Вопрос про обобщённые функции!

[Котофеич]

незванный гость писал(а):

:evil:

Котофеич писал(а):

А вообще основоположником современного нестандартного анализа является Леонард Эйлер. Все теоремы Эйлера, доказаны с применением методов нестандартного анализа. [...]
Во второй половине прошлого столетия эти идеи Эйлера снова возродились и получили достаточно широкое распространение.

Как интересно по разному воспринимают люди одни и те же факты. Я, например, не склонен считать Архимеда автором интегрирования. Идеи Эйлера были формализованны в нестандартном анализе, но для меня он -- предтеча, а не автор.

Котофеич писал(а):

Последняя из его теорем была передоказана уже почти в наше время.

Мне любопытно, что Вы имеете в виду. Какая именно теорема? Неужели какая-то из теорем XVIII века (с сохранившимся доказательством Эйлера) не поддавалась формализации так долго?

~~~
Мне очень нравиться фраза -- "пока строго доказано, только что на 300"

Я имел в виду вот этот знаменитый результат Эйлера.
http://www.maa.org/editorial/euler/How% ... series.pdf
Строгое доказательство этого результата потребовало применения достаточно нетривиальной современной техники.Доказательство этой теоремы Эйлера, с современной точки зрения выглядит просто невероятно жутким, тем не менее ответ верен.
Ну существует мнение, что нестандартный анализ построил известный специалист по теории
моделей А. Робинсон. На самом деле это мнение ошибочно. Просто, так считал сам Робинсон
и не более того. Однако в нестандартном анализе Робинсона, важную роль играет т.н.
принцип переноса. В работах Эйлера также использовался принцип переноса, но намного
более сильный чем у Робинсона. Разумеется Эйлер не доказывал этот принцип. Он считал
что это очевидно. Не так давно Эйлеровский принцип переноса был доказан на современном
уровне строгости, правда с некоторыми несущественными оговорками. Таким образом
согласно общепринятому мнению, Эйлера поправляли два раза, сначала Коши, а потом
Робинсон. На самом деле все три версии анализа это совершенно разные вещи. Просто
они совпадают в некоторой своей элементарной части, а потом сильно отличаются. В современной терминологии нестандартный анализ Робинсона это теория т.н. внутренних
множеств, а исчисление бесконечно малых Эйлера это теория т.н. внешних множеств.
Потом говорить о том, что Робинсон формализовал идеи Эйлера говорить уже нельзя.
Формализацию, а точнее частичную формализацию этих идей, Робинсон построил в
рамках ZFC, а эта теория противоречива, так что в конечном итоге никакой формализации
и не было. Хорошо известно, что еще в начале прошлого столетия, знаменитый математик Э.Л.Я. Брауэр выдвинул точку зрения, согласно которой теория бесконечных множеств не может быть построена в рамках обычной логики. Грубо говоря Брауэр высказался в том плане, что математика основанная на ZFC является некорректной. В то же время Брауэр не утверждал прямо что ZFC окажется противоречивой, хотя в принципе это подразумевалось. Совершенно противоположной точки зрения как известно придерживался Гильберт, авторитет которого в научном мире в то время был огромен. Но в конечном итоге выяснилось, что именно Брауэр оказался прав. Например в основе метода доказательства противоречивости
ZFC лежит закон исключенного третьего. В теории множеств предложенной Брауэром,
этот закон отвергается как ложный. Разумеется я не хочу сказать, что подход, предложенный
Брауэром, это то что нужно. Его подход имеет свои недостатки.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Произведение двух обобщённых функций можно также всегда определить, только результат не будет элементом стандартного универсума ZFC-множеств.

