2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 13:21 


19/02/13
39
Уфа
В книге Н.К. Верещагин, А.Шень "Начала теории множеств" (ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets/part1.pdf) на странице 37-38 говорится следующее:
Цитата:
Теперь определим возведение в степень. Для этого рассмотрим(для данных $A$ и $B$) множество всех функций вида $f:B\to A$ (напомним: это означает, что их область определения есть $B$, а область значений содержится в $A$). Это множество обозначается $A^B$, и его мощность и будет результатом операции возведения в степень. Если множества $A$ и $B$ конечны и содержат $a$ и $b$ элементов соответственно, то $A^B$ содержит как раз $a^b$ элементов. В самом деле, определяя функцию $f:B\to A$ , мы должны определить её значение на каждом из $b$ элементов. Это можно сделать $a$ способами, так что получаем всего $a^b$ вариантов.
.Объясните,пожалуйста,почему это верно. У меня не совпадает множество всех функций вида $f:B\to A$ с числом,которое получается при возведении в степень $A^B$ . Я не понимаю последнего предложения,ведь возведение числа в степень не имеет такого смысла,которой указывает автор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Daft в сообщении #825247 писал(а):
.Объясните,пожалуйста,почему это верно. У меня не совпадает множество всех функций вида $f:B\to A$ с числом,которое получается при возведении в степень $A^B$ . Я не понимаю последнего предложения,ведь возведение числа в степень не имеет такого смысла,которой указывает автор.
А что получается у Вас?

Если у нас есть конечные множества $A$ и $B = \{p_1,\dots,p_b\}$, то любую функцию из $A^B$ можно задать таблицей ее значений:
\begin{tabular}{c|c}
$p_1$ & $f(p_1)$ \\
$p_2$ & $f(p_2)$ \\
\dots & \dots\\
$p_b$ & $f(p_b)$
\end{tabular}
В правом столбце на каждое место можно поставить любой из $a$ элементов множества $A$, получается всего $a^b$ возможных таблиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 14:19 


19/02/13
39
Уфа
Я что-то плохо понимаю,как вы объединили множество $A$ и $B$,возможно тут причина в том,что я не понимаю смысла выражения множество всех функций вида $f:B\to A$.Я задавал множество так(учитывая то,что перед этим была тема функции,где она определялась как упорядоченная пара $\langle b,a \rangle$),например: множество $A=\{1,2\}$ и $B=\{3,4\}$,тогда 1 множество это \{$\langle 1,3 \rangle,\langle 2,4 \rangle\} и второе множество \{$\langle 1,4 \rangle,\langle 2,3 \rangle\}. Получается 2 множества.Объясните пожалуйста мне,что я делаю не так и скажите я больной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13156
с Территории
Ездят на велосипеде. Попытка ездить на бутерброде обычно кончается неудачей: скорость маленькая, зад вымазан икрой.

-- менее минуты назад --

А, нет, я Вас не так понял. Почти всё правильно, но есть нюанс.

-- менее минуты назад --

А нюанс вот какой: кто сказал, что все значения функции должны быть разными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 14:35 


19/02/13
39
Уфа
Я не понял,вы говорите про инъективность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Давайте разбираться с функциями. (То, что я пишу, немного отличается от Верещагина-Шеня, я определяю функции с областью определения $X$)

Неформально, функция $X\to Y$ - это правило, которое каждому элементу $x\in X$ мы ставим в соотвестствие ровно один элемент $y\in Y$. Для того, чтобы формализовать это определение в теории множеств, мы определяем функцию как множество пар: если функция $f$ сопоставляет элементу $x$ элемент $y$, то пара $\left<x, y\right>$ будет принадлежать нашей функции.

То есть: $f\colon X\to Y$ значит, что $f$ - это множество пар, то есть $f\subset X\times Y$, и для каждого элемента $x\in X$ в этом множестве есть единственная пара, связывающая его с каким-то $y\in Y$. Итак, по определению

$$f\colon X\to Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} f\subset X\times Y \textrm{ и } \forall x\in X \exists! y\in Y \left<x, y\right> \in f.$$
$$y = f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left<x, y\right> \in f.$$


Но это определение нужно нам только для формального обоснования, а интуитивно функция - это когда для каждого $x\in X$ есть ровно один "свой" $y\in Y$, который мы обозначаем $f(x)$. При этом ничего не сказано про то, что у разных иксов должны быть разные игреки. Также ничего не говорится про то, что игреки должны встречаться, это требуется только от иксов. То есть, например, $\{\left<0, 0\right>, \left<1, 0\right>\}$ - это корректная функция $\{0,1\}\to \{0,1\}$.

