Вопрос про обобщённые функции!

[Котофеич]

Someone писал(а):

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ну если Вы говорите, что это очень простая задача (решить моё уравнение в классе обобщённых функций или в каком получится), ну и рассказали бы в 2-3-х словах между делом.

Очень старательно уклоняется. Начинает с того, что вопрос очень простой, потом отсылает к книгам, в которых якобы есть. Потом говорит, что в книгах нет, потому что вопрос очень сложный, зато там есть ссылки на работы, которые то ли удастся достать, то ли (и скорее всего) нет. Всё время козыряет знакомством с известными специалистами. Снисходительно похлопывает собеседников по плечу.

Ну это Вы напрасно. Я же Вам говорил возьмите книжку Альбеверио (покупать не нужно, есть
в биьлиотеке. Откройте Гл.7 стр.518 там на элементарном уровне все есть с конкретным
примером, который придумал не я а Робинсон. Эйлер проделал подобные вещи еще
когда никаких Робинсонов и Канторов, даже и в проекте не было. А то что Вы спрашивали
по поводу свойств такой нестандартной топологической алгебры этого там нет, но есть
ссылки.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Произведение двух обобщённых функций можно также всегда определить, только результат не будет элементом стандартного универсума ZFC-множеств.

Проблема, собственно говоря, не в том, чтобы определить (это можно сделать и в рамках стандартной теории), а в том, чтобы определить так, чтобы выполнялись некоторые весьма желательные свойства. Например, обычным непрерывным функциям естественным способом сопоставляются обобщённые функции; крайне желательно, чтобы при этом произведение обобщённых функций согласовывалось с обычным произведением функций. Далее, непрерывные функции образуют топологическую алгебру над полем действительных или комплексных чисел с непрерывными операциями. Весьма желательно, чтобы то же было и для обобщённых функций. Однако в стандартном анализе это оказывается невозможным.
Если перейти к нестандартному анализу в смысле Робинсона, то есть, как Вы говорите, ограничиться внутренними множествами, то результат будет тем же: в силу принципа переноса в нестандартном анализе доказуемы в точности те же утверждения о стандартных объектах, что и в стандартном анализе.

Теперь Вы предлагаете не ограничиваться внутренними множествами. Ответьте: это определение произведения обобщённых функций обладает перечисленными выше свойствами?

Следующий момент. Вопрос этот интересует не математика, а физика. Теоретическая физика использует стандартный анализ, и объекты, существующие только в нестандартном анализе, физиков мало интересуют, поскольку неизвестно, что с ними делать.

Разумеется, физикам начихать на универсум ZFC и другие подобные универсумы. Обойдутся они и без теории множеств как таковой. Хотя язык теории множеств в некоторых случаях удобен, но существуют и другие способы выразить требуемые утверждения. Поэтому ссылка на то, что некий объект не существует в универсуме ZFC (а почему, собственно говоря?), их мало волнует. Хотя я 35 лет работаю в области, очень тесно связанной с теорией множеств, меня это тоже совершенно не волнует. Кто знает, может быть, лет через 100 теория множеств будет математиками рассматриваться как пройденный исторический этап, и они не обязательно будут оценивать этот этап со знаком "плюс".

Но нестандартный анализ, понимаемый не как средство доказательства утверждений стандартного анализа, а как самостоятельная теория, должен быть намного шире. И полезность его применения в теоретической физике требует доказательств. Чтобы физики начали всерьёз использовать нестандартный анализ в таком широком смысле для описания физических явлений, нужно не просто показать, что он позволяет воспроизвести уже известные результаты (это неудивительно, поскольку он для этого и создавался). Нужно показать, что нестандартные модели, допустим, пространства-времени или квантовой механики точнее описывают реальный мир. Вы, как энтузиаст, можете так думать. Но остальным это надо доказывать, и не словами, а делом.

А определение, для понимания которого достаточно брошюры Успенского, можно было бы здесь сформулировать, не отсылая к книге, цена которой составляет 40% зарплаты доцента.