Проблема, собственно говоря, не в том, чтобы определить (это можно сделать и в рамках стандартной теории), а в том, чтобы определить так, чтобы выполнялись некоторые весьма желательные свойства. Например, обычным непрерывным функциям естественным способом сопоставляются обобщённые функции; крайне желательно, чтобы при этом произведение обобщённых функций согласовывалось с обычным произведением функций. Далее, непрерывные функции образуют топологическую алгебру над полем действительных или комплексных чисел с непрерывными операциями. Весьма желательно, чтобы то же было и для обобщённых функций. Однако в стандартном анализе это оказывается невозможным.
Если перейти к нестандартному анализу в смысле Робинсона, то есть, как Вы говорите, ограничиться внутренними множествами, то результат будет тем же: в силу принципа переноса в нестандартном анализе доказуемы в точности те же утверждения о стандартных объектах, что и в стандартном анализе.

Теперь Вы предлагаете не ограничиваться внутренними множествами. Ответьте: это определение произведения обобщённых функций обладает перечисленными выше свойствами?

Следующий момент. Вопрос этот интересует не математика, а физика. Теоретическая физика использует стандартный анализ, и объекты, существующие только в нестандартном анализе, физиков мало интересуют, поскольку неизвестно, что с ними делать.

Разумеется, физикам начихать на универсум ZFC и другие подобные универсумы. Обойдутся они и без теории множеств как таковой. Хотя язык теории множеств в некоторых случаях удобен, но существуют и другие способы выразить требуемые утверждения. Поэтому ссылка на то, что некий объект не существует в универсуме ZFC (а почему, собственно говоря?), их мало волнует. Хотя я 35 лет работаю в области, очень тесно связанной с теорией множеств, меня это тоже совершенно не волнует. Кто знает, может быть, лет через 100 теория множеств будет математиками рассматриваться как пройденный исторический этап, и они не обязательно будут оценивать этот этап со знаком "плюс".

Но нестандартный анализ, понимаемый не как средство доказательства утверждений стандартного анализа, а как самостоятельная теория, должен быть намного шире. И полезность его применения в теоретической физике требует доказательств. Чтобы физики начали всерьёз использовать нестандартный анализ в таком широком смысле для описания физических явлений, нужно не просто показать, что он позволяет воспроизвести уже известные результаты (это неудивительно, поскольку он для этого и создавался). Нужно показать, что нестандартные модели, допустим, пространства-времени или квантовой механики точнее описывают реальный мир. Вы, как энтузиаст, можете так думать. Но остальным это надо доказывать, и не словами, а делом.

А определение, для понимания которого достаточно брошюры Успенского, можно было бы здесь сформулировать, не отсылая к книге, цена которой составляет 40% зарплаты доцента.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Формализацию, а точнее частичную формализацию этих идей, Робинсон построил в рамках ZFC, а эта теория противоречива

Это Вы своё доказательство имеете в виду? Зачем так спешить? Опубликуйте его в общеизвестном математическом журнале, представьте его специалистам, пусть они его разберут и скажут, что всё в порядке. Тогда будем думать, что делать. А пока давайте Робинсона с этой стороны критиковать не будем. Я уже писал, что считаю это доказательство весьма сомнительным. Вы можете мне не верить, но я предсказываю, что специалисты укажут Вам на ошибки.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Произведение двух обобщённых функций можно также всегда определить, только результат не будет элементом стандартного универсума ZFC-множеств.

Проблема, собственно говоря, не в том, чтобы определить (это можно сделать и в рамках стандартной теории), а в том, чтобы определить так, чтобы выполнялись некоторые весьма желательные свойства. Например, обычным непрерывным функциям естественным способом сопоставляются обобщённые функции; крайне желательно, чтобы при этом произведение обобщённых функций согласовывалось с обычным произведением функций. Далее, непрерывные функции образуют топологическую алгебру над полем действительных или комплексных чисел с непрерывными операциями. Весьма желательно, чтобы то же было и для обобщённых функций. Однако в стандартном анализе это оказывается невозможным.
Если перейти к нестандартному анализу в смысле Робинсона, то есть, как Вы говорите, ограничиться внутренними множествами, то результат будет тем же: в силу принципа переноса в нестандартном анализе доказуемы в точности те же утверждения о стандартных объектах, что и в стандартном анализе.

