Вопрос про обобщённые функции!

[Аурелиано Буэндиа]

Известно, что 1-мерное уравнение Шрёдингера
$(-\partial_{x}^2-V)\psi(x)=k^2\psi(x)$ имеет решения для некоторых потенциалов из класса обобщенных функций на точечном носителе. Я имею в виду например$V=\delta(x)$, решение легко построить. Я не буду останавливаться на этом.
А вот у уравнения с потенциалом $V=\delta'(x)$ решений нет.
Здесь более менее всё понятно. Но рассмотрим уравнение Шредингера в $\mathbb{R}^3$
$(-\triangle+V(x))\psi=k^2\psi$.
Легко проверяется что $\psi=\hbox{exp}(ik|x|)/|x|$ ($x\in \mathbb{R}^3$)- решение.
У меня такой вопрос: что есть $V$ в этом случае?
Сразу скажу: мне кажется, что $V\sim \delta(x)$ не подходит.

P.S. В квантовой механике $V$ - это оператор умножения на функцию!

[LynxGAV]

Не поняла вопрос.

Ты берешь конкретный потенциал и находишь волновую функцию.
А не говоришь, что есть такая функция, а какой же будет потенциал, чтобы удовлетворить уравнению.
Единственное, сразу можно утверждать, что потенциал может быть discontinuous, но limited, чтобы функция, как и ее первая производная, были continuous.
Отдельный случай - дельта-функции, потому что как раз в ее случае мы можем удовлетворить ГУ.

Потенциал (из соображений размерности не потенциал, а некоторое "вэ с волной" при твоей записи...) зависит от одной координаты?

PS После РМ в целом поняла ход твоих мыслей. Посмотрим.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Не поняла вопрос.
Ты берешь конкретный потенциал и находишь волновую функцию.
А не говоришь, что есть такая функция, а какой же будет потенциал, чтобы удовлетворить уравнению.

Попробую пояснить. Этот вопрос возник у меня после
просмотра книги Владимирова "Обобщенные функции в математической физике". Обобщенные функции расширяют наше представление о обычных функциях. Квантовая механика показала, что они просто необходимы. Например $\delta$-функция, которую, кстати, впервые ввел Дирак. Обобщенные функции можно дифференцировать как обычные функции. Например
функция Хевисайда $\eta'(x)=\delta(x)$. Но есть и отличия. Например,
они могут не иметь значения в точке ($\delta(x)$ неопределена при $x=0$).
Существуют обобщенные функции и в $\mathbb{R}^3$ например $\delta(\vec{r})$

Меня очень волнует уравнение Шредингера в 3-х мерном пространстве
$(-\triangle+V)\psi(\vec{r})=k^2\psi(\vec{r})$
Мне известно решение
$\psi=\hbox{exp}(ikx)/r$ , если его
подставить, то получим, что
$V\hbox{exp}(ikx)/r = -4\pi \delta(\vec{r})$
От сюда видно, что $V$ - какая-то обобщенная
функция на точечном носителе (т.е. всюду ноль кроме точки $\vec{r}=0$)
Вопрос какая?
Уважаемые математики помогите! Буду очень благодарен.

[LynxGAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Решение для 1-го уравнения Шредингера с $V=\delta(x)$ можно тоже выразить через обобщенные функции (функцию Хевисайда). Их можно дифференцировать (например дифференцируем функцию Хевисайда $\eta'(x)=\delta(x)$) и т.д.

Только что решила уравнение $-\frac {{\hbar}^2}{2m}\frac {d^{2}\phi}{dx^2} + V(x)\phi = E\phi$ для потенциала $V(x)=-\lambda\delta(x)$, где ввела некий коэффициент $\lambda>0$ в случае дискретного спектра ($E<0$). Привожу ответ: $\phi= A e^{-k|x|}$ + отнормировать надо $A^2 \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-2k|x|}dx = 1$. Чудная функция. Для случая положительных энергий тоже что-то будет, решить просто.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Но посуди сама:
$\triangle \left( -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ikr}}{r} \right) = \delta(\vec{r})$
это уравнение для функции Грина.

Я такого не знаю.
\triangle \frac {1}{R} = - 4\pi \delta (\vec R), решение $G(\vec r - \vec r ')= - \frac {1}{4\pi |\ver r - \vec r'|}$, где переобозначила $\vec R = \vec r - \vec r'$.

Такие важные для меня моменты, что о потенциале пока молчу.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Но посуди сама:
$\triangle \left( -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ikr}}{r} \right) = \delta(\vec{r})$
это уравнение для функции Грина.