Тут Вы опять не правы. Почему Вы считаете что физикам начихать на ZFC
Школьным учителям да начихать. Полякову и Виттену не начихать. От Плякова
я например никогда не слышал чтобы ему было начихать. Все его вычисления
сделаны не на коленке, а на суперсовременной математике которая основана
на ZFC.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Тут Вы опять не правы. Почему Вы считаете что физикам начихать на ZFC
Школьным учителям да начихать. Полякову и Виттену не начихать. От Плякова
я например никогда не слышал чтобы ему было начихать. Все его вычисления
сделаны не на коленке, а на суперсовременной математике которая основана
на ZFC.

Я Вам ещё более страшную тайну открою: подавляющему большинству математиков на ZFC или любую другую теорию множеств тоже в высшей степени начихать. Что бы ни случилось с теорией множеств, они как работали, так и будут работать, и никаких проблем у них не появится. Они могут проявить только вежливый интерес: "Что там, говорите, теорему Ферма доказали? Ой как интересно!" (Простите, перепутал. Нужно было написать "противоречивость ZFC".)

Проблемы появятся только у очень узкого круга специалистов, математическая деятельность которых непосредственно связана с теорией множеств, например, у меня. Но волноваться за этих специалистов не следует. Они найдут способ выкрутиться. К тому же я ещё с аспирантских времён склонен считать, что эти люди занимаются в основном никому не нужными псевдопроблемами, которые сами себе придумывают.

А что касается непротиворечивости арифметики Пеано, то это вообще к математике отношения не имеет, за исключением математической логики. Докажут логики противоречивость арифметики Пеано - пусть сами и ломают голову, что им с этим делать.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Простейшее определение принадлежит Робинсону. Дельта функция имеет т.н. нестандартное робинсоновское представление
(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z), где z -бесконечно малая велична из поля *R.
Функция |x|^-1 имеет нестандартное робинсоновское представление |x+iz|^-1.
Решение Вашего уравнения
V(x)=[(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z]|x+iz| это некоторая нестандартная функция, которая
не является стандартной обобщенной функцией.
Вопрос в том для чего такое определение нужно и где его можно эффективно применить.

В том то и вопрос. Спасибо за ответ. Допустим нестандартный анилиз работает с более широким классом функций и это позволяет решать многие задачи важные для физики (в частности). Но в физике нет бесконечно малых! Поэтому, чтобы решения полученные в результате нестандартного анализа имели физический смысл необходимо иметь процедуру перехода к пространству обобщённых функций (которое включает обычные функции) применимость и важность которых уже доказана. По смыслу это должен быть изоморфизм, но судя по всему это сделать невозможно. Частные случаи в которых нестандартный анализ прокатывает ещё не могут доказать его способности решить все остальные задачи. Из всего этого следует, что абсолютная применимость нест. анализа в физике весьма спорный вопрос. Если я не прав поправьте меня.

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Простейшее определение принадлежит Робинсону. Дельта функция имеет т.н. нестандартное робинсоновское представление
(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z), где z -бесконечно малая велична из поля *R.
Функция |x|^-1 имеет нестандартное робинсоновское представление |x+iz|^-1.
Решение Вашего уравнения
V(x)=[(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z]|x+iz| это некоторая нестандартная функция, которая
не является стандартной обобщенной функцией.
Вопрос в том для чего такое определение нужно и где его можно эффективно применить.

В том то и вопрос. Спасибо за ответ. Допустим нестандартный анилиз работает с более широким классом функций и это позволяет решать многие задачи важные для физики (в частности). Но в физике нет бесконечно малых! Поэтому, чтобы решения полученные в результате нестандартного анализа имели физический смысл необходимо иметь процедуру перехода к пространству обобщённых функций (которое включает обычные функции) применимость и важность которых уже доказана. По смыслу это должен быть изоморфизм, но судя по всему это сделать невозможно. Частные случаи в которых нестандартный анализ прокатывает ещё не могут доказать его способности решить все остальные задачи. Из всего этого следует, что абсолютная применимость нест. анализа в физике весьма спорный вопрос. Если я не прав поправьте меня.