Теперь Вы предлагаете не ограничиваться внутренними множествами. Ответьте: это определение произведения обобщённых функций обладает перечисленными выше свойствами?

Следующий момент. Вопрос этот интересует не математика, а физика. Теоретическая физика использует стандартный анализ, и объекты, существующие только в нестандартном анализе, физиков мало интересуют, поскольку неизвестно, что с ними делать.

Разумеется, физикам начихать на универсум ZFC и другие подобные универсумы. Обойдутся они и без теории множеств как таковой. Хотя язык теории множеств в некоторых случаях удобен, но существуют и другие способы выразить требуемые утверждения. Поэтому ссылка на то, что некий объект не существует в универсуме ZFC (а почему, собственно говоря?), их мало волнует. Хотя я 35 лет работаю в области, очень тесно связанной с теорией множеств, меня это тоже совершенно не волнует. Кто знает, может быть, лет через 100 теория множеств будет математиками рассматриваться как пройденный исторический этап, и они не обязательно будут оценивать этот этап со знаком "плюс".

Но нестандартный анализ, понимаемый не как средство доказательства утверждений стандартного анализа, а как самостоятельная теория, должен быть намного шире. И полезность его применения в теоретической физике требует доказательств. Чтобы физики начали всерьёз использовать нестандартный анализ в таком широком смысле для описания физических явлений, нужно не просто показать, что он позволяет воспроизвести уже известные результаты (это неудивительно, поскольку он для этого и создавался). Нужно показать, что нестандартные модели, допустим, пространства-времени или квантовой механики точнее описывают реальный мир. Вы, как энтузиаст, можете так думать. Но остальным это надо доказывать, и не словами, а делом.

А определение, для понимания которого достаточно брошюры Успенского, можно было бы здесь сформулировать, не отсылая к книге, цена которой составляет 40% зарплаты доцента.

Да новое расширенное определение обобщенной функции, обладает всеми необходимыми
свойствами, иначе это определение просто не имло бы большого смысла. Потом речь идет
не о физике, а о математической физике, а это как известно немного разные вещи. На
бесплатные книги я дал ссылку, так что покупать ничего не нужно. Полезность нестандартного анализа в математической физике хорошо известна. Однако конечно есть
много проблем, которые можно решать и классическими средствами. Наиболее эффективным
является комбинированный подход. Например у меня лично, есть много результатов,
которые я получил применяя комбинированные методы, позже некоторые из них, но не
все, удалось получить и в рамках обычного стандартного подхода.

[незваный гость]

Котофеич писал(а):

Разумеется Эйлер не доказывал этот принцип. Он считал что это очевидно.

Хорошо, согласимся с тем, что он считал принцип переноса очевидным, и потому не помещал его в свои работы (написал же он однако не мало -- около 75 томов). Вопрос -- а мог ли он формально описать принцип переноса? Или нужно было по крайней мере 150 лет развития математики? И следовало бы говорить, что большая часть результатов Эйлера основана на гипотезе о переносе Эйлера?

Котофеич писал(а):

Не так давно Эйлеровский принцип переноса был доказан на современном уровне строгости, правда с некоторыми несущественными оговорками.

А можно опять ссылочку? Предыдущая была зело интересной!

Котофеич писал(а):

Таким образом согласно общепринятому мнению, Эйлера поправляли два раза, сначала Коши, а потом Робинсон.

Я не думаю, что Эйлера кто-либо поправлял. Коши и вовсе предложил свою теорию. Разница в том, что Коши предложил формальную теорию, а Эйлер -- неформальную. То, что ее построили формально три века спустя, еще не доказывает корректности рассуждения. Ну, хотя бы потому, что мы придаем несколько другой смысл словам -- свертываем в них достаточно нетривиальные построения. Никто же не говорит, что Вейерштрас поправил Коши. Вейерштрас предложил свою формулировку теории, эквивалентную Коши, и сейчас мы просто пользуемся той, которая удобнее.

