Электрический ток

[Munin]

Ну вот чтобы найти его в любой точке, в формулу надо подставлять поверхность. Я так понимаю, Pineapple именно это имеет в виду.

-- 29.03.2014 12:44:04 --

Pineapple в сообщении #842606 писал(а):

А если взять два заряженных шарика и соеденить их проводником, то потенциал на каком-нибудь расстоянии от этой системы будет? И он будет меньше?

Да, будет. Да, меньше. Но вот формулу я вам не скажу. В большинстве конфигураций проводников формулы очень сложные, их вычисление изучается где-то на 3 курсе вуза.

[Pineapple]

Цитата:

Ну вот чтобы найти его в любой точке, в формулу надо подставлять поверхность.

Цитата:

Да, будет. Да, меньше. Но вот формулу я вам не скажу. В большинстве конфигураций проводников формулы очень сложные, их вычисление изучается где-то на 3 курсе вуза.

Теперь все понятно.

Ещё хотелось бы узнать почему работа поля не зависит от траектории? Потому что поле может перемещать пробный заряд только в радиальном направлении?

[Nirowulf]

Pineapple писал(а):

Ещё хотелось бы узнать почему работа поля не зависит от траектории?

В электростатике электрическое поле является градиентом скалярного электрического потенциала $\overline E=-\operatorname{grad} \varphi$, а сила $\overline F=q\overline E$, соответственно, является градиентом потенциальной энергии поля $\overline F=-\frac{\partial U}{\partial \overline r}$.

Следовательно, работа A=\int_{\overline r_1}^{\overline r_2} \overline F \cdot d \overline r=U(\overline r_2)-U(\overline r_1) не зависит от пути интегрирования т.е. траектории, а зависит только от разности потенциальной энергий в начальной и конечной точках.

Такое поле называется потенциальным. Необходимое условие потенциальности поля в $3$-мерии это равенство нулю ротора поля. Для электрического поля это, очевидно: $\operatorname{rot}\overline E=-\operatorname{rot}\operatorname{grad} \varphi=0$.

[Munin]

Pineapple в сообщении #842613 писал(а):

Ещё хотелось бы узнать почему работа поля не зависит от траектории?

Представьте себе некоторый рельеф местности, где земля находится то выше, то ниже. Это потенциал (в двумерном пространстве $(x,y)$). Для этого рельефа существует некоторая "карта стрелочек", которая показывает, куда в какой точке направлен уклон поверхности, и насколько велик этот уклон. Эта карта - векторное силовое поле (опять же, в двумерном пространстве $(x,y)$). Придётся немного поднапрячься, чтобы вообразить, что в трёхмерном пространстве для векторного силового поля и потенциала действует такое же соотношение, но представить это можно. Это соотношение обозначают математически символом $\mathrm{grad}$ (со знаком минус, потому что сам по себе $\mathrm{grad}$ - "градиент" - показывает не уклон вниз, а направление вверх).

Так вот, на самом деле, нет никакой гарантии, что некоторая произвольно нарисованная "карта стрелочек" окажется такой картой, соответствующей некоторому "рельефу". Наоборот, велики шансы, что не окажется. Например, в ней может быть замкнутый путь, вдоль которого стрелочки все показывают в одну сторону. Такого рельефа не бывает.

НО. Иногда такая "карта стрелочек" соответствует всё-таки "рельефу", и в таком случае такое векторное силовое поле называют потенциальным. Имейте в виду, что это редкий удачный случай. Хотя в школе начинают рассказывать именно с таких случаев, в жизни они встречаются далеко не часто.

И дальше, пара фактов:
В электростатике, то есть, когда электрические заряды неподвижны, и нету никаких движущихся магнитов, электромагнитных волн и т. п., - электрическое поле является потенциальным. Это экспериментальный факт, закон природы.

В электродинамике, то есть, в более общем случае, когда есть не только электрические заряды и электрическое поле, но и какое-то движение, - электрическое поле НЕ является потенциальным. Известна "величина" его непотенциальности, она выражается через другие уравнения электродинамики, которые вы изучите в школе дальше по программе. Из этого выражения можно получить 0 для частного случая электростатики.

Nirowulf
Pineapple - школьник, а не первокурсник :-)

[Nirowulf]

Munin писал(а):

Nirowulf
Pineapple - школьник, а не первокурсник

О, прощу прощения!

