2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Возведение мощностей в степень-2
Сообщение18.03.2014, 17:19 
Аватара пользователя


09/03/14
8
Солнцево
В продолжение одноименной темы topic81152.html, базирующейся на известном университетском учебнике:
Daft в сообщении #825247 писал(а):
В книге Н.К. Верещагин, А.Шень "Начала теории множеств" (ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets/part1.pdf) на странице 37-38 говорится ...

хотелось бы получит профессиональные разъяснения соответственно наименованию темы по вызывающему вопросы вводному определению того же учебника на стр.92 раздела «Индуктивные определения и степени» (цитирую, подчеркнуто мною):

Пусть $A$ и $B$ — вполне упорядоченные множества, имеющие порядковые типы $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим множество $[B\to A]$ состоящее из отображений $B$ в $A$, имеющих «конечный носитель» (равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества). Введём на $[B\to A]$ порядок:если $f_1\not =f_2$, выберем наибольший элемент $b \in B$, для которого $f_1(b)$ не равно $f_2(b)$ и сравним $f_1(b)$ и $f_2(b)$.

Вопросы:

1) Почему не учитываются отображения, не содержащие минимальный элемент $A$? Например: $A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$, в $A$ имеем минимальный элемент 1, почему игнорируется отображение $f : 3\to2, 4\to2$, не содержащее минимальный элемент 1?

2) Почему не учитываются отображения, равные минимальному элементу $A$ всюду, за исключением бесконечного множества. Например: $B=\{1,2,3,…\}, A=\{c,d\}$, почему игнорируется отображения типа $f : 1\to c, 2\to d, 3\to d, 4\to d, …$, не равное минимальному элементу $c \in A$ на бесконечном носителе $\{2,3,4,…\}$?

3) Почему утверждается «если $f_1\not =f_2$», как бы в противоположность случаю $f_1=f_2$? Но ведь все отображения $f:[B\to A]$ должны быть разными, т.е. среди них не может быть $f_1=f_2$? Или все-таки может быть $f_1=f_2$? И почему употребляется конкретные $f_1, f_2$, а не более общие $f_i, f_j$?

4) Можно ли далее рассуждать об установлении полного порядка на множестве $[B\to A]$ (Теорема 40), если исходно рассматривается не всё отображение $[B\to A]$ целиком?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение18.03.2014, 17:23 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.03.2014, 19:08 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение19.03.2014, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
p'ero в сообщении #838303 писал(а):
1) Почему не учитываются отображения, не содержащие минимальный элемент $A$? Например: $A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$, в $A$ имеем минимальный элемент 1, почему игнорируется отображение $f : 3\to2, 4\to2$, не содержащее минимальный элемент 1?
Они учитываются. Пустое множество - тоже конечное.

p'ero в сообщении #838303 писал(а):
2) Почему не учитываются отображения, равные минимальному элементу $A$ всюду, за исключением бесконечного множества. Например: $B=\{1,2,3,…\}, A=\{c,d\}$, почему игнорируется отображения типа $f : 1\to c, 2\to d, 3\to d, 4\to d, …$, не равное минимальному элементу $c \in A$ на бесконечном носителе $\{2,3,4,…\}$?
На таких отобрадениях порядок из определения не является вполне упорядочением.

p'ero в сообщении #838303 писал(а):
3) Почему утверждается «если $f_1\not =f_2$», как бы в противоположность случаю $f_1=f_2$? Но ведь все отображения $f:[B\to A]$ должны быть разными, т.е. среди них не может быть $f_1=f_2$? Или все-таки может быть $f_1=f_2$? И почему употребляется конкретные $f_1, f_2$, а не более общие $f_i, f_j$?
Потому что порядок нужно определить для любой пары элементов, в том числе для равных. $f_1$ и $f_2$ здесь - произвольные функции из $[A\to B]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение20.03.2014, 17:03 
Аватара пользователя


09/03/14
8
Солнцево
Уважаемый Xaositect! Ваши ответы очень краткие и не вполне мне понятны. Поэтому хотел бы попросить Вас сделать несколько уточнений
Xaositect в сообщении #838747 писал(а):
Они учитываются. Пустое множество - тоже конечное.

Вопрос 1-2) Не понятно, на каком основании для отображения $f : 3\to2, 4\to2$ имеет место "Они учитываются" (ведь согласно вводному определению "равных минимальному элементу $A$" из моего первого сообщения они не должны учитываться) и при чем здесь "Пустое множество"?

Xaositect в сообщении #838747 писал(а):
Потому что порядок нужно определить для любой пары элементов, в том числе для равных.

