Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

ex-math, Ваша позиция мне ясна, и разговаривать нам не о чем.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873745 писал(а):

И я же не говорю, что общая теория вообще не нужна, но начинать с неё точно не стоит, и насколько она должна быть общей -- это тоже вопрос.

Достаточно общей, чтобы понять, что первично не соотношение "косинус является производной синуса", а операция дифференцирования, которую можно (по крайней мере попытаться) применить к произвольной функции.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873763 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873745 писал(а):

И я же не говорю, что общая теория вообще не нужна, но начинать с неё точно не стоит, и насколько она должна быть общей -- это тоже вопрос.

Достаточно общей, чтобы понять, что первично не соотношение "косинус является производной синуса", а операция дифференцирования, которую можно (по крайней мере попытаться) применить к произвольной функции.

А что, разве Липшицева дифференцируемость этого не позволяет понять?

[ex-math]

mishafromusa
Как угодно. Но эту позицию разделяют все Ваши собеседники в данной теме. Повод задуматься.

(Если так коробит, можете не читать -- на всякий случай скрываю)

Основное возражение -- вы усложняете. Вместо того, чтобы разложить на составляющие, предлагаете некий конгломерат. Суть это затуманивает, в вычислениях не помогает. Следовательно, не нужно (при любой цели курса).

-- 10.06.2014, 00:17 --

Кстати, если уж говорить об упрощении, я предпочитаю ограничиваться в изложении важными частными случаями. Например, интегрировать только кусочно-непрерывные функции, вместо многих переменных ограничиться двумя, этим же числом ограничить порядок дифуров, вместо произвольной замены в двойном интеграле взять только полярную, сходимость рядов Фурье смотреть только для кусочно-дифференцируемых функций и т.п. При этом изложение упрощается, экономится время, но понимание сущности понятий анализа и их связей друг с другом не страдает. Для нужд практических вычислений этого вполне хватает, а если кто захочет расширить и углубить свое понимание, то у него будет хорошая стартовая площадка.

[mishafromusa]

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

Основное возражение -- вы усложняете. Вместо того, чтобы разложить на составляющие, предлагаете некий конгломерат. Суть это затуманивает, в вычислениях не помогает. Следовательно, не нужно (при любой цели курса).

Беда в том, что у Вас слишком узкое понятие о сути и о том, что такое математика. Не нужно -- так и не берите в голову, желаю удачи.

[Munin]

ex-math в сообщении #873750 писал(а):

Либо мы хотим, чтобы студенты поняли связи между понятиями (т.е. научились математике).

Это интересная формулировка. Но нужны ли для этого доказательства? Или достаточно самих понятий?

-- 10.06.2014 00:34:38 --

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

Но эту позицию разделяют все Ваши собеседники в данной теме.

А вот за всех вы зря высказываетесь.

-- 10.06.2014 00:36:18 --

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

Основное возражение -- вы усложняете. Вместо того, чтобы разложить на составляющие, предлагаете некий конгломерат. Суть это затуманивает

Не всем удобно воспринимать суть, начиная с составляющих. Некоторым - желательно сначала показать целое, к которому стремимся, а потом уже раскладывать его.

[mishafromusa]

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

Для нужд практических вычислений этого вполне хватает, а если кто захочет расширить и углубить свое понимание, то у него будет хорошая стартовая площадка.

А если человек сначала научится формальному дифференцированию и интегрированию, порешает простенькие дифференциальные уравнения, потом познакомится с липшицевыми оценками, которые хорошо работают для достаточто гладких функций, то у него не будет стартовой плошадки для того, чтобы понять непрерывность? Откуда уверенность? Между прочим, такой подход был испробован одним профессором в Боннском университете, и результаты были лучше, чем при обычном подходе.

-- 09.06.2014, 16:59 --

ex-math в сообщении #873772 писал(а):

Кстати, если уж говорить об упрощении, я предпочитаю ограничиваться в изложении важными частными случаями.

Тогда почему Вы запрещаете это делать другим, хотя бы в начале курса?!

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873766 писал(а):

А что, разве Липшицева дифференцируемость этого не позволяет понять?

Если и позволяет, то значительно хуже. Например, затуманивает физический смысл значения производной в точке; а ведь это именно то, что (в хорошем приближении) показывает спидометр.