Я тогда быстро печатал и опечатался. Должно быть так:
$(\triangle+k^2) \hbox{exp}(ikr)/r = -4\pi \delta(\vec{r})$,
т.е. речь идет о функции Грина для уравнения Гельмгольца

[LynxGAV]

Теперь все ясно, коллега . (Просто хорошее настроение.)

Ты несколько раз не точно выразился, а я так не могу.

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Обобщенные функции расширяют наше представление о обычных функциях. Квантовая механика показала, что они просто необходимы. Например $\delta$-функция, которую, кстати, впервые ввел Дирак. Обобщенные функции можно дифференцировать как обычные функции. Например функция Хевисайда $\eta'(x)=\delta(x)$. Но есть и отличия. Например, они могут не иметь значения в точке ($\delta(x)$ неопределена при $x=0$).

У них и другие отличия есть. Например, произведение двух обобщённых функций не всегда имеет смысл (скажем, $\delta(x)\delta(x)$). Вообще их обычно представляют как непрерывные линейные функционалы на подходящем пространстве "основных" функций (например, в качестве пространства "основных" функций берут множество бесконечно дифференцируемых функций, равных 0 вне ограниченной области, зависящей от функции). Естественно, набор получаемых при этом обобщённых функций и их свойства зависят от свойств "основных" функций.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Меня очень волнует уравнение Шредингера в 3-х мерном пространстве $(-\triangle+V)\psi(\vec{r})=k^2\psi(\vec{r})$
Мне известно решение $\psi=\hbox{exp}(ikx)/r$ ,

Тут опечатки нет? Первоначально было $\psi(\vec x)=\hbox{exp}(ikr)/r$, где $r=|\vec x|$. Это действительно решение уравнения $-\triangle\psi(\vec x)=k^2\psi(\vec x)$ при $r\ne 0$. Но решение это ведёт себя при $r\to 0$ весьма "странно": оно не ограничено, и его действительная и мнимая части не имеют никаких пределов при $r\to 0$, даже бесконечных, хотя $|\psi(\vec x)|\to+\infty$. Оно физический смысл имеет?

Аурелиано Буэндиа писал(а):

если его подставить, то получим, что
$V\hbox{exp}(ikx)/r = 4\pi \delta(\vec{r})$

Я такими вычислениями не занимался уже больше 30 лет, но что-то у меня какие-то сомнения...

Аурелиано Буэндиа писал(а):

От сюда видно, что $V$ - какая-то обобщенная
функция на точечном носителе (т.е. всюду ноль кроме точки $\vec{r}=0$)
Вопрос какая?

Вообще-то, $r\delta(\vec x)=0$ в смысле обобщённых функций ($\delta(\vec x)=\delta(x_1)\delta(x_2)\delta(x_3)$).

P.S. Вообще, написанное мной следует рассматривать не как ответ на вопрос, а как источник сомнений по поводу существования того, что Вам хочется.

[LynxGAV]

Извините-простите, Someone, но, действительно, такое решение есть.
Я его в профиль знаю, и даже в анфас.

[LynxGAV]

Слушай - это рассеивающий (возмущающий потенциал). Вот он тебе сдался!
Есть же решение уже готовое в общем виде.

[Someone]

LynxGAV писал(а):

Извините-простите, Someone, но, действительно, такое решение есть.
Я его в профиль знаю, и даже в анфас.

Извините, но я как-то не могу догадаться, о каком решении Вы говорите? Если о $\psi(\vec x)=exp(ikr)/r$, где $r=|\vec x|$, то оно, конечно, есть. Я интересовался его физическим смыслом (по-моему, это в моём тексте достаточно ясно выражено).
Или Вы о чём-то другом?

[LynxGAV]

Подобные функции (включая модифицированные) возникают, например, в теории диффузии нейтронов (мезонный потенциал есть термин). Вообще такое уравнение - это пространственная часть волнового уравнения - во многих задачах встречается.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

У них и другие отличия есть. Например, произведение двух обобщённых функций не всегда имеет смысл (скажем, $\delta(x)\delta(x)$). Вообще их обычно представляют как непрерывные линейные функционалы на подходящем пространстве "основных" функций (например, в качестве пространства "основных" функций берут множество бесконечно дифференцируемых функций, равных 0 вне ограниченной области, зависящей от функции). Естественно, набор получаемых при этом обобщённых функций и их свойства зависят от свойств "основных" функций.

В общих чертах мне это известно.

