Росток аналитических функций

[OlgaD]

Разбираюсь с новым для меня понятием ростка аналитической функции. Возник сразу вопрос функции $f(z)=z$ и $g(z)=\sin z$ являются представителями одного ростка, ну например, функции $h(z)=\tg z$ в точке $z=0?$ Или у меня возникли неправильные ассоциации? Помогите, пожалуйста.

[Vince Diesel]

Росток — это класс эквивалентности функций по отношению "совпадать в некоторой окрестности данной точки". Очевидно, $f$, $g$ и $h$ не совпадают ни в какой окрестности нуля.

[OlgaD]

Значит, действительно, повело не туда. А можно подобрать какой-нибудь наглядный пример, чтобы было понятно какие функции можно назвать "совпадающими в некоторой окрестности данной точки". Пока для меня это звучит очень формально

[Vince Diesel]

Две функции могут иметь разные области определения, что автоматически делает их различными. Также их можно по разному продолжать куда-то дальше. И там они могут не совпадать.

Можно рассматривать ростки других классов. Например, дифференцируемых функций. Тут уже очевидно, что если две функции совпадают в какой-то окрестности, то не обязаны совпадать на всей области определения, даже если она у них одна.

[nnosipov]

Росток аналитической функции в точке (допустим, в нуле) --- это фактически последовательность $\{a_n\}$ её коэффициентов Тейлора. Посадили Взяли $a_n=n$ --- выросла дробно-линейная функция. Взяли $a_n=1/n$ --- логарифм вырос. Взяли $a_n=n!$ --- ничего не выросло (нет такой аналитической функции).

[OlgaD]

nnosipov в сообщении #845408 писал(а):

Росток аналитической функции в точке (допустим, в нуле) --- это фактически последовательность $\{a_n\}$ её коэффициентов Тейлора. Посадили Взяли $a_n=n$ --- выросла дробно-линейная функция. Взяли $a_n=1/n$ --- логарифм вырос. Взяли $a_n=n!$ --- ничего не выросло (нет такой аналитической функции).

Наглядно, но я вообще-то спрашивала немного о другом. Я просила привести пример двух функций, связанных отношением эквивалентности, т. е. совпадающих на некотором открытом множестве. Другими словами, если есть росток, ну пусть та же последовательность $\{a_n\}$ с $a_n=n,$ то мне бы хотелось понять, что за два различных представителя у данного класса эквивалентности. Коряво немного, но вот что я хотела понять.

Точнее, наверное, так. Пусть есть функция $z/(z-1)^2,$ которая "выросла" из последовательности $a_n=n.$ Тогда какая функция будет попадать в тот же класс эквивалентности?

[svv]

Как всегда, можно найти разность эквивалентных функций и получить на волосок более простую и приятную ситуацию, когда что-то эквивалентно нулю. У каких различных функций может быть $a_n=0$? (я не знаю)

[OlgaD]

Пока все равно понятнее не стало. Видимо, я коряво задаю вопрос

[nnosipov]

Нетривиальных примеров в классе аналитических функций не будет, их запрещает теорема единственности (если две аналитические в данной области функции совпадают в некоторой малой окрестности какой-нибудь точки области, то они совпадают всюду в области). Поэтому здесь можно только говорить о разных способах задания. Например, функция $f(z)$ задана формулой $\sum z^n$, а функция $g(z)$ задана формулой $1/(1-z)$. Эти функции эквивалентны в точке $z=0$.

[OlgaD]

А если ограничить функцию $g(z)$ с $\mathbb{C}\setminus\{1\}$ на какое-либо открытое множество, содержащее 0, но не 1, это будет "другим" представителем того же ростка?

[nnosipov]

Да, будет. Просто по определению.

[OlgaD]

Спасибо. Еще не все совсем понятно, но мне надо посидеть и немного подумать.

[g______d]

nnosipov в сообщении #845437 писал(а):

Нетривиальных примеров в классе аналитических функций не будет, их запрещает теорема единственности (если две аналитические в данной области функции совпадают в некоторой малой окрестности какой-нибудь точки области, то они совпадают всюду в области). Поэтому здесь можно только говорить о разных способах задания.

Нетривиальным примером обычно считаются многозначные функции. Например, можно зафиксировать значение $\sqrt{z}$ так, чтобы $\sqrt{1}=1$, тогда росток в единице будет зафиксирован, но продолжение на всю плоскость с выкинутым разрезом не единственнно, т. е. есть большой произвол в выборе разреза.

Это тоже фактически одна и та же функция на разных областях определения (подмножествах римановой поверхности корня), но при этом отождествление подмножества с подмножеством комплексной плоскости осуществляется с помощью разных карт.

[Otta]

Росток голоморфного отображения - понятие, используемое, когда требуется сказать о локальных свойствах голоморфной функции. Как было уже сказано, если в пересечении некоторых окрестностей [в области определения] точки $x$ голоморфные функции совпадают, то в каждой из окрестностей это одна и та же функция. Так что большого смысла, кроме как подчеркнуть, что рассматриваются только локальные свойства, у этого термина в случае аналитических функций нет. Для понимания можно опускать слово росток, считая, что речь идет о функции, голоморфной в малой окрестности указанной точки.

Другое дело, например: рассмотрим росток непрерывной функции $f(x)=x$ в точке 0.Это может быть любая функция, равная $x$ на сколь угодно малой окрестности нуля, а вне нее как-то продолжающаяся по непрерывности на область своего определения, как далеко - не важно. Таких функций, понятно, очень много, но этот факт, опять же, не влияет на локальные свойства каждой из них. Примерно так.

[g______d]

В теории комплексных многообразий (начиная с римановых поверхностей) без ростков никуда, потому что на компактных многообразиях глобально заданных голоморфных функций вообще не бывает (кроме констант).