

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

сходимость рядов Фурье смотреть только для кусочно-дифференцируемых функций

А тут я, наоборот, проявил бы ещё больший экстремизм: при крайнем недостатке времени о поточечной сходимости можно и вообще ничего не говорить. Вот обойти вопрос о том, что это разложение по ортогональным составляющим -- никак не возможно.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873872 писал(а):

раздолбаям "математикам" которым лень объяснить по-человечески, а не кормить всех одной и той же абстрактной жевачкой.

Непрерывность это не абстрактная жвачка, как раз именно приложения без непрерывности немыслимы, физикой нельзя заниматься без непрерывности. Физик хочет сказать: "близким начальным данным соответствуют близкие траектории". Он ,что должен эту мысль в терминах модулей непрерывности формулировать? Прикладникам после Вас придется студентов переучивать. Физическое содержание понятия "скорость точки" например, выражется именно пределным переходом, от которого Вы так хотите избавиться.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #873805 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873801 писал(а):

Теорема о том, что функция с положительной производной возрастает, доказывается в 2 строчки

дык это и так доказывается в 2 строчки, в одну даже

Только после артиллерийской подготовки на 20 страниц.

-- 10.06.2014, 04:04 --

ewert в сообщении #873890 писал(а):

Даже для вычисления производных от конкретных функций, не говоря уж о построении всевозможных конечноразностных схем

Да, но никто разностные схемы не дифференцирует, их интегрируют.

-- 10.06.2014, 04:10 --

mishafromusa в сообщении #873926 писал(а):

Если производная есть предел -- такие построения просты и естественны; если же производная -- лишь алгебраический экзерсис, то всё погружается в туман.

Да у меня же тоже есть оценки, но сначала конкретные, а не эпсилон -дельта, мы же это уже с Вами лично обсуждали, а Вы опять про алгебраический экзерсис, как испорченная пластинка.

-- 10.06.2014, 04:23 --

ewert в сообщении #873890 писал(а):

Экстремальные значения к монотонности вообще не имеют никакого отношения, при любом подходе. В обратную же сторону, т.е. использование монотонности для поисков экстремума -- возможно, существенно в Вашем варианте, но не нужно при обычном построении курса. И, что существенно, не нужно вычислительно.

Вот именно, не имеют, а во многих книжках по анализу монотонность выводится из теоремы Лагранжа, которая выводится из теоремы Ролля, которая выводится из существования максимума. В другом популярном доказательстве нужно существование точной верхней грани, т.е. полнота. И мы это тоже лично обсуждали.

-- 10.06.2014, 04:47 --

g______d в сообщении #873875 писал(а):

На калькулюсе ровно по-человечески и объясняют, в чём проблемы?

В том, что сложный и абстрактно-теоретический материал, т.е. полнота, пределы и непрерывность, предшествуют более простому материалу, т.е дифференцированию, интегрированию и ДУ. Такая последовательность имеет смысл, если проводятся доказателства, а доказательства в калькулюсе либо опускаются, либо проводятся очень схематично, либо выделяются в приложение в конце книжки, которое никто не читает. В результате теоретического понимание не развивается, а к практическим аспектам переходят слишком медленно и поздно.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #873892 писал(а):

Непрерывность это не абстрактная жвачка, как раз именно приложения без непрерывности немыслимы, физикой нельзя заниматься без непрерывности.

Они не мыслимы Вам, так как Вы привыкли мыслить в терминак пределов и непрерывности. Физикой замечательнозанимались до середины 19-го века, и в каких книжках по физике вы видели пределы и непрепывность?

-- 10.06.2014, 05:06 --

Oleg Zubelevich в сообщении #873892 писал(а):

Физик хочет сказать: "близким начальным данным соответствуют близкие траектории". Он ,что должен эту мысль в терминах модулей непрерывности формулировать?

Это часто бывает полезным, когда нужно понять насколько быстро меняется функция, какую надо взять точность, насколько близки траектории. Многие важные детали теряются или смазываются, когда мы переходим к непрерывности вообще.

-- 10.06.2014, 05:24 --

Oleg Zubelevich в сообщении #873892 писал(а):

Прикладникам после Вас придется студентов переучивать. Физическое содержание понятия "скорость точки" например, выражется именно пределным переходом, от которого Вы так хотите избавиться.

Так я же и не предлагаю полностью исключить непрерывность и пределы, наоборот, их становится легче понять после рассмотрения и использования более явных оценок и после работы с производными и интегралами в более простых ситуациях. Когда мы собираем все мыслимые модули непрерывности в одну кучу, мы и получаем все непрерывные функции. Да и с эпсилонами и дельтами разобраться проще, когда мы разобрались с конкретными модулями непрерывности.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873870 писал(а):

По-моему, наоборот; Вы как можно быстрее хотите создать иллюзию понимания на примере элементарных функций, отдаляя (от большинства студентов насовсем) тот факт, что элементарность здесь абсолютно ни при чём. Суть дела это вовсе не проясняет.

То, что оценки сначала выявляются на элементарных функциях, именно и выясняет суть дела, которая состоит именно в оценках. Пределы и непрерывность -- это терминология для оценок, и если вводить терминологию преждевременно, то она затемняет суть дела и создаёт иллюзию понимания.

-- 10.06.2014, 06:24 --

g______d в сообщении #873794 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873784 писал(а):

Между прочим, такой подход был испробовван одним профессором в Боннском университете, и результаты были лучше, чем при обычном подходе.

Слишком мало данных. Если будет конкретная программа курса, будут и более конкретные претензии.

Так вот же есть записки леций, и даже по-английски, и заметка о подходе на стр. 110:
http://www.math.uni-bonn.de/people/karc ... formly.pdf Это не совсем то, что предлагаю я, но близко. И почему именно претензии? Может наоборот возьмёте идеи на вооружение?

-- 10.06.2014, 07:05 --

mishafromusa в сообщении #873796 писал(а):

Слишком мало данных. Если будет конкретная программа курса, будут и более конкретные претензии.

Вот ещё одна книжка, которую я уже упоминал в дискусси о первом замечательном пределе: http://f3.tiera.ru/2/M_Mathematics/MC_C ... _MCet_.pdf В первых двух главах подробно разбирается "допредельные" анализ и ОДУ, а "строгое" обоснование, т.е. классический анализ, откладывается до главы 3. Рекомендую, как пример разумного подхода к предмету.

[Ms-dos4]

Скажу как физик, что меня бы такая система только запутала. По моему эпсилон-дельта формализм достаточно прозрачен и прост, и как раз таки нематематикам вообще нет смысла лезть в какую-то "пургу" и разбирать эти частные случаи, если и так всё понятно. Так что мне кажется это излишняя вещь, которая абсолютно ничего нового не даёт.