Соответственно, $A^B$ --- это множество всех функций $B\to A$, т.е. $\{f|f\colon B\to A\}$. Например, $$\{0, 1\}^{\{2,3\}} = \{ {\color[rgb]{0.5,0,0}\{\left<2, 0\right>, \left<3, 0\right>\}}, {\color[rgb]{0,0.5,0}\{\left<2, 0\right>, \left<3, 1\right>\}}, {\color[rgb]{0,0,0.5}\{\left<2, 1\right>, \left<3, 0\right>\}}, {\color[rgb]{0,0.5,0.5}\{\left<2, 1\right>, \left<3, 1\right>\}}\}$$

Писать функции в виде множеств не очень удобно, поэтому обычно их задают другим способом. Я в предыдущем посте приводил табличное задание дискретной функции. В виде множества таблица \begin{tabular}{c|c}$p_1$ & $q_1$ \\ $p_2$ & $q_2$ \\ \dots & \dots\\$p_b$ & $q_b$\end{tabular} будет записана как $\{\left<p_1, q_1\right>, \left<p_2, q_2\right>, \dots, \left<p_b, q_b\right>\}$. Здесь $q_i = f(p_i)$ - это какие-то элементы, не обязательно различные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13156
с Территории
Daft в сообщении #825264 писал(а):
Я не понял,вы говорите про инъективность?

Можно сказать и так, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 15:10 


19/02/13
39
Уфа
Я тоже так думал,но ведь $Y$ это множество значений,следовательно у каждого из элементов множества $Y$ должен быть свой прообраз?
Xaositect объясните мне пожалуйста,почему:
Цитата:
В правом столбце на каждое место можно поставить любой из $a$ элементов множества $A$, получается всего $a^b$ возможных таблиц.
Я не понимаю на каком основании это можно сделать?Объясните,пожалуйста, учитывая обозначения предыдущего поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Daft в сообщении #825271 писал(а):
Я тоже так думал,но ведь $Y$ это множество значений,следовательно у каждого из элементов множества $Y$ должен быть свой прообраз?
$Y$ - это не множество значений. $Y$ называется кодоменом.

У нас есть $b$ элементов множества $B$. Для первого элемента $b_1\in B$ есть $a$ вариантов выбора $f(b_1)$, для второго - тоже $a$ вариантов, и так далее. В итоге $a\cdot a\cdot \dots\cdot a = a^b$ вариантов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 15:27 


19/02/13
39
Уфа
Я понял про множество значений,просто в учебники говорилось,что при таком обозначении отображения множество $B$ это область определения,но когда говорилось про эту тему,то там было написано,что это обозначение,в данном случае,не имеет предыдущего смысла(А я пропустил это).
Цитата:
У нас есть $b$ элементов множества $B$. Для первого элемента $b_1\in B$ есть $a$ вариантов выбора $f(b_1)$, для второго - тоже $a$ вариантов, и так далее. В итоге $a\cdot a\cdot \dots\cdot a = a^b$ вариантов.
В учебнике написано тоже самое,но я не понимаю,разве это будет не сумма вариантов,а произведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Daft в сообщении #825275 писал(а):
Я понял про множество значений,просто в учебники говорилось,что при таком обозначении отображения множество $B$ это область определения,но когда говорилось про эту тему,то там было написано,что это обозначение,в данном случае,не имеет предыдущего смысла.
Там явно написано:
Daft в сообщении #825247 писал(а):
(напомним: это означает, что их область определения есть $B$, а область значений содержится в $A$)


Daft в сообщении #825275 писал(а):
В учебнике написано тоже самое,но я не понимаю,разве это будет не сумма вариантов,а произведение?
Да.

Например, если есть 10 вариантов выбрать первую букву, и десять вариантов выбрать вторую, то всего получится 100 двухбуквенных сочетаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 15:40 


19/02/13
39
Уфа
Xaositect в сообщении #825276 писал(а):
Daft в сообщении #825275 писал(а):
Я понял про множество значений,просто в учебники говорилось,что при таком обозначении отображения множество $B$ это область определения,но когда говорилось про эту тему,то там было написано,что это обозначение,в данном случае,не имеет предыдущего смысла.
Там явно написано:
Daft в сообщении #825247 писал(а):
(напомним: это означает, что их область определения есть $B$, а область значений содержится в $A$)

Да,я просто слово содержится неправильно прочитал(задал тот смысл,какой сам захотел :mrgreen: )
Спасибо большое,вы очень помогли мне.
Я действительно не задумывался над тем,что: если есть 10 вариантов выбрать первую букву, и десять вариантов выбрать вторую, то всего получится 100 двухбуквенных сочетаний . Очень мне стыдно,что я не знал этот факт и не задумывался над ним,хотя мне он кажется неочевидным.А вам? Столько проблем от моих глупых ошибок.Спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень
Сообщение11.02.2014, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Daft в сообщении #825279 писал(а):
Очень мне стыдно,что я не знал этот факт и не задумывался над ним,хотя мне он кажется неочевидным.А вам?
Я слишком часто видел и использовал эту вещь, я уже не помню, казалась ли она мне когда-нибудь неочевидной. Можете представить прямоугольную таблицу типа такой, может, станет очевиднее:
\begin{tabular}{c|cccc}
 & A & B & C & D\\
\hline
A & AA & AB & AC & AD\\
B & BA & BB & BC & BD\\
C & CA & CB & CC & CD\\
D & DA & DB & DC & DD
\end{tabular}

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group