Возведение мощностей в степень-2

[p'ero]

В продолжение одноименной темы topic81152.html, базирующейся на известном университетском учебнике:

Daft в сообщении #825247 писал(а):

В книге Н.К. Верещагин, А.Шень "Начала теории множеств" (ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets/part1.pdf) на странице 37-38 говорится ...

хотелось бы получит профессиональные разъяснения соответственно наименованию темы по вызывающему вопросы вводному определению того же учебника на стр.92 раздела «Индуктивные определения и степени» (цитирую, подчеркнуто мною):

Пусть $A$ и $B$ — вполне упорядоченные множества, имеющие порядковые типы $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим множество $[B\to A]$ состоящее из отображений $B$ в $A$, имеющих «конечный носитель» (равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества). Введём на $[B\to A]$ порядок:если $f_1\not =f_2$, выберем наибольший элемент $b \in B$, для которого $f_1(b)$ не равно $f_2(b)$ и сравним $f_1(b)$ и $f_2(b)$.

Вопросы:

1) Почему не учитываются отображения, не содержащие минимальный элемент $A$? Например: $A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$, в $A$ имеем минимальный элемент 1, почему игнорируется отображение $f : 3\to2, 4\to2$, не содержащее минимальный элемент 1?

2) Почему не учитываются отображения, равные минимальному элементу $A$ всюду, за исключением бесконечного множества. Например: $B=\{1,2,3,…\}, A=\{c,d\}$, почему игнорируется отображения типа $f : 1\to c, 2\to d, 3\to d, 4\to d, …$, не равное минимальному элементу $c \in A$ на бесконечном носителе $\{2,3,4,…\}$?

3) Почему утверждается «если $f_1\not =f_2$», как бы в противоположность случаю $f_1=f_2$? Но ведь все отображения $f:[B\to A]$ должны быть разными, т.е. среди них не может быть $f_1=f_2$? Или все-таки может быть $f_1=f_2$? И почему употребляется конкретные $f_1, f_2$, а не более общие $f_i, f_j$?

4) Можно ли далее рассуждать об установлении полного порядка на множестве $[B\to A]$ (Теорема 40), если исходно рассматривается не всё отображение $[B\to A]$ целиком?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Xaositect]

p'ero в сообщении #838303 писал(а):

1) Почему не учитываются отображения, не содержащие минимальный элемент $A$? Например: $A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$, в $A$ имеем минимальный элемент 1, почему игнорируется отображение $f : 3\to2, 4\to2$, не содержащее минимальный элемент 1?

Они учитываются. Пустое множество - тоже конечное.

p'ero в сообщении #838303 писал(а):

2) Почему не учитываются отображения, равные минимальному элементу $A$ всюду, за исключением бесконечного множества. Например: $B=\{1,2,3,…\}, A=\{c,d\}$, почему игнорируется отображения типа $f : 1\to c, 2\to d, 3\to d, 4\to d, …$, не равное минимальному элементу $c \in A$ на бесконечном носителе $\{2,3,4,…\}$?

На таких отобрадениях порядок из определения не является вполне упорядочением.

p'ero в сообщении #838303 писал(а):

3) Почему утверждается «если $f_1\not =f_2$», как бы в противоположность случаю $f_1=f_2$? Но ведь все отображения $f:[B\to A]$ должны быть разными, т.е. среди них не может быть $f_1=f_2$? Или все-таки может быть $f_1=f_2$? И почему употребляется конкретные $f_1, f_2$, а не более общие $f_i, f_j$?

Потому что порядок нужно определить для любой пары элементов, в том числе для равных. $f_1$ и $f_2$ здесь - произвольные функции из $[A\to B]$.

[p'ero]

Уважаемый Xaositect! Ваши ответы очень краткие и не вполне мне понятны. Поэтому хотел бы попросить Вас сделать несколько уточнений

Xaositect в сообщении #838747 писал(а):

Они учитываются. Пустое множество - тоже конечное.