Возьмем отображение $[B=\{1,2\}\to A=\{3,4\}]$, которое, по моему разумению, включает только следующие 4 функции:
$f_1 : 1\to3, 2\to3$
$f_2 : 1\to3, 2\to4$
$f_3 : 1\to4, 2\to3$
$f_4 : 1\to4, 2\to4$
Вопрос 2-2) Все ли здесь функции перечислены и какие из этих функций являются попарно равными, о необходимости определения порядка на которых Вы говорите?

Xaositect в сообщении #838747 писал(а):
На таких отобрадениях порядок из определения не является вполне упорядочением.

Вопрос 3-2) Какое "определение" Вы имеете в виду?
Вопрос 4-2) Если такие отображения действительно не учитываются, то по предыдущему вопросу 4) о Теореме 40: Что понимается под "полным порядком" на отображении $[B\to A]$, ведь в таком случае речь, вероятно, должна идти о порядке только на части отображения $[B\to A]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение20.03.2014, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
p'ero в сообщении #838960 писал(а):
Вопрос 1-2) Не понятно, на каком основании для отображения $f : 3\to2, 4\to2$ имеет место "Они учитываются" (ведь согласно вводному определению "равных минимальному элементу $A$" из моего первого сообщения они не должны учитываться) и при чем здесь "Пустое множество"?
Отображение $f$ имеет конечный носитель, если множество элементов $x\in B$, для которых $f(x)$ не есть наименьший элемент $A$, конечно.
Возьмите Ваше отображение $f$, определите, какого будет это множетсво и, соответственно, будет ли $f$ отображением с конечным носителем или нет.

p'ero в сообщении #838960 писал(а):
Возьмем отображение $[B=\{1,2\}\to A=\{3,4\}]$, которое, по моему разумению, включает только следующие 4 функции:
$f_1 : 1\to3, 2\to3$
$f_2 : 1\to3, 2\to4$
$f_3 : 1\to4, 2\to3$
$f_4 : 1\to4, 2\to4$
Вопрос 2-2) Все ли здесь функции перечислены и какие из этих функций являются попарно равными, о необходимости определения порядка на которых Вы говорите?
Все. Ваши четыре функции все не равны друг другу.
Но вопрос был про определение порядка на $[B\to A]$. Вспомните определение порядка. Порядок - это бинарное отношение, удовлетворяющее определенным свойствам. Бинарное отношение на множестве $M$ - это подмножество $M\times M$. Значит, чтобы определить порядок, нужно для любой пары $(f,g)\in [B\to A]\times [B\to A]$ определить, выполняется ли отношение $f \leqslant g$ или нет. В частности, пары вида $(f,f)$ тоже надо рассматривать, и для них всегда $f\leqslant f$. Если же $f\neq g$, то порядок определяется как указано в определении степени.

p'ero в сообщении #838960 писал(а):
Вопрос 3-2) Какое "определение" Вы имеете в виду?
Вот это:
p'ero в сообщении #838303 писал(а):
Введём на $[B\to A]$ порядок:если $f_1\not =f_2$, выберем наибольший элемент $b \in B$, для которого $f_1(b)$ не равно $f_2(b)$ и сравним $f_1(b)$ и $f_2(b)$.


p'ero в сообщении #838960 писал(а):
Вопрос 4-2) Если такие отображения действительно не учитываются, то по предыдущему вопросу 4) о Теореме 40: Что понимается под "полным порядком" на отображении $[B\to A]$, ведь в таком случае речь, вероятно, должна идти о порядке только на части отображения $[B\to A]$?
Не понял вопрос. $[B\to A]$ - это не отображение, а множество отображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение21.03.2014, 16:21 
Аватара пользователя


09/03/14
8
Солнцево
Благодарю, уважаемый Xaositect, за дополнительные разъяснения. Однако в связи с тем, что в аннотации учебника подчеркивается, что изложение рассчитано в том числе и на непрофессиональную аудиторию, то позволю сначала вынести на Ваше профессиональное суждение два моих непрофессиональных комментария о причинах моего непонимания:

I. Чтобы не возникало недоуменных вопросов типа 1), следовало бы (по моему непрофессиональному взгляду) вместо «равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества» употребить «не равных минимальному элементу $A$ на конечном множестве элементов $B$». По видимому, именно об этом Вы и говорите?:
Xaositect в сообщении #839020 писал(а):
если множество элементов $x\in B$, для которых $f(x)$ не есть наименьший элемент $A$, конечно.


Xaositect в сообщении #839020 писал(а):
... Бинарное отношение на множестве $M$ - это подмножество $M\times M$....

