Теорема относится, конечно, к фактам. Но один и тот же факт можно сформулировать большим количеством разных способов, в частности, в разных обозначениях одних и тех же объектов (например, одно и то же можно обозначать через
,
,
или даже
).
На самом деле, ситуация тоньше и интереснее. (Дальше имхо, основанное на словах математиков.)
Теоремы-то относится к фактам. Но вот определения математические относятся не к фактам, потому что они могут быть сформулированы по-разному, определяя разные объекты (иногда одинаковые). То есть, определения носят черты индивидуальности человека, который их сформулировал. То же относится к аксиоматикам - это разновидность определений, аксиоматика определяет такой объект, как теорию.
И вот тут оказывается, что теоремы не существуют сами по себе, не висят как факты в воздухе. Теоремы говорят что-то об объектах, введённых определениями. И в результате, теоремы тоже бывают в разных обличьях, в зависимости от того, какие определения объектов взяты, и конкретная теорема в конкретной статье - это всё-таки не просто факт, а факт, носящий индивидуальные черты. Другой человек откроет не точно такой же факт, а другой. Иногда он в чём-то будет шире, а в чём-то у́же. Иногда, постепенно, с ходом развития математики, теорема постепенно расширяется до наиболее общей формулировки, и покрывает все остальные варианты, более узкие, которые были сформулированы раньше, предыдущими математиками. Но иногда этого, наверное, не происходит (или этот процесс ещё не завершён, и мы не можем судить о том, будет ли он завершён). Я уже не говорю о таких вещах, когда утверждение теоремы распадается на несколько частей, доказываемых другим автором как отдельные факты, или наоборот, несколько утверждений сводится воедино.
Думаю, это интересней, чем банальная разница обозначений, которую может сопоставить даже просто внимательный читатель. Сопоставить между собой разные схожие теоремы и их доказательства бывает трудно даже математикам - экспертам в данной предметной области. Одной из трудностей найти ссылку на использованную теорему является именно то, чтобы найти и разобраться, какие из формулировок более ранних авторов покрывают ту формулировку, которую используете вы, а какие - нет.
-- 09.05.2014 09:41:41 --P. S. после замечания
Red_Herring. Доказательства - тоже носят черты индивидуальности автора.