Munin в сообщении #873779 писал(а):

Некоторым - желательно сначала показать целое, к которому стремимся, а потом уже раскладывать его.

У меня просто создалось впечатление, что целью является показать, что производная синуса — это косинус, и т. п. Я не считаю это благородной целью для анализа. Это алгебраический факт, в определенном смысле.

mishafromusa в сообщении #873784 писал(а):

Тогда почему Вы запрещаете это делать другим, хотя бы в начале курса?!

Потому что это не те частные случаи. Между "научиться определять интеграл от произвольной непрерывной функции" и "научиться определять интеграл от многочленов и синусов" находится огромная пропасть.

mishafromusa в сообщении #873784 писал(а):

А если человек сначала научится формальному дифференцированию и интегрированию, порешает простенькие дифференциальные уравнения, потом познакомится с липшицевыми оценками, которые хорошо работают для достаточто гладких функций, то у него не будет стартовой плошадки для того, чтобы понять непрерывность?

Стартовая площадка для понятия непрерывности есть у любого человека в голове.

mishafromusa в сообщении #873784 писал(а):

Между прочим, такой подход был испробовван одним профессором в Боннском университете, и результаты были лучше, чем при обычном подходе.

Слишком мало данных. Если будет конкретная программа курса, будут и более конкретные претензии.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873794 писал(а):

Если и позволяет, то значительно хуже. Например, затуманивает физический смысл значения производной в точке; а ведь это именно то, что (в хорошем приближении) показывает спидометр.

Да мы же это уже обсуждали, липшицева оценка показывает что функция линейна с точтостью до квадратичной ошибки, если это не выявляет физический смысл производной, то я не знаю что его выявляет.

-- 09.06.2014, 17:43 --

g______d в сообщении #873794 писал(а):

У меня просто создалось впечатление, что целью является показать, что производная синуса — это косинус, и т. п. Я не считаю это благородной целью для анализа. Это алгебраический факт, в определенном смысле.

Откуда оно у Вас создалось? И зачем намекать, что это единственная цель? И разве анализ не основан на такого сорта алгебраических фактах?

[Oleg Zubelevich]

покажите теорему , доказательство которой упростилось

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #873799 писал(а):

покажите теорему , доказательство которой упростилось

Теорема о том, что функция с положительной производной возрастает, доказывается в 2 строчки, и не требует существования экстремального значения. Построение интеграла проще в случае равномерно липшицевых функций. Да всё упрощается, классическая теория просто не нужна, когда мы работаем с конкретным модулем непрерывности. Мы это уже проходили.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873796 писал(а):

если это не выявляет физический смысл производной, то я не знаю что его выявляет.

Его выявляет спидометр — прибор для измерения производной. И он выдает именно значение производной, с определенной погрешностью (как и любой прибор).

mishafromusa в сообщении #873796 писал(а):

Откуда оно у Вас создалось? И зачем намекать, что это единственная цель? И разве анализ не основан на такого сорта алгебраических фактах?

Последний вопрос как раз и показывает, что мое впечатление было верным. Нет, не основан. Первая вещь, которую нужно объяснить студентам, — что функции не обязательно задаются конкретными формулами.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873801 писал(а):

Теорема о том, что функция с положительной производной возрастает, доказывается в 2 строчки

дык это и так доказывается в 2 строчки, в одну даже

-- Вт июн 10, 2014 01:03:33 --

mishafromusa в сообщении #873801 писал(а):

Построение интеграла проще в случае равномерно липшицевых функций.

а что конкретно проще?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873804 писал(а):

Последний вопрос как раз и показывает, что мое впечатление было верным. Нет, не основан. Первая вещь, которую нужно объяснить студентам, — что функции не обязательно задаются конкретными формулами.

Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.

-- 09.06.2014, 18:25 --

Oleg Zubelevich, мы же уже это обсуждали в самом начале, зачем это повторять? Если Вы не считаете, что элементарная алгебра и конкретные неравенства проще, чем пределы, непрерывность и компактность, то о чём мы вообще разговариваем?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873816 писал(а):

Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.

Я не предлагал их выкинуть совсем. Тем не менее, довольно глупо предполагать, что основой анализа являются какие-то соотношения между элементарными функциями. Элементарные функции являются выделенными с точки зрения алгебры, геометрии и топологии, но не с точки зрения анализа. Идея анализа — работа с более-менее произвольными функциями с самого начала.