Вопрос 1-2) Не понятно, на каком основании для отображения $f : 3\to2, 4\to2$ имеет место "Они учитываются" (ведь согласно вводному определению "равных минимальному элементу $A$" из моего первого сообщения они не должны учитываться) и при чем здесь "Пустое множество"?

Xaositect в сообщении #838747 писал(а):

Потому что порядок нужно определить для любой пары элементов, в том числе для равных.

Возьмем отображение $[B=\{1,2\}\to A=\{3,4\}]$, которое, по моему разумению, включает только следующие 4 функции:
$f_1 : 1\to3, 2\to3$
$f_2 : 1\to3, 2\to4$
$f_3 : 1\to4, 2\to3$
$f_4 : 1\to4, 2\to4$
Вопрос 2-2) Все ли здесь функции перечислены и какие из этих функций являются попарно равными, о необходимости определения порядка на которых Вы говорите?

Xaositect в сообщении #838747 писал(а):

На таких отобрадениях порядок из определения не является вполне упорядочением.

Вопрос 3-2) Какое "определение" Вы имеете в виду?
Вопрос 4-2) Если такие отображения действительно не учитываются, то по предыдущему вопросу 4) о Теореме 40: Что понимается под "полным порядком" на отображении $[B\to A]$, ведь в таком случае речь, вероятно, должна идти о порядке только на части отображения $[B\to A]$?

[Xaositect]

p'ero в сообщении #838960 писал(а):

Вопрос 1-2) Не понятно, на каком основании для отображения $f : 3\to2, 4\to2$ имеет место "Они учитываются" (ведь согласно вводному определению "равных минимальному элементу $A$" из моего первого сообщения они не должны учитываться) и при чем здесь "Пустое множество"?

Отображение $f$ имеет конечный носитель, если множество элементов $x\in B$, для которых $f(x)$ не есть наименьший элемент $A$, конечно.
Возьмите Ваше отображение $f$, определите, какого будет это множетсво и, соответственно, будет ли $f$ отображением с конечным носителем или нет.

p'ero в сообщении #838960 писал(а):

Возьмем отображение $[B=\{1,2\}\to A=\{3,4\}]$, которое, по моему разумению, включает только следующие 4 функции:
$f_1 : 1\to3, 2\to3$
$f_2 : 1\to3, 2\to4$
$f_3 : 1\to4, 2\to3$
$f_4 : 1\to4, 2\to4$
Вопрос 2-2) Все ли здесь функции перечислены и какие из этих функций являются попарно равными, о необходимости определения порядка на которых Вы говорите?

Все. Ваши четыре функции все не равны друг другу.
Но вопрос был про определение порядка на $[B\to A]$. Вспомните определение порядка. Порядок - это бинарное отношение, удовлетворяющее определенным свойствам. Бинарное отношение на множестве $M$ - это подмножество $M\times M$. Значит, чтобы определить порядок, нужно для любой пары $(f,g)\in [B\to A]\times [B\to A]$ определить, выполняется ли отношение $f \leqslant g$ или нет. В частности, пары вида $(f,f)$ тоже надо рассматривать, и для них всегда $f\leqslant f$. Если же $f\neq g$, то порядок определяется как указано в определении степени.

p'ero в сообщении #838960 писал(а):

Вопрос 3-2) Какое "определение" Вы имеете в виду?

Вот это:

p'ero в сообщении #838303 писал(а):

Введём на $[B\to A]$ порядок:если $f_1\not =f_2$, выберем наибольший элемент $b \in B$, для которого $f_1(b)$ не равно $f_2(b)$ и сравним $f_1(b)$ и $f_2(b)$.

p'ero в сообщении #838960 писал(а):

Вопрос 4-2) Если такие отображения действительно не учитываются, то по предыдущему вопросу 4) о Теореме 40: Что понимается под "полным порядком" на отображении $[B\to A]$, ведь в таком случае речь, вероятно, должна идти о порядке только на части отображения $[B\to A]$?

Не понял вопрос. $[B\to A]$ - это не отображение, а множество отображений.