Нет Вы не правы. Нестандартный анализ это просто аппарат и не более того. Универсального
аппарата не существует. На Ваш конкретный пример, метод Робинсона дает конкретный ответ. Если Вам нужно не просто произведение, а произведение с какими то еще хорошими свойствами, то это нужно отдельно смотреть. Сама обычная стандартная теория обобщенных функций это тоже аппарат, который хорошо работает только в линейном случае. В нелинейных задачах используется совсем другая теория, даже на уровне классики. Так что я могу дать конкретный ответ только если будет конкретная задача. Я знаю много примеров, когда нестандартный анализ не работал только по той причине, что не умели грамотно применить или применили но не в комплекте с тем чем надо. Например С. Альбеверио, много раз пытался определить операцию произведения для операторных обобщенных функций,
у него не получилось и он в конечном итоге стал обвинять в этом нестандартный анализ.
А у других это получилось. Так что нужно в каждом конкретном случае рассматривать,
что и почему там вышло.
Ну допустим, что в физике нет бесконечно малых, а что там есть дельта
функция или число pi Например уважаемый Someone утверждает, что их вообще
нет, а так просто некоторые математики придумали, чтобы создавать проблемы.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Тут Вы опять не правы. Почему Вы считаете что физикам начихать на ZFC
Школьным учителям да начихать. Полякову и Виттену не начихать. От Плякова
я например никогда не слышал чтобы ему было начихать. Все его вычисления
сделаны не на коленке, а на суперсовременной математике которая основана
на ZFC.

Я Вам ещё более страшную тайну открою: подавляющему большинству математиков на ZFC или любую другую теорию множеств тоже в высшей степени начихать. Что бы ни случилось с теорией множеств, они как работали, так и будут работать, и никаких проблем у них не появится. Они могут проявить только вежливый интерес: "Что там, говорите, теорему Ферма доказали? Ой как интересно!" (Простите, перепутал. Нужно было написать "противоречивость ZFC".)

Проблемы появятся только у очень узкого круга специалистов, математическая деятельность которых непосредственно связана с теорией множеств, например, у меня. Но волноваться за этих специалистов не следует. Они найдут способ выкрутиться. К тому же я ещё с аспирантских времён склонен считать, что эти люди занимаются в основном никому не нужными псевдопроблемами, которые сами себе придумывают.

А что касается непротиворечивости арифметики Пеано, то это вообще к математике отношения не имеет, за исключением математической логики. Докажут логики противоречивость арифметики Пеано - пусть сами и ломают голову, что им с этим делать.

Ну напугали, я аж весь трясусь от страха.
Да я такие тайны знаю, что если расказать, так и помрете сразу со страху.
И не теште себя дескими иллюзиями. Я Вам не дядя Рассел, с его дурацким
парикмахером. В тот раз выкрутились, а в этот раз не проидет
С такими специалистами как Кузичев, Вам не выкрутиться.
Ну ладно я не обижаюсь на Вас. Я вообще то не такой плохой
как обо мене у книжках пишуть. Допустим начхать на ZFC. Нет проблем
Мне лично тоже вообще на все начхать. Но если Вы обратили внимание, то доказательство
остается в силе, если применить его просто к арифметике второго порядка.
Таким образом и весь математический анализ рушится. А это уже немножко
похуже. В конце концов как сказал Гильберт математика это просто игра с
символами. Я согласен, пусть будет так. Но что самое интересное так это
то, что эта игра еще и противоречива
Ну если хотите, давайте сыграем в другую игру. Вы должны меня опровергнуть
с трех попыток.Это еще никому и никогда не удалось. Если Вам повезет, то Вы будете первым
человеком, который сумел опровергнуть самого Но помните, если Вы проиграете, то я закину Вас в огромную черную дыру и тогда Вы будете первым человеком кто узнает, что там в самом деле находится у нее на горизонте Однажды я предлогал попробовать
енто дело одному хфизику, Хукингом зовут. Может слыхали о таком , но он не согласился. Ну что Вы хотите попробовать


PAV : замечание за неумеренное использование смайлов и флейм

[Someone]

Котофеич писал(а):

... Но если Вы обратили внимание, то доказательство
остается в силе, если применить его просто к арифметике второго порядка.
... Вы должны меня опровергнуть с трех попыток.

Ответ.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

... Но если Вы обратили внимание, то доказательство
остается в силе, если применить его просто к арифметике второго порядка.
... Вы должны меня опровергнуть с трех попыток.

Ответ.

Ну вот. Я ему хотел свою тайну открыть, а он убежал.
Пойду поищу.

