Росток аналитических функций

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #846105 писал(а):

Munin всю сознательную жизнь называю "шапочкой" :D

А вот у меня сознательная жизнь началась раньше, чем я узнал про эту функцию...

[g______d]

OlgaD в сообщении #846136 писал(а):

по-видимому я не поняла про корни с разными разрезами

Тогда вспомните, как определялась функция $\sqrt{z}$, особенно про то, что такое разрез и насколько произвольно его можно выбирать. После этого рассмотрите 2 простых разреза на ваш выбор и сравните, где при этом выборе функции совпадают, а где нет.

[OlgaD]

Насколько я помню, многозначная функция $\sqrt{z}$ определяется как множество всех аналитических продолжений исходного ростка функции по всем возможным кривым. Если сделать разрез, выходящий из точки 0, можно выделить две однозначные ветви этой функции. Т. е. такой разрез - это запрещение движения вокруг точки 0. Беру два экземпляра плоскости (одну копию с разрезом вдоль отрицательной вещественной оси, другую, например, по положительной). Мне проще работать с функцией, заданной так $f(z)=\sqrt{z}=\sqrt{r}e^{i\varphi/2},$ где $z=re^{i\varphi}.$ Рассматриваю росток функции с $\sqrt{1}=1.$ При любом продолжении на обеих экземплярах вроде бы должно получаться одно и то же.

[_Ivana]

Munin в сообщении #846101 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function
Как это называется по-русски?

Спасибо, "шапочку" с нулевыми производными я уже придумал когда-то, когда хотел попробовать ее в качестве интерполянты. Я имел в виду "шапочку" с любыми конечнозначными последовательностями производных в обоих краях. И предположил, что ее можно задать бесконечным многочленом, коэффициенты которого рассчитываются из условий, накладываемых этими производными, как бесконечная система линейных уравнений - по аналогии с рядом Тэйлора для одной точки.

[Otta]

OlgaD в сообщении #846178 писал(а):

При любом продолжении на обеих экземплярах вроде бы должно получаться одно и то же.

Нет. Разрежьте по мнимой оси, для наглядности. Один разрез вверх, другой вниз. И смотрите значения выбранной ветви вдоль, скажем, единичной окружности. Для простоты. На каком участке этой окружности значения функций будут совпадать? где перестанут?

-- 06.04.2014, 17:59 --

_Ivana

(Оффтоп)

имхо, это какая-то отдельно взятая задача. Она сама по себе интересна, но тут это оффтоп. Поймите меня правильно, я не боюсь оффтопа)), я боюсь, что мы ТС им еще раз собьем с толку. Может, Вы ее в отдельно взятую ветку сорганизуете, а? как вариант.

[OlgaD]

Хорошо, давайте попробуем так. Можно только я подробно буду писать?

Итак, у меня два экземпляра плоскости. Разрез по верхней части мнимой оси говорит о том, что я могу двигаться в пределах $\left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right)$. На втором экземпляре разрез вниз по мнимой оси, т.е. могу двигаться в пределах $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right).$ Теперь сравниваем значения функции $\sqrt{z}.$

[Munin]

_Ivana в сообщении #846190 писал(а):

Я имел в виду "шапочку" с любыми конечнозначными последовательностями производных в обоих краях.

Не пробовали получать её из вот этой вот, всякими сложениями и умножениями?

-- 06.04.2014 16:26:31 --

_Ivana в сообщении #845869 писал(а):

А с еще получается, что для любой бесконечно дифференцируемой функции можно создать бесконечное множество ее бесконечно дифференцируемых двойников, отличающихся от исходной на любом задаваемом конечном интервале - надо только врезать туда соответствующую "выпуклость" и склеить в точках врезки по всем бесконечным производным.

Собственно, на заданном интервале к ней попросту прибавляется "шапочка", и больше ничего склеивать не надо.

[_Ivana]

Munin, спасибо, второе предложение понятно, действительно очевидно. А по первому - надо подумать, если хватит знаний.
Кстати, дабы не быть захватчиком темы, переехал со своим вопросом в эту тему

[OlgaD]

Otta либо меня окончательно заклинило, либо еще что, но у меня совпадает везде. Единственное, где я могла наврать, не проконтролировала условие $\sqrt{1}=1.$

[Otta]

OlgaD
Ну давайте для первой ветви $f_1$ (разрез вверх) все значения на окружности в точках, кратных $\pi/4$, и для другой (разрез вниз) - то же самое. Для контроля.

[OlgaD]

Otta в сообщении #846244 писал(а):

OlgaD
Ну давайте для первой ветви $f_1$ (разрез вверх) все значения на окружности в точках, кратных $\pi/4$, и для другой (разрез вниз) - то же самое. Для контроля.

Именно так и делала. Сейчас еще раз перепроверю свои вычисления. Точно где-то наврала.

-- 06.04.2014, 17:53 --

Я поняла, где врала (даже стыдно сказать, где просмотрела ). Совпадение заканчивается тогда, когда переходим с полуплоскости $\operatorname{Im}z<0$ на полуплоскость, где $\operatorname{Im}z<0.$

[OlgaD]

Могу только предположить (возвращаясь к сформулированному выше упражнению), что появление многозначности функции не противоречит принципу аналитического продолжения (или, что то же самое, теореме единственности), так как осуществляющие аналитическое продолжение функции являются аналитическими в разных областях.

[nnosipov]

OlgaD в сообщении #847098 писал(а):

так как осуществляющие аналитическое продолжение функции являются аналитическими в разных областях.

Дело в том, что пересечение этих областей уже может оказаться не областью (не будет связности, как в разобранном Вами примере с $\sqrt{z}$), и противоречия с теоремой единственности нет.

[OlgaD]

Поняла. Это я как-то просмотрела. Спасибо!