[p'ero]

Благодарю, уважаемый Xaositect, за дополнительные разъяснения. Однако в связи с тем, что в аннотации учебника подчеркивается, что изложение рассчитано в том числе и на непрофессиональную аудиторию, то позволю сначала вынести на Ваше профессиональное суждение два моих непрофессиональных комментария о причинах моего непонимания:

I. Чтобы не возникало недоуменных вопросов типа 1), следовало бы (по моему непрофессиональному взгляду) вместо «равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества» употребить «не равных минимальному элементу $A$ на конечном множестве элементов $B$». По видимому, именно об этом Вы и говорите?:

Xaositect в сообщении #839020 писал(а):

если множество элементов $x\in B$, для которых $f(x)$ не есть наименьший элемент $A$, конечно.

Xaositect в сообщении #839020 писал(а):

... Бинарное отношение на множестве $M$ - это подмножество $M\times M$....

II. Отношение полного порядка в учебнике не определено, а впервые этот термин упоминается в Теореме Цермело на с.65. Отношение частичного порядка определено на с.43, включая его свойство антисимметричности. На с.45 определено отношение строгого порядка, которое не обладает свойством антисимметричности. Совпадают или нет понятия строгого и полного порядка в плане отсутствия свойства антисимметричности, читателю остается только гадать. Если предположить, что они совпадают, то отношение полного порядка определяется не по квадратной матрице $[B\to A]\times [B\to A]$, а только по ее наддиагональному фрагменту, поэтому и случаев $f_i=f_j$ в отношении полного порядка быть не может. И тогда акцентирование внимания именно на случаях $f_i\neq f_j$ излишне и вводит непрофессиональную аудиторию (в том числе и меня) в заблуждение.

Был бы Вам признателен за поправки к этим моим комментариям, если они некорректны.

Xaositect в сообщении #839020 писал(а):

Не понял вопрос. $[B\to A]$ - это не отображение, а множество отображений.

Мои пояснения. Упомянутая в вопросе 4) Теорема 40 звучит следующим образом: «Указанное правило задаёт полный порядок на множестве $[B\to A]$…». Для отображений типа $[B=\{1,2,3,...\}\to A=\{c,d\}]$ (а также для трансфинитных степеней трансфинитных ординалов) условие наличия «конечного носителя», как я отмечал в вопросе 2), не выполняется для бесконечного подмножества из множества $[B\to A]$. Тем самым в таких случаях (по моему разумению) нельзя говорить о установлении полного порядка на множестве $[B\to A]$, а можно говорить только о установлении полного порядка на избранном подмножестве множества $[B\to A]$, элементы которого имеют конечный носитель.
Прошу Вас оценить корректность этих моих рассуждений.

[iifat]

p'ero в сообщении #839339 писал(а):

На с.45 определено отношение строгого порядка, которое не обладает свойством антисимметричности

Уверен, что где-то там должно быть упоминание, что строгий порядок — это частичный порядок с дополнительными свойствами. Поищите внимательнее.

[Xaositect]

p'ero в сообщении #839339 писал(а):

I. Чтобы не возникало недоуменных вопросов типа 1), следовало бы (по моему непрофессиональному взгляду) вместо «равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества» употребить «не равных минимальному элементу $A$ на конечном множестве элементов $B$». По видимому, именно об этом Вы и говорите?

Наверное стоило разъяснить этот момент. Но такие вещи просто не замечаются, если применять их постоянно.

p'ero в сообщении #839339 писал(а):

Отношение полного порядка в учебнике не определено

Параграф 2.4:

Цитата:

Фундированные линейно упорядоченные множества называются вполне упорядоченными, а соответствующие порядки --- полными

p'ero в сообщении #839339 писал(а):

И тогда акцентирование внимания именно на случаях $f_i\neq f_j$ излишне и вводит непрофессиональную аудиторию (в том числе и меня) в заблуждение.