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Простейшее определение принадлежит Робинсону. Дельта функция имеет т.н. нестандартное робинсоновское представление
(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z), где z -бесконечно малая велична из поля *R.
Функция |x|^-1 имеет нестандартное робинсоновское представление |x+iz|^-1.
Решение Вашего уравнения
V(x)=[(2(pi)z)^(-d/2)exp((-|x|^2)/2z]|x+iz| это некоторая нестандартная функция, которая
не является стандартной обобщенной функцией.
Вопрос в том для чего такое определение нужно и где его можно эффективно применить.

В том то и вопрос. Спасибо за ответ. Допустим нестандартный анилиз работает с более широким классом функций и это позволяет решать многие задачи важные для физики (в частности). Но в физике нет бесконечно малых! Поэтому, чтобы решения полученные в результате нестандартного анализа имели физический смысл необходимо иметь процедуру перехода к пространству обобщённых функций (которое включает обычные функции) применимость и важность которых уже доказана. По смыслу это должен быть изоморфизм, но судя по всему это сделать невозможно. Частные случаи в которых нестандартный анализ прокатывает ещё не могут доказать его способности решить все остальные задачи. Из всего этого следует, что абсолютная применимость нест. анализа в физике весьма спорный вопрос. Если я не прав поправьте меня.

Ну вот боле современный подход к обобщенным решениям не использующий
нестандартный анализ
Distributional Methods in General Relativity
http://www.mat.univie.ac.at/~stein/research/PhD/PhD.pdf

[Котофеич]

Современная теория обобщенных функций это совершенно новая математическая дисциплина.
Эта теория мало чем напоминает классическую линейную теорию Соболева-Шварца.
Важность нового подхода общепризнана специалистами в области прикладной математики и теоретической физики. Однако имееются абсолютно невнушаемые в этих вопросах
физики. Ну например печально известный Мунин.
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=12136#12136
Этот Мунин дикий человек. Он говорит, что обобщенные функции это
абстракция и с точки зрения Мунина все это не серьезно и глупо. Он заявил,
что они существуют только на бумаге и, что он не поверит в их покуда математики
не изловят хоть одну живьем Однако не так давно все эти мунины утверждали,
что комплексные числа енто пустая абстракция, но эти числа Гаусс изловил и
представил как векторы... Некторые малограмотные люди даже в наше время,
абсолютно не понимают, значения слов математическая абстракция. С их точки
зрения, отрицательные числа и число 0 это абстракция, которой в реальности не
существует, эти товарищи наивно полагают, что существует только то что можно
потрогать руками.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Однако не так давно все эти мунины утверждали,
что комплексные числа енто пустая абстракция, но эти числа Гаусс изловил и
представил как векторы... Некторые малограмотные люди даже в наше время,
абсолютно не понимают, значения слов математическая абстракция. С их точки
зрения, отрицательные числа и число 0 это абстракция, которой в реальности не
существует, эти товарищи наивно полагают, что существует только то что можно
потрогать руками.

Да, кстати. Натуральные числа - это тоже математическая абстракция. И достаточно высокого уровня абстрагирования.

[zkutch]

Котофеич писал(а):

... существует только то что можно
потрогать руками.

Уважаемый Котофеич
буду признателен, если найдется время и настроение, черкните два-три слова (или больше), формально ли неформально ли, об этом сакральном слове "существует"

[Котофеич]

zkutch писал(а):

Котофеич писал(а):

... существует только то что можно
потрогать руками.

Ну Вас наверное интересует вопрос о существовании чего либо в математическом смысле Поскольку математика это наука о бесконечном, то в первую очередь стоит вопрос в каком смысле существуют эти самые бесконечные множества
Эта проблема интересовала многих математиков, но в рамках классической математики,
этот вопрос как известно не получил удовлетворительного решения и попытки решить эту
проблему привела к расколу математического сообщества на три основных философских воззрения (а) формализм (б) платонизм (в) контенсивизм.
1.Формализм.
Основоположником и вдохновителем формализма, был известный немецкий математик
Давид Гильберт, которого многие считают одним из величайших математиков прошлого столетия. В силу огромного влияния Д.Гильберта, формализм сильно закрепился
и с середины прошлого столетия является единственной официально принятой точкой зрения
на природу математики. Согласно Гильберту математика это просто игра с символами и
эта игра должна удовлетворять единственному условию-непротиворечивость. Согласно
Гильберту не имеет никакого значения тот конкретный смысл который мы придаем или не
придаем квантору существования в математике.
2.Платонизм. Платонизм это философская концепция согласно которой бесконечные
множества существуют объективно. Платонизм эта точка зрения, которой сознательно
или бессознательно придерживаются практически все математики. Хотя на словах все
утверждают, что принимают формализм Гильберта, в душе остаются платонистами, а
сознательные платонисты, высмеивают Гильберта, поскольку для них ошибочность его
концепции очевидна.
3.Контенсивизм Согласно этой концепции в математике есть нечто гнилое, что
должно быть отброшено. Крайней формой этой философии является конструктивизм или
брауэровский интуиционизм.
4.Паралогический контенсивизм Сторонники этого направления утверждают, что
абсолютно вся математика должна быть пересмотрена в рамках неклассических и в частности
противоречивых логик. В свете пртиворечивости теории ZFC это только дело времени.

