Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873941 писал(а):

Физикой замечательнозанимались до середины 19-го века,

и прекрасно понимали, что такое непрерывность со времен Ньютона, Лейбница ,Эйлера. Флюенты это как раз o-малые в нашем понимании. Просто o-малые, а не какие-то конкретные степени

mishafromusa в сообщении #873941 писал(а):

в каких книжках по физике вы видели пределы и непрепывность?

во всех, когда в книжке по физике написано ,что что-то там является бесконечно малым, то это и есть идея непрерывности и предельного перехода. А вот степенных оценок (еще и равномерных) в книжках по физике действительно не пишут

[mishafromusa]

А вот статейка про то, как Эйлер определял производную: http://www.ams.org/journals/bull/2007-4 ... 1174-3.pdf

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873987 писал(а):

А вот статейка про то, как Эйлер определял производную: http://www.ams.org/journals/bull/2007-4 ... 1174-3.pdf

там рассмотрен случай многочлена и тригонометрических функций через разложения в ряды. общего определения я там не шашел, Вашего в частности

[mishafromusa]

Ms-dos4 в сообщении #873983 писал(а):

Скажу как физик, что меня бы такая система только запутала.

Неизвестно, это Вы сейчас так говорите, когда эпсилоны и дельты вдолблены Вам в голову. А как физику, вам было бы приятнее наверное сразу научиться решать задачки по физике, используя ДУ на интуитивном и формальном уровне.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873992 писал(а):

используя ДУ на интуитивном и формальном уровне

ну для ДУ Ваша техника вообще не годится

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #873990 писал(а):

общего определения я там не шашел

И он прекрасно управлялся и без "общего" определения.

-- 10.06.2014, 07:52 --

Oleg Zubelevich в сообщении #873997 писал(а):

ну для ДУ Ваша техника вообще не годится

Почему? Да я и не предлагал её для достаточно продвинутых вопросов в ДУ. Кстати, в своей книжке Арнольд говорит, что он всегда предполагает достаточную гладкость, так что липшицевой и уж наверняка Гёльдеровской теории вполне достаточно. Единственное место, где появляются общая непрерывность -- это топологическая классификация линейных систем.

[Ms-dos4]

mishafromusa
Не знаю, что такое решать ДУ на интуитивном уровне, но переменные отделять и решать ЛДУ можно научится ещё в школе, там ничего трудного нет, причём там и "эпсилон-дельта" не нужен, только дифференцировать да интегрировать уметь. Я говорю, что сначала можно вообще заниматься дифф. и инт. без обоснования, а затем уже ввести их строго, но вот этот "промежуточный этап" кажется мне абсолютно ненужным.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #873987 писал(а):

в книжке по физике написано ,что что-то там является бесконечно малым, то это и есть идея непрерывности и предельного перехода.

А когда там говортся о бесконечно малых первого, второго итд. порядков, не Липщицева ли это оценка?

-- 10.06.2014, 08:10 --

Ms-dos4 в сообщении #874000 писал(а):

mishafromusa
Не знаю, что такое решать ДУ на интуитивном уровне, но переменные отделять и решать ЛДУ можно научится ещё в школе, там ничего трудного нет, причём там и "эпсилон-дельта" не нужен, только дифференцировать да интегрировать уметь. Я говорю, что сначала можно вообще заниматься дифф. и инт. без обоснования, а затем уже ввести их строго, но вот этот "промежуточный этап" кажется мне абсолютно ненужным.

Абсолютно согласен, но прыгать сразу к эпсилонам и дельтам для многих трудно, это раз, а во-вторых -- это создаёт впечатление, что это единственный разумный подход, и кроме эпсилонов и дельт ничего нет, а это не так.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873999 писал(а):

Почему?

а Вы теорему существования и единственности Коши докажите с Вашим поределением производной и непрерывной функции.

mishafromusa в сообщении #874001 писал(а):

А когда там говортся о бесконечно малых первого, второго итд. порядков, не Липщицева ли это оценка?

ну там ведь не каждый раз говорится про порядки малости, а Вы хотите чтоб каждый раз говорилось. Это не упрощение , это усложнение.

[Munin]

g______d в сообщении #873794 писал(а):

Если и позволяет, то значительно хуже. Например, затуманивает физический смысл значения производной в точке; а ведь это именно то, что (в хорошем приближении) показывает спидометр.

Простите, а вы знаете, что в физическом смысле показывает спидометр? Именно $\Delta s/\Delta t.$

g______d в сообщении #873794 писал(а):

Стартовая площадка для понятия непрерывности есть у любого человека в голове.

Хорошо. Вопрос: как дать понятие производной, используя понятие непрерывности, но не используя понятие предела?

g______d в сообщении #873819 писал(а):

Элементарные функции являются выделенными с точки зрения алгебры, геометрии и топологии

По-моему, два последних - в очень натянутом смысле.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874005 писал(а):

а Вы теорему существования и единственности Коши докажите с Вашим поределением производной и непрерывной функции.