Я вспоминаю анекдот. Поэта спросили, что такое круг. Он ответил, что треугольник -- это прямая, сломанная в трех точках, квадрат -- в четырех, шестиугольник -- в шести. А круг -- это прямая, сломанная во всех точках. Готовы ли мы теперь считать поэта автором теории вычисления длин гладких кривых?

У меня было пара случаев, когда при работе с рядами я халявил "в стиле Эйлера". Один -- задача, которая может быть любопытна участникам форума, а именно вычислить $\lim\limits_{N \to \infty}\frac{1}{N} \sum \limits_{n=1}^{N} \frac{\varphi(n)}{n}$, где $\varphi(n)$ -- функция Эйлера. То есть, показать, что в можно говорить о среднем доли чисел взаимно простых с $n$. Другой пример был связан с перестановкой пределов суммирования, и был бесплоден.

Эйлер, как и многие другие математики, применяя неформальные подходы, инстинктивно чуствовал, что здесь их применять можно. Экстраполировать же их на все случаи -- нельзя. Но вот теория, которая говорит, когда можно, а когда нельзя, оказывается куда как непростой. И поэтому неформальный результат иногда доказывают пару-тройку столетий, подчас совершенно иными методами.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Формализацию, а точнее частичную формализацию этих идей, Робинсон построил в рамках ZFC, а эта теория противоречива

Это Вы своё доказательство имеете в виду? Зачем так спешить? Опубликуйте его в общеизвестном математическом журнале, представьте его специалистам, пусть они его разберут и скажут, что всё в порядке. Тогда будем думать, что делать. А пока давайте Робинсона с этой стороны критиковать не будем. Я уже писал, что считаю это доказательство весьма сомнительным. Вы можете мне не верить, но я предсказываю, что специалисты укажут Вам на ошибки.

Уважаемый Someone. В этой области имеется максимум 3-5 настоящих специалистов.
Я уже говорил, что результат им известен и возражений против корректности доказательства
нет. Среди специалистов в области оснований математики имеется много точек зрения
на возможные последствия этого результата. Современная математическая наука огромна
и обладает огромной инерционностью. Специалисты считают, что эффект будет как после
взрыва, но ударная волна будет распространяться очень медленно, однако на фронте
почти все будет разрушено.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Да новое расширенное определение обобщенной функции, обладает всеми необходимыми свойствами, иначе это определение просто не имло бы большого смысла.Потом речь идет не о физике, а о математической физике, а это как известно немного разные вещи.

Всё равно, хотя я имел в виду больше физику, чем математическую физику. Математическая физика тоже работает со стандартными объектами, и использовать нестандартный объект можно только в процессе доказательства или вычисления, с тем, чтобы окончательный результат был стандартным.

Котофеич писал(а):

На бесплатные книги я дал ссылку, так что покупать ничего не нужно.

Судя по оглавлению, там нет определения обобщённых функций в нестандартном анализе. А качать 24 мегабайта только для того, чтобы это проверить, не хочется. Денег жалко.

Котофеич писал(а):

Полезность нестандартного анализа в математической физике хорошо известна.

Энтузиастам.

[Someone]

Котофеич писал(а):

В этой области имеется максимум 3-5 настоящих специалистов.

Не преувеличивайте.

Подождём, посмотрим.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

В этой области имеется максимум 3-5 настоящих специалистов.

Не преувеличивайте.
Подождём, посмотрим.

Уважаемый Someone. Я не склонен ничего приувеличивать.