Гильбертовский формализм является глубоко ошибочной точкой зрения на природу
математики, более того формализм стал со временем наносить ущерб и создавать проблемы
в развитии математики и особенно в ее преподавании. Против формализма выступал например Александр Гротендик. В очень резкой форме против формализма, в последнее время, выступил Арнольд.
Слабым местом формализма является необходимость принятия на веру аксиомы о непротиворечивости какой то конкретной формальной системы. Но в силу теоремы Геделя
о полноте, такая система будет непротиворечивой если и только если для нее
объективно существует некоторая бесконечная модель. Вся несуразность формализма,
после доказательства этой теоремы стала очевидной. С одной стороны утверждается, что
(как говорит Мунин) математика это просто игра, а с другой стороны для непротиворечивости
этой игры требуется объективное существование бесконечных множеств (по меньшей мере
счетных) чего со сто процентной очевидностью в природе не наблюдается.
Возникает интересный вопрос как такое могло произойти, что столь ошибочная и очевидно
нелепая концепция, могла так прочно закрепиться Простой народ всегда считает правильным только то что общепринято
Тут надо сказать несколько слов о феномене великих математиков. Великие математики,
физики и проч. это ученые которые помимо профессиональных качеств, обладают очень сильным даром внушения, т.е. это не только ученые но и своего рода маги и вожди. Они
обладают определенными качествами, позволяющими воздействовать на достаточно
широкие слои научных сообществ. При этом как правило не играет большой роли каково
реальное содержание концепций, которые эти деятели тащат в науку. Это может быть как
что то очень важное, так и полный бред, но в любом случае это застрянет в мозгах у простого
народа на долгий срок. Например в физике прошлого столетия такую роль сыграл Эйнштейн
со своей ОТО. Этот деятель утверждал что гравитайция это геометрия С чего он это
взял??? Гравитация это в первую очередь имеет материальную природу, посредством которой
влияет на геометрию и не более того. Несмотря на то что эта гипотеза не имеет серьезного
подтверждения она прочно закрепилась. Аналогичную роль в математике прошлого столетия
сыграл Гильберт.
В целом вопрос о природе бесконечного в математике остается нерешенным. Даже на
природу самого квантора существования, среди логиков нет единой точки зрения.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Однако не так давно все эти мунины утверждали,
что комплексные числа енто пустая абстракция, но эти числа Гаусс изловил и
представил как векторы... Некторые малограмотные люди даже в наше время,
абсолютно не понимают, значения слов математическая абстракция. С их точки
зрения, отрицательные числа и число 0 это абстракция, которой в реальности не
существует, эти товарищи наивно полагают, что существует только то что можно
потрогать руками.

Да, кстати. Натуральные числа - это тоже математическая абстракция. И достаточно высокого уровня абстрагирования.

А что конкретно означает это словечко абстракция
С научной точки зрения это пустой звук и не более того. Вы когда
курей считаете, то как Мунин сначала абстрагируетесь, а потом уже
считаете или наоборот

[PAV]

Котофеич писал(а):

А что конкретно означает это словечко абстракция
С научной точки зрения это пустой звук и не более того.

По-моему не более пустой, чем утверждение, что

Цитата:

бесконечные множества существуют объективно

Объясните мне, в чем разница? Что изменится конкретно для меня, если я буду считать так или иначе? Что изменится для математики если все математики проклянут Гильберта и сознательно примут точку зрения платонизма?