Росток аналитических функций

[nnosipov]

g______d в сообщении #845471 писал(а):

Нетривиальным примером обычно считаются многозначные функции. Например, можно зафиксировать значение $\sqrt{z}$ так, чтобы $\sqrt{1}=1$, тогда росток в единице будет зафиксирован, но продолжение на всю плоскость с выкинутым разрезом не единственнно, т. е. есть большой произвол в выборе разреза.

Я бы сказал, что это пример нетривиальной ситуации, которая может приключиться с некоторыми ростками при их выращивании --- на комплексной плоскости может не оказаться "универсальной" области определения для получаемой функции.

[Otta]

g______d в сообщении #845499 писал(а):

В теории комплексных многообразий (начиная с римановых поверхностей) без ростков никуда, потому что на компактных многообразиях глобально заданных голоморфных функций вообще не бывает (кроме констант).

Поэтому и подчеркивается: локально.

[g______d]

Нет, все правильно, просто из фразы

Otta в сообщении #845486 писал(а):

Так что большого смысла, кроме как подчеркнуть, что рассматриваются только локальные свойства, у этого термина в случае аналитических функций нет.

можно подумать, что понятие ростка голоморфной функции менее интересно, чем ростка непрерывной/гладкой функции. В некотором смысле ситуация обратная, мне показалось, что это может быть важно для дальнейшего понимания.

[Otta]

g______d в сообщении #845641 писал(а):

можно подумать, что понятие ростка голоморфной функции менее интересно, чем ростка непрерывной/гладкой функции

Ни в коем разе, мне просто кажется, что так его легче (нагляднее) иллюстрировать начинающему, чтобы не пришлось раньше времени перегружать понятийным аппаратом.

[OlgaD]

Вообще-то мне интересно понятие ростка функций в общем случае. Так как вопрос о ростке возник не совсем на одном определении. Я пыталась осмыслить, что такое слой предпучка голоморфных функций и, в частности, элементы этого слоя --- ростки. Однако, можно рассмотреть пучки (предпучки) любых функций. Хотелось бы понять в общем.

Otta в сообщении #845486 писал(а):

Другое дело, например: рассмотрим росток непрерывной функции $f(x)=x$ в точке 0.Это может быть любая функция, равная $x$ на сколь угодно малой окрестности нуля, а вне нее как-то продолжающаяся по непрерывности на область своего определения, как далеко - не важно. Таких функций, понятно, очень много, но этот факт, опять же, не влияет на локальные свойства каждой из них. Примерно так.

А для сравнения можно привести пример пары таких функций? Это по-моему главное слабое место в понимании --- не умею строить примеры функций, совпадающих на какой-либо окрестности, а дальше ведущих себя по разному.

[Otta]

OlgaD в сообщении #845670 писал(а):

А для сравнения можно привести пример пары таких функций?

Можно, но зачем? это как раз не очень интересно, вы их целую толпу можете сами нарисовать.
Ну, например, часть толпы:

$$f_\varepsilon(x)=\begin{cases}x, & |x|<\varepsilon,\\ \varepsilon, & \text{иначе}\end{cases}$$

В нуле это всё элементы одного и того же ростка, что там они делают вдали от нуля (вдали - это даже немного вдали), совершенно все равно, нам важно, что происходит в сколь угодно малой окрестности. А в малой окрестности это одно и то ж. :)

[OlgaD]

Так и подумала, что функция будет задаваться системой. А закралось подозрение, что можно задать как-то иначе. Поэтому и спросила.

[Otta]

OlgaD в сообщении #845679 писал(а):

будет задаваться системой

(Оффтоп)

Это называется "кусочно". Кусочно заданная функция.
Можно их и "некусочно" задать, но так нагляднее. Да и зачем стараться ради мелочей.

[OlgaD]

(Оффтоп)

Не думаю, что это будет мелочью, если мешает пониманию важного определения ростка функции. В любом случае я теперь знаю, что именно мешало понимаю определения. Спасибо.

[Brukvalub]

Кстати, вот стандартная задача "на ростки": показать, что в классе бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси в ростке нулевой функции в 0 есть ненулевая функция.

[_Ivana]

Brukvalub в сообщении #845830 писал(а):

показать, что в классе бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси в ростке нулевой функции в 0 есть ненулевая функция.

Если я не ошибаюсь и правильно понимаю о чем речь, то в качестве примера должна подойти одна моя бесконечно дифференцируемая базисная интерполянта, которую я как-то соорудил из тождественно нулевой функции с врезанной в конечный интервал экспонентой уже не помню с чем в показателе - чтобы функция была непрерывна, бесконечно дифференцируема и равна 1 в одном натуральном аргументе и нулю во всех остальных. Все было хорошо, но как интерполянта она оказалась плохой - интерполирующая функция получалась гладкой, но все производные в узлах интерполяции получались ожидаемо нулевые.

[Brukvalub]

Согласен. Будем понимать под ростком в данной точке последовательность значений производных функции в данной точке.
Если же под ростком понимать множество всех функций, попарно совпадающих в какой-либо окрестности данной точки, то задачка выглядит хуже, хотя тоже имеет смысл.

-- Сб апр 05, 2014 19:31:41 --

_Ivana в сообщении #845855 писал(а):

Brukvalub в сообщении #845830 писал(а):

показать, что в классе бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси в ростке нулевой функции в 0 есть ненулевая функция.

Если я не ошибаюсь и правильно понимаю о чем речь, то в качестве примера должна подойти одна моя бесконечно дифференцируемая базисная интерполянта, которую я как-то соорудил из тождественно нулевой функции с врезанной в конечный интервал экспонентой уже не помню с чем в показателе - чтобы функция была непрерывна, бесконечно дифференцируема и равна 1 в одном натуральном аргументе и нулю во всех остальных. Все было хорошо, но как интерполянта она оказалась плохой - интерполирующая функция получалась гладкой, но все производные в узлах интерполяции получались ожидаемо нулевые.

Да, примерно об этом и шла речь.

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #845857 писал(а):

Будем понимать под ростком в данной точке последовательность значений производных функции в данной точке.

Вы имеете в виду $e^{-1/x^2}$?

[Brukvalub]

Да.

[_Ivana]

Неопределенные в конечном числе точек функции с устраняемыми разрывами можно определять естественным образом до непрерывности.
А с еще получается, что для любой бесконечно дифференцируемой функции можно создать бесконечное множество ее бесконечно дифференцируемых двойников, отличающихся от исходной на любом задаваемом конечном интервале - надо только врезать туда соответствующую "выпуклость" и склеить в точках врезки по всем бесконечным производным. "Врезку" можно генерировать как полином бесконечной степени, коэффициенты которого рассчитываются по условиям склейки всех производных (начиная с нулевой) в обоих краях?