Someone писал(а):

Тут опечатки нет? Первоначально было $\psi(\vec x)=\hbox{exp}(ikr)/r$, где $r=|\vec x|$. Это действительно решение уравнения $-\triangle\psi(\vec x)=k^2\psi(\vec x)$ при $r\ne 0$. Но решение это ведёт себя при $r\to 0$ весьма "странно": оно не ограничено, и его действительная и мнимая части не имеют никаких пределов при $r\to 0$, даже бесконечных, хотя $|\psi(\vec x)|\to+\infty$. Оно физический смысл имеет?

Может была замена букв. Я уже не помню. Просто математики часто пишут $x$ и понимают под этим вектор; $kx$, $<k,x>$ - скалярное произведение, а $|x|$ - норма (или длина вектора). А физики часто обозначают вектор $\vec{r}$, а под $r$ понимают длину вектора
$\vec{r}$. Если как математики то должно быть
$\psi=\hbox{exp}(ik|\vec{x}|)}/|\vec{x}|$,
$V\hbox{exp}(ik|\vec{x}|)/|\vec{x}| = 4\pi \delta(\vec{x})=4\pi \delta(x_1)\delta(x_2)\delta(x_3)$
Насчет физического смысла: Дайте нам решение, а проинтерпретировать мы сможем
В действительности LynxGAV права, эта функция описывает состояния рассеяния. И это имеет отношение к нейтронам. Да очень много всего. Как только физики при этом не извращаютя. Я хочу найти математически корректный ответ на этот вопрос.

Someone писал(а):

Вообще-то, $r\delta(\vec x)=0$ в смысле обобщённых функций ($\delta(\vec{x})=\delta(x_1)\delta(x_2)\delta(x_3)$).
P.S. Вообще, написанное мной следует рассматривать не как ответ на вопрос, а как источник сомнений по поводу существования того, что Вам хочется.

Сомнения вполне обоснованные. Вообще Владимиров не рассматривал дифуры с
коэффициенами в виде обобщенных функций. Может быть это вообще
пробел в теории обобщенных функций???
Кстати равенство $r\delta(\vec{x})=0$ вытекает из определения $\delta$-функции как функционала и мне это понятно. Но сложность в том, что
$1/|\vec{x}|$ это тоже обобщенная функция. и мы имеем произведение 2-х
обобщенных функций $V\frac{1}{|\vec{x}|}$. А где по Вашему самые слабые места в моем изложении?

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Но сложность в том, что
$1/|\vec{x}|$ это тоже обобщенная функция. и мы имеем произведение 2-х
обобщенных функций $V\frac{1}{|\vec{x}|}$. А где по Вашему самые слабые места в моем изложении?

Произведение двух обобщённых функций $V$ и $\frac{1}{|\vec x|}$ не является, вообще говоря, обобщённой функцией. Там какие-то специальные условия нужны, которые здесь могут и не выполняться.

[Capella]

Someone писал(а):

Произведение двух обобщённых функций $V$ и $\frac{1}{|\vec x|}$ не является, вообще говоря, обобщённой функцией. Там какие-то специальные условия нужны, которые здесь могут и не выполняться.

Извините, а разве произведение двух обобщённых функций вообще имеет смысл? По Колмогорову "Функциональный анализ" (стр.207) такое произведение невозможно, если операция непрерывна. а для регулярных обобщённых функций совпадала бы с обычным умножением!

[LynxGAV]

Ничего страшного, в трехмерном случае особенность функции $\frac {1}{r}$ характерна для оператора $L=\triangle$, а саму функцию можно представить как $G (\vec r) = \frac {1}{4\pi r} + W (\vec r)$, где $W (\vec r)$ - регулярная, зависящая от формы диф. уравнения и гран. условий.

Аурелиано, помнишь борновское приближение. Вот чтобы найти неизвестную функцию рассеянной волны, как раз попутно надо посчитать функцию Грина, но в итоге вычислять ты будешь в зависимости от конкретного рассеивающего потенциала. Как сама задача-то ставится.

При квантовом рассеянии у тебя уравнение Шредингера сведется к $(\triangle + k^2)\Phi (\vec r) = \frac {2m}{{\hbar}^2} V (\vec r) e^{ikz}$, где $V (\vec r)$ - рассеивающий потенциал. А решением будет $\Phi (\vec r) = - \int G_k (\vec r, \vec r') \frac {2m}{{\hbar}^2} V (\vec r') e^{ikz'} d\vec r'$ c $G (\vec r, \vec r') = \frac {e^{ik|\vec r - \vec r'|}}{4\pi |\vec r - \vec r'|}$. Вполне нормальный "ответ".

Пиши в нике GAV..