Но позволю заинтриговать его ещё одной формулой как раз для

Цитата:

В электродинамике, то есть, в более общем случае, когда есть не только электрические заряды и электрическое поле, но и какое-то движение, - электрическое поле НЕ является потенциальным. Известна "величина" его непотенциальности, она выражается через другие уравнения электродинамики, которые вы изучите в школе дальше по программе. Из этого выражения можно получить 0 для частного случая электростатики.

В общем случае

$$\overline E=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overline A}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi$$

$\overline A$ это т.н. векторный потенциал. В частном случае электростатики, первое слагамое в формуле для $\overline E$ отсутствует.

[Munin]

(Оффтоп)

Nirowulf в сообщении #842754 писал(а):

В частном случае электростатики, первое слагамое в формуле для $\overline E$ отсутствует.

Бе-бе-бе :-) Как раз-таки, в одной из калибровок!

-- 29.03.2014 22:09:18 --

Я имел в виду другое уравнение, $\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{H}}{\partial t}.$ В электростатике правая часть обращается в нуль, и левая, соответственно, тоже, а если $\operatorname{rot}\mathbf{v}=0,$ то $\mathbf{v}=\operatorname{grad}s$ - есть такая теорема в математике.

[Nirowulf]

Munin в сообщении #842820 писал(а):

(Оффтоп)

Nirowulf в сообщении #842754 писал(а):

В частном случае электростатики, первое слагамое в формуле для $\overline E$ отсутствует.

Бе-бе-бе Как раз-таки, в одной из калибровок!

-- 29.03.2014 22:09:18 --

Я имел в виду другое уравнение, $\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{H}}{\partial t}.$ В электростатике правая часть обращается в нуль, и левая, соответственно, тоже, а если $\operatorname{rot}\mathbf{v}=0,$ то $\mathbf{v}=\operatorname{grad}s$ - есть такая теорема в математике.

Да-да!

Ну, впрочем, $\mathbf{H}=\operatorname{rot} \mathbf{A}$, поэтому вашу правую часть можно переписать как $\operatorname{rot}\left( -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)$, и, по идее, её исчезновение равносильно исчезновению первого слагаемого из формулы для $\mathbf{E}$, которую я привёл постом выше. Вся суть в том, что в случае постоянного э/м поля( а электростатика, сиречь, частный случай такого поля), нет зависимости полей( и потенциалов) от времени, и \mathbf{A} является функцией только от координат.

Но из уравнения Максвелла, которое вы привели, конечно, сразу видно, что электрическое поле $\mathbf{E}$ будет потенциальным в электростатике. Так что ваш подход более педагогичен=)

А-то общую формулу для $\mathbf{E}$ ещё вывести надо, а уравнения Максвелла, по-крайней мере, физматшкольникам рассказывают, а вот про векторный потенциал обычно нет. Не знаю, что рассказывают обычным школьникам, так как я сам учился в физматшколе в 10-11 классах, уравнения Максвелла у нас были, а вот про векторный потенциал нам учитель лишь в общих чертах рассказал, без подробностей формализма.

[Munin]

Nirowulf в сообщении #842834 писал(а):

по идее, её исчезновение равносильно исчезновению первого слагаемого из формулы для $\mathbf{E}$

Окститесь! Вам-то ничего, а человеку потом в вуз поступать, экзамены сдавать... вдруг он такое где ляпнет?

Nirowulf в сообщении #842834 писал(а):

нет зависимости полей( и потенциалов) от времени, и \mathbf{A} является функцией только от координат.

Повторяю: в одной из калибровок. Ну что вы, про калибровки только студенческий анекдот помните, что ли? Не верю. Ну а тогда, говорите аккуратно.

Nirowulf в сообщении #842834 писал(а):

А-то общую формулу для $\mathbf{E}$ ещё вывести надо, а уравнения Максвелла, по-крайней мере, физматшкольникам рассказывают, а вот про векторный потенциал обычно нет.

И студентам-то не всем.

[Nirowulf]

Munin писал(а):

Окститесь! Вам-то ничего, а человеку потом в вуз поступать, экзамены сдавать... вдруг он такое где ляпнет?

Это верно, в общем, Pineapple, слушайте Munin'а, а не меня=) Ну, при поступлении в ВУЗ, его вряд ли будут мучить электродинамикой.