II. Отношение полного порядка в учебнике не определено, а впервые этот термин упоминается в Теореме Цермело на с.65. Отношение частичного порядка определено на с.43, включая его свойство антисимметричности. На с.45 определено отношение строгого порядка, которое не обладает свойством антисимметричности. Совпадают или нет понятия строгого и полного порядка в плане отсутствия свойства антисимметричности, читателю остается только гадать. Если предположить, что они совпадают, то отношение полного порядка определяется не по квадратной матрице $[B\to A]\times [B\to A]$, а только по ее наддиагональному фрагменту, поэтому и случаев $f_i=f_j$ в отношении полного порядка быть не может. И тогда акцентирование внимания именно на случаях $f_i\neq f_j$ излишне и вводит непрофессиональную аудиторию (в том числе и меня) в заблуждение.

Был бы Вам признателен за поправки к этим моим комментариям, если они некорректны.

Xaositect в сообщении #839020 писал(а):
Не понял вопрос. $[B\to A]$ - это не отображение, а множество отображений.

Мои пояснения. Упомянутая в вопросе 4) Теорема 40 звучит следующим образом: «Указанное правило задаёт полный порядок на множестве $[B\to A]$…». Для отображений типа $[B=\{1,2,3,...\}\to A=\{c,d\}]$ (а также для трансфинитных степеней трансфинитных ординалов) условие наличия «конечного носителя», как я отмечал в вопросе 2), не выполняется для бесконечного подмножества из множества $[B\to A]$. Тем самым в таких случаях (по моему разумению) нельзя говорить о установлении полного порядка на множестве $[B\to A]$, а можно говорить только о установлении полного порядка на избранном подмножестве множества $[B\to A]$, элементы которого имеют конечный носитель.
Прошу Вас оценить корректность этих моих рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение21.03.2014, 16:49 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
p'ero в сообщении #839339 писал(а):
На с.45 определено отношение строгого порядка, которое не обладает свойством антисимметричности
Уверен, что где-то там должно быть упоминание, что строгий порядок — это частичный порядок с дополнительными свойствами. Поищите внимательнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение21.03.2014, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
p'ero в сообщении #839339 писал(а):
I. Чтобы не возникало недоуменных вопросов типа 1), следовало бы (по моему непрофессиональному взгляду) вместо «равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества» употребить «не равных минимальному элементу $A$ на конечном множестве элементов $B$». По видимому, именно об этом Вы и говорите?
Наверное стоило разъяснить этот момент. Но такие вещи просто не замечаются, если применять их постоянно.

p'ero в сообщении #839339 писал(а):
Отношение полного порядка в учебнике не определено
Параграф 2.4:
Цитата:
Фундированные линейно упорядоченные множества называются вполне упорядоченными, а соответствующие порядки --- полными


p'ero в сообщении #839339 писал(а):
И тогда акцентирование внимания именно на случаях $f_i\neq f_j$ излишне и вводит непрофессиональную аудиторию (в том числе и меня) в заблуждение.
Не считаю упоминание излишним. Любое отношение должно задаваться для любых пар. Надо явно указывать, что в этом месте мы определяем только для различных, а для равных все уже задано в определении порядка. Возможно, это сделано не совсем явно, но опять же, эта книга в том числе показывает язык, который обычно используется. Нужно иметь в голове все используемые определения для того, чтобы понять следующее определение или утверждение.

p'ero в сообщении #839339 писал(а):
Мои пояснения. Упомянутая в вопросе 4) Теорема 40 звучит следующим образом: «Указанное правило задаёт полный порядок на множестве $[B\to A]$…». Для отображений типа $[B=\{1,2,3,...\}\to A=\{c,d\}]$ (а также для трансфинитных степеней трансфинитных ординалов) условие наличия «конечного носителя», как я отмечал в вопросе 2), не выполняется для бесконечного подмножества из множества $[B\to A]$. Тем самым в таких случаях (по моему разумению) нельзя говорить о установлении полного порядка на множестве $[B\to A]$, а можно говорить только о установлении полного порядка на избранном подмножестве множества $[B\to A]$, элементы которого имеют конечный носитель.
Множество $[B\to A]$ определялось как множество функций с конечным носителем. Множество всех функций - это $B\to A$, без скобочек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение22.03.2014, 18:57 
Аватара пользователя


09/03/14
8
Солнцево
Благодарю за дополнительные разъяснения.

Xaositect в сообщении #839358 писал(а):
... а соответствующие порядки --- полными

(Оффтоп)

Здесь я, безусловно, поспешил, поскольку производил поиск по контекстам «полный порядок», «полным порядком» и т.д.


Xaositect в сообщении #839358 писал(а):
Но такие вещи просто не замечаются, если применять их постоянно.

Xaositect в сообщении