Не считаю упоминание излишним. Любое отношение должно задаваться для любых пар. Надо явно указывать, что в этом месте мы определяем только для различных, а для равных все уже задано в определении порядка. Возможно, это сделано не совсем явно, но опять же, эта книга в том числе показывает язык, который обычно используется. Нужно иметь в голове все используемые определения для того, чтобы понять следующее определение или утверждение.

p'ero в сообщении #839339 писал(а):

Мои пояснения. Упомянутая в вопросе 4) Теорема 40 звучит следующим образом: «Указанное правило задаёт полный порядок на множестве $[B\to A]$…». Для отображений типа $[B=\{1,2,3,...\}\to A=\{c,d\}]$ (а также для трансфинитных степеней трансфинитных ординалов) условие наличия «конечного носителя», как я отмечал в вопросе 2), не выполняется для бесконечного подмножества из множества $[B\to A]$. Тем самым в таких случаях (по моему разумению) нельзя говорить о установлении полного порядка на множестве $[B\to A]$, а можно говорить только о установлении полного порядка на избранном подмножестве множества $[B\to A]$, элементы которого имеют конечный носитель.

Множество $[B\to A]$ определялось как множество функций с конечным носителем. Множество всех функций - это $B\to A$, без скобочек.

[p'ero]

Благодарю за дополнительные разъяснения.

Xaositect в сообщении #839358 писал(а):

... а соответствующие порядки --- полными

(Оффтоп)

Здесь я, безусловно, поспешил, поскольку производил поиск по контекстам «полный порядок», «полным порядком» и т.д.

Xaositect в сообщении #839358 писал(а):

Но такие вещи просто не замечаются, если применять их постоянно.

Xaositect в сообщении #839358 писал(а):

Нужно иметь в голове все используемые определения...

(Оффтоп)

Вероятно, имея образование не в области чистой математики иногда затруднительно воспринимать некоторые "тонкости" принятого там изложения.
Кстати, такое "несовпадение понятий" симметрично: иногда чистые математики плохо понимают, что может быть непонятно прикладным математикам и прочим смертным.

Xaositect в сообщении #839358 писал(а):

Множество $[B\to A]$ определялось как множество функций с конечным носителем. Множество всех функций - это $B\to A$, без скобочек.

(Оффтоп)

Это тоже, вероятно, из категории "тонкостей", что обозначение $[B\to A]$ следует понимать как отрезок в $B\to A$, хотя квадратные скобки нигде выше к отображениям не применялись, а только к числовым отрезкам, причем понятие "отрезок" связано с некоторой его "целостностью, порядком", к тому же - априорно, а не апостеорно.

По Вашему уточнению получается, что в случае трансфинитного $B$ имеет место $[B\to A]\subset B\to A$. Отсюда доказательство счетности в Теореме 41, цитирую:

«Для степени: если мы пронумеровали все элементы вполне упорядоченных множеств $A$ и $B$, то любой элемент множества $[B\to A]$ может быть задан конечным списком натуральных чисел (носитель и значения на элементах носителя), а таких списков счётное число.»

относится только к $[B\to A]$, а не к счетности всего $B\to A$, число элементов в котором равно $A^B$ ?

Если это не так, попрошу для непонятливых пояснить поподробнее.

[Xaositect]

p'ero в сообщении #839712 писал(а):

«Для степени: если мы пронумеровали все элементы вполне упорядоченных множеств $A$ и $B$, то любой элемент множества $[B\to A]$ может быть задан конечным списком натуральных чисел (носитель и значения на элементах носителя), а таких списков счётное число.»

относится только к $[B\to A]$, а не к счетности всего $B\to A$, число элементов в котором равно $A^B$ ?

Да.

Обозначение $[B\to A]$ неудачное, согласен.

[p'ero]

Спасибо, уважаемый Xaositect, за пояснения и долготерпение. В принципе, мои исходные вопросы исчерпаны. И хотя у меня возникло более десятка недоуменных комментариев к доказательству Теоремы 40, но, пролагаю, не стоит перегружать ими данную тему.