Я давно уже не мальчик и в отличие А.С. Кузичева не гоняюсь
за сенсациями. Среди современных специалистов по матлогике
есть много таких, которые уже лет 30 тому назад, предполагали,
что даже Пеано противоречива. Я дам необходимые ссылки в
отдельной теме по т.н. противоречивой арифметике, построенной
Приестом. Приест официально признан как крупнейший специалист
в области матлогики. Если Вы ознакомитесь с различными точками
зрения в этой области, то сами убедитесь, что противоречивость
ZFC это не сенсация. Давно предполагалось, что пациент смертельно
болен. В то же время никто не будет кричать спасите караул. В области
математической логики давно разработаны методы, которые позволяют
вывести математику из подобных кризисных ситуаций.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Формализацию, а точнее частичную формализацию этих идей, Робинсон построил в рамках ZFC, а эта теория противоречива

Это Вы своё доказательство имеете в виду? Зачем так спешить? Опубликуйте его в общеизвестном математическом журнале, представьте его специалистам, пусть они его разберут и скажут, что всё в порядке. Тогда будем думать, что делать. А пока давайте Робинсона с этой стороны критиковать не будем. Я уже писал, что считаю это доказательство весьма сомнительным. Вы можете мне не верить, но я предсказываю, что специалисты укажут Вам на ошибки.

Ну по поводу ошибок это сомнительно. Еще никто и никогда не находил у меня
ошибки. Ну были математики которые искали у меня ошибки. Но не нашли. Люди
известные, могу дать адрес. Я сам много лет работаю рецензентом и занимаюсь
тем, что ошибки ищу и далеко не у школьников.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Да новое расширенное определение обобщенной функции, обладает всеми необходимыми свойствами, иначе это определение просто не имло бы большого смысла.Потом речь идет не о физике, а о математической физике, а это как известно немного разные вещи.

Всё равно, хотя я имел в виду больше физику, чем математическую физику. Математическая физика тоже работает со стандартными объектами, и использовать нестандартный объект можно только в процессе доказательства или вычисления, с тем, чтобы окончательный результат был стандартным.

Котофеич писал(а):

На бесплатные книги я дал ссылку, так что покупать ничего не нужно.

Судя по оглавлению, там нет определения обобщённых функций в нестандартном анализе. А качать 24 мегабайта только для того, чтобы это проверить, не хочется. Денег жалко.

Котофеич писал(а):

Полезность нестандартного анализа в математической физике хорошо известна.

Энтузиастам.

Уважаемый Someone. Тут Вы абсолютно неправы. Тот нестандартный анализ,
который построил Робинсон это элементарная часть. Полезность нестандартного
анализа хорошо известна. Именно средствами нестандартного анализа Альбеверио
придал строгий математический смысл, хорошо известной формальной конструкции,
которая в теорфизике называется фейнмановский интеграл. Методы современного
нестандартного анализа разрабатывались например таким выдающимся математиком
как Нелсон. Я не думаю, что Нелсона кто либо может назвать просто энтузиастом.

Что касается обобщенных функций в нестандартном анализе, да в книжках нету.
Ну достаточно трудная это тема, в книжки не вошла. Однако в книжке есть ссылки
на работы, где эта тема раскрыта достаточно детально.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

В этой области имеется максимум 3-5 настоящих специалистов.

Не преувеличивайте.

Подождём, посмотрим.

Число специалистов мною не приувеличино. Ну например Эдвард Нелсон считается одним
из крупнейших специалистов в области оснований. Ну знает он, что ZFC противоречива. Ну и что. Это не его проблемы, разрабатывать новые математические теории он не собирается. Там не нужен крутой специалист. Ваших знаний вполне достаточно, если немного подучиться.
Ну можно спросить В.А.Успенского. Но меня лично его мнение не интересует и я не знаю, заинтересован он сам в этих вопросах или не заинтересован Он человек сложный. Мне приходилось иметь с ним дело по одному вопросу. Ну он спросил меня как я подошел
к обсуждаемой проблеме. Я объяснил, он сказал типа ага я вас понял, хорошо можно и так.