По-моему с итерациями Пикара никаких проблем не возникает, а для единственности как раз липшицевость чаще всего и используется, т.е. от неё тоже есть толк.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873816 писал(а):

Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.

В смысле обобщенные решения УРЧП абстрактная чепуха? Ударные волны -- абстрактная чепуха, так?

-- Вт июн 10, 2014 15:30:20 --

mishafromusa в сообщении #874008 писал(а):

По-моему с итерациями Пикара никаких проблем не возникает, а для единственности как раз липшицевость чаще всего и используется, т.е. от неё тоже есть толк.

давайте подробней. Докажите, что итерационный процесс сходится в пространстве непрерывных ( в Вашем смысле) функций

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874009 писал(а):

В смысле обобщенные решения УРЧП абстрактная чепуха? Ударные волны -- абстрактная чепуха, так?

Ну это же сильно потом...

[Oleg Zubelevich]

А что значит потом, пока Вы говорили про методику преподавания, это еще можно было обсуждать, когда Вы начали делать глобальные заявления про анализ в целом, то тут уже трудно удержаться от сильных выражений.

[Munin]

g______d в сообщении #873856 писал(а):

Любой ребенок отличит график непрерывной функции от разрывной.

Ну вот не надо подменять понятия.

Любой ребёнок отличит график непрерывной функции от графика функции, непрерывной всюду кроме разрыва 1 или 2 рода.

А вот всякие "патологии" и искусственно построенные контрпримеры ребёнку лучше не показывать. Функцию Дирихле, снежинку Коха и т. п.

g______d в сообщении #873870 писал(а):

Революционной она была 200 лет назад. Сейчас это уровень практически начальных классов. Кроме того, такое понятие функции лучше всего согласуется с Computer Science, т. к. там тоже функция – это "чёрный ящик", которому на вход дают аргумент, а на выходе получают значение. Не понимаю, чего тут упрямиться.

Всё-таки, это уровень начальных классов для "довольно хороших" примеров. А изучение "патологий" и контрпримеров - уже сложно.

Да, класс "довольно хороших" примеров шире элементарных функций. Но он и у́же того, за что вы ратуете. Формализовать его - задача непростая и неоднозначная. Модуль может как попасть в него, так и не попасть.

g______d в сообщении #873870 писал(а):

Зачем потакать студентам-раздолбаям и превращать университет в детский сад?

Вопрос тонкий. Снизите порог трудности слишком низко - будете потакать студентам-раздолбаям. Завысите его слишком высоко - потеряете "крепких середнячков", будете иметь дело только с дарованиями, да и их замучаете так, что они интерес потеряют.

Тема, напоминаю, называется "преподавание матанализа нематематикам". А нематематики - это массовый поток. Тысячи инженеров каждый год на выходе каждого вуза. Тут нельзя только на дарования ориентироваться.

Вспомните об этом, please. Речь не о мехмате.

Oleg Zubelevich в сообщении #873892 писал(а):

Физик хочет сказать: "близким начальным данным соответствуют близкие траектории".

Блестящий point!

А теперь обратим внимание на тот забавный факт, что это не непрерывность!!!

Начиная с того, что "близкие" у физика не означает "бесконечно близкие", и "в пределе бесконечно близкие". Физик работает с конкретными числами. Функцию, для которой для заданного (а не любого!) $\delta>0$ весь график попадает в квадрат $|\Delta x|<\delta,\quad|\Delta y|<\delta,$ физик готов назвать непрерывной. Ему не нужны ни $\delta$ слишком большие - нет никакой пользы от слишком слабых гарантий на разброс $y$-ов. Ему не нужны ни $\delta$ слишком малые - он их попросту не сможет задать и проконтролировать. Можно также назвать непрерывной функцию $Cy(x),$ где $C$ - константа. Но тут, опять, $C$ не нужна ни слишком большая, ни слишком малая - она должна оставлять $C\delta$ в "лабораторных масштабах" величин.

Не знаю, как по мне, так это похоже на липшицевость. Может, я каких нюансов не замечаю.

Oleg Zubelevich в сообщении #873892 писал(а):

Прикладникам после Вас придется студентов переучивать.

Вот прикладникам как раз - нет.

Это вы думаете, что им придётся студентов переучивать два раза? Сначала с липшицевости на непрерывность, а потом обратно на то, что нужно в реальном мире от спидометра? :-)

mishafromusa в сообщении #873941 писал(а):

Они не мыслимы Вам, так как Вы привыкли мыслить в терминак пределов и непрерывности. Физикой замечательнозанимались до середины 19-го века, и в каких книжках по физике вы видели пределы и непрепывность?

Не завирайтесь. Физика - наука про непрерывность. Вот только не про пределы. Это разные вещи для физиков.

-- 10.06.2014 16:56:39 --

Ms-dos4 в сообщении #873983 писал(а):

По моему эпсилон-дельта формализм достаточно прозрачен и прост

Что интересно, о том, что это сложный раздел для преподавания, говорят сами преподаватели математики. Те самые, которые за него и ратуют, например, тот же самый ewert. Парадоксально!