Munin писал(а):

Повторяю: в одной из калибровок. Ну что вы, про калибровки только студенческий анекдот помните, что ли? Не верю. Ну а тогда, говорите аккуратно.

Да, конечно. Люблю я говорить неаккуратно сгоряча, прошу меня простить.

Более аккуратно, конечно, же так: электростатика это частный случай постоянного( не зависящего от времени) э/м поля т.е. $\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=0$ и $\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=0$. Ну, а дальше из уравнения Максвелла, которое вы привели, следует, что электрическое поле потенциально и что оно является градиентом некоторой скалярной функции.

Хм, а вот как раз этого анекдота я не помню/не слышал. Расскажите, пожалуйста!

Munin писал(а):

И студентам-то не всем.

Хочется верить, что студентам физических специальностей, $-$ всем. Про остальных судить не берусь. Да и остальным незачем знать, наверное, про векторный потенциал=)

[Munin]

Nirowulf в сообщении #842879 писал(а):

Ну, при поступлении в ВУЗ, его вряд ли будут мучить электродинамикой.

Я имел в виду, сдавать экзамены уже в вузе. При поступлении-то их отменили. Достаточно ЕГалочки.

Nirowulf в сообщении #842879 писал(а):

Хм, а вот как раз этого анекдота я не помню/не слышал. Расскажите, пожалуйста!

Я про рассказанный вами, в post841914.html#p841914

Nirowulf в сообщении #842879 писал(а):

Хочется верить, что студентам физических специальностей, $-$ всем.

Точно не знаю. Теорфизикам - всем. Экспериментаторам это до лампочки, по большому счёту.

[Nirowulf]

Munin
А-а, это! Ну я это не называю анекдотом просто, так теорфизическая шутка.

Munin писал(а):

Я имел в виду, сдавать экзамены уже в вузе.

Ну, уж в ВУЗе ему прочитают курс лекций по электродинамике $+$ сам книжки умные почитает, не будет ляпать чего попало=)

[Munin]

Nirowulf в сообщении #842895 писал(а):

Ну, уж в ВУЗе ему прочитают курс лекций по электродинамике

Если он его ещё будет слушать так же внимательно, как вас...

[Nirowulf]

Munin в сообщении #842912 писал(а):

Nirowulf в сообщении #842895 писал(а):

Ну, уж в ВУЗе ему прочитают курс лекций по электродинамике

Если он его ещё будет слушать так же внимательно, как вас...

Простите, это сарказм или пожелание?

Просто, с учётом того, что Pineapple никак не отвечал на последние сообщения, связанные с разъяснением его вопроса, нельзя понять, кого и насколько внимательно он тут слушал. В любом случае, я исправил свою неаккуратность, и согласился с вами несколькими постами выше.

[Pineapple]

(Оффтоп)

Я только начал читать посты, утром буду все осмысливать.

Цитата:

Если он его ещё будет слушать так же внимательно, как вас...

А вот такие предложения вызывают сбой в моем мозге.

[Nirowulf]

Pineapple
Позволю себе суммировать ответ на ваш вопрос.

У нас есть два поля: электрическое и магнитное, которые в общем случае зависят меня от координат и времени, $\mathbf{E}(t,x,y,z)$ и $\mathbf{H}(t,x,y,z)$.

Ещё у нас есть одно из уравнений Максвелла

$$\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}.$$

Электростатика рассматривает случай постоянного электрического поля, при отсутствии магнитного и при отсутствии электрических токов т.е. $\mathbf{E}=\mathbf{E}(x,y,z)$, $\mathbf{H}=0$, а электрические заряды неподвижны.

В этом случае частная производная по времени от магнитного поля, которое нуль, равна нулю: $\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=0$.

Следовательно, правая часть в нашем уравнении обращается в нуль, и получается:

$$$$\operatorname{rot} \mathbf{E}=0.$$

Что значит, что электрическое поле $\mathbf{E}$ потенциально, а также $\mathbf{E}=\operatorname{grad}f(x,y,z)$, где $f-$скалярная функция, зависящая от координат, так как ротор всякого градиента равен нулю, чисто математический факт.

Ну а в потенциальном поле работа не зависит от траектории, как вам уже пояснял Munin.

В электростатике $\varphi=-f(x,y,z)$ называют потенциалом.

Ну, уж если я где неправ, то пусть Munin меня поправит, а не закидает камнями