Росток аналитических функций

[nnosipov]

Otta в сообщении #846105 писал(а):

Munin всю сознательную жизнь называю "шапочкой"

Аналогично.

[OlgaD]

По-видимому я упустила момент, когда стали рассматривать отдельные классы функций.

[Otta]

OlgaD в сообщении #846108 писал(а):

когда стали рассматривать отдельные классы функций.

Тогда, когда Вам понадобились два разных представителя одного ростка. На что было сказано, что в классе аналитических функций пример Вам не получится привести (по понятным причинам), а в классе каком-то другом - пожалуйста. Но определение не различает классов, это специфика классов такова.

[g______d]

Otta в сообщении #846111 писал(а):

Тогда, когда Вам понадобились два разных представителя одного ростка. На что было сказано, что в классе аналитических функций пример Вам не получится привести (по понятным причинам)

Если рассматривать функции на комплексной плоскости и ничего не говорить про риманову поверхность, то $\sqrt{z}$ с двумя разными разрезами, формально говоря, подходит.

[OlgaD]

Вроде еще говорилось про многозначные аналитические функции. Если я правильно поняла, то здесь можно определить множество представителей, если выделить отдельную ветвь функции.

У меня возник еще один вопрос: почему говорят о продолжении не функций, а ростков функций вдоль кривых. Скорее всего - это эквивалентные понятия. Эквивалентные функции определяют один и тот же росток.

[g______d]

OlgaD в сообщении #846115 писал(а):

У меня возник еще один вопрос: почему говорят о продолжении не функций, а ростков функций вдоль кривых. Скорее всего - это эквивалентные понятия. Эквивалентные функции определяют один и тот же росток.

Да, аналитическое продолжение вдоль кривой зависит только от ростка, а не от конкретного представителя.

-- Вс, 06 апр 2014 02:19:20 --

OlgaD в сообщении #846115 писал(а):

Если я правильно поняла, то здесь можно определить множество представителей, если выделить отдельную ветвь функции.

Нужно аккуратнее. В случае с корнем ветвь уже зафиксирована, поскольку зафиксировано значение в единице. Проблема в том, что функция $\sqrt{z}$ определена не на комплексной плоскости, а на римановой поверхности корня (2 экземпляра комплексной плоскости без нуля, склеенные по разрезу). Если мы рассматриваем представители ростка функции на римановой поверхности, то они все будут сужениями одной и той же функции. Если мы хотим, чтобы функция жила на комплексной плоскости, то разные выборы разреза будут соответствовать разным отождествлениям куска римановой поверхности с подмножествами комплексной плоскости. Т. е. функция на римановой поверхности одна и та же, но мы ее по-разному запихиваем на плоскость, поэтому получаются разные представители. А целиком она на плоскость, как было сказано выше, не помещается.

-- Вс, 06 апр 2014 02:22:23 --

Упражнение: вот я привел 2 неэквивалентных представителя ростка функции $\sqrt{z}$ с $\sqrt{1}=1$ (корни с разными разрезами). Если их сузить на пересечение областей определения, получатся 2 разные аналитические функции, совпадающие в окрестности единицы. Почему не возникает противоречия с принципом аналитического продолжения?

[nnosipov]

g______d в сообщении #846116 писал(а):

Упражнение: ...

Хорошее упражнение.

[OlgaD]

Наверное, потому, что точка 0 --- точка ветвления этой функции. Вы это имеете в виду?

[Otta]

g______d
Щас и меня переклинит. Вы говорите о ростке корня в точке (какой?) или об аналитическом продолжении его, куда можно?
...до сих пор речь шла о ростках в точке, как я понимала обсуждение.

[OlgaD]

Просто переформулируйте упражнение, пожалуйста.

[nnosipov]

OlgaD в сообщении #846120 писал(а):

Вы это имеете в виду?

Точка ветвления --- это только название этой ситуации. А речь идёт о том, чтобы объяснить, почему нет противоречия.

[g______d]

Otta в сообщении #846122 писал(а):

Вы говорите о ростке корня в точке (какой?)

О ростке корня в точке 1 со значением 1. Росток — это класс эквивалентности пар (область, содержащая 1; функция, аналитическая в этой области) по понятно какому отношению эквивалентности (существует общая подобласть, такая что на ней функции совпадают). Я привел пример двух представителей одного и того же ростка, у которых нет общей "надфункции".

[nnosipov]

OlgaD в сообщении #846123 писал(а):

Просто переформулируйте упражнение, пожалуйста.

По-моему, уже нормально сформулировано.

[Otta]

g______d в сообщении #846127 писал(а):

Я привел пример двух представителей одного и того же ростка, у которых нет общей "надфункции".

А, поняла. Вы это к тому замечанию про то, что если аналит. функции совпадают в некоторой окрестности, то и совпадают, где можно.
Да, конечно, я специфики многозначных не имела в виду.

[OlgaD]

g______d в сообщении #846116 писал(а):

вот я привел 2 неэквивалентных представителя ростка функции $\sqrt{z}$ с $\sqrt{1}=1$ (корни с разными разрезами)

по-видимому я не поняла про корни с разными разрезами