er писал(а):
Объективная реальность - понятие некоторых философских систем, в некоторых оно есть, а в других и нет. К математике особого отношения не имеет.
У меня взляды, математические абстракции в реальности не существуют. Они только в головах некоторых людей существуют. Позволяют моделировать некоторые явления в реальности.
Мне кажется, большенству математиков от логиков что нужно - чтоб объяснили. какие рассуждения считать правильными, а какие нет.
На самом деле все гораздо сложнее, когда речь идет о теории моделей и теории
доказательств. Доказательства это не математические абстракции которые существуют
в голове некоторых людей, а вполне реальные объекты, поскольку каждый знает, что
доказательство либо есть либо его нет в самом обычном смысле :!: В силу теоремы
Геделя, модели также не могут существовать только в голове. Если они существуют только
в голове,как например для ZFC, то такая теория будет противоречивой.
Таким образом когда мы говорим о том что геометрия это абстрактная наука, то под словом
абстракция подразумевается то обстоятельство, что реализация может быть какой
угодно т.е. абстрактной, но по крайней мере одна из таких реализаций должна существовать.
В теории множеств как я говорил имеется дополнительная аксиома-аксиома существования
стандартной модели (аксиома СМ). Роль этой аксиомы обсуждается у Коэна в его известной
книжке. Математики нелогики, никогда не пользуются аксиомой СМ явно, вот им и кажется
что она не нужна. В обычной арифметике всегда предполагается что существует счетная
модель 1,2,3,...Вообще любые дискуссии на эту тему просто неуместны. Это в любом учебнике
по матлогике написано-постулируется, что модели существуют, а если не существуют то все противоречиво. Если конечно постулировать, что математические объекты существуют только
в голове, то можно заити очень далеко как например Вольпин, который заявил, что
множество формул это не множество
Но на самом деле это ничего по существу не меняет,
от подобных заявлений противоречия никуда не исчезают, просто разрушается доказательство противоречивости на уровне метатеории, внутри ZFC все равно удается провести это доказательство путем незначительного усложнения конструкций. Можно конечно
ввести еще более сильные ограничения и выкинуть теорию доказательств, но боюсь, что логики на это не пойдут.