То что он понял, я в этом не сомневаюсь, а какие выводы он сделал, он не всегда расположен разъяснять. Есть и другие. Но матлогики не занимаются разработкой
математических теорий, это делают математики, так что опять же разбираться будут
только те кто заинтересован. Матлогики занимаются немного другими вопросами и
многих вообще не интересует, что там происходит с бесконечными множествами, в каких
то мифических мирах которые удовлетворяют всем аксиомам ZFC.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Именно средствами нестандартного анализа Альбеверио
придал строгий математический смысл, хорошо известной формальной конструкции,
которая в теорфизике называется фейнмановский интеграл.

Насколько мне известно, фейнмановский интеграл, по сути дела, возник ещё у Эйнштейна при рассмотрении броуновской частицы. А у Фейнмана была другая функция под интегралом (экспонента с другим показателем). И насколько мне известно, главная проблема была с корректным определением меры $D^n x$. И решил её впервые Винер. Ну бог с ним с интегралом. Это к теме не относится.

Ну если Вы говорите, что это очень простая задача (решить моё уравнение в классе обобщённых функций или в каком получится), ну и рассказали бы в 2-3-х словах между делом.

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ну если Вы говорите, что это очень простая задача (решить моё уравнение в классе обобщённых функций или в каком получится), ну и рассказали бы в 2-3-х словах между делом.

Очень старательно уклоняется. Начинает с того, что вопрос очень простой, потом отсылает к книгам, в которых якобы есть. Потом говорит, что в книгах нет, потому что вопрос очень сложный, зато там есть ссылки на работы, которые то ли удастся достать, то ли (и скорее всего) нет. Всё время козыряет знакомством с известными специалистами. Снисходительно похлопывает собеседников по плечу.

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Именно средствами нестандартного анализа Альбеверио
придал строгий математический смысл, хорошо известной формальной конструкции,
которая в теорфизике называется фейнмановский интеграл.

Насколько мне известно, фейнмановский интеграл, по сути дела, возник ещё у Эйнштейна при рассмотрении броуновской частицы. А у Фейнмана была другая функция под интегралом (экспонента с другим показателем). И насколько мне известно, главная проблема была с корректным определением меры $D^n x$. И решил её впервые Винер. Ну бог с ним с интегралом. Это к теме не относится.

Ну если Вы говорите, что это очень простая задача (решить моё уравнение в классе обобщённых функций или в каком получится), ну и рассказали бы в 2-3-х словах между делом.

Простейшее определение принадлежит Робинсону. Дельта функция имеет т.н. нестандартное робинсоновское представление
(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z), где z -бесконечно малая велична из поля *R.
Функция |x|^-1 имеет нестандартное робинсоновское представление |x+iz|^-1.
Решение Вашего уравнения
V(x)=[(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z]|x+iz| это некоторая нестандартная функция, которая
не является стандартной обобщенной функцией.

Вопрос в том для чего такое определение нужно и где его можно эффективно применить.
На первый взляд может казаться, что такое определение стандартной обобщенной W(x)
функции как некоторой нестандартной функции W(x,z) :*R^d-->*C ничего интересного
дать не может. Но насамом деле существует целый ряд очень сложных задач, где
такой подход дает значительный прогрес по сравнению с классическим.
Одной из самых знаменитых задач этого типа является т.н. проблема гомоморфизма
для сверточной алгебры обобщенных функций. Пусть имется некоторая сверточная алгебра
обобщенных функций S, т.е. S это некоторое пространство обобщенных функций в
котором кроме операции сложения q1+q2, имеется операция умножения которая задана
как свертка (q1)*(q2). Проблема состоит в том, чтобы классифицировать все гомоморфизмы
e:S-->C. Новое определение обобщенных функций сводит исходную задачу к более
простой задаче классификации гомоморфизмов вида g:R(S)-->*C, где R(S) это некоторая
подалгебра внутренней сверточной алгебры всех микронепрерывных функций вида h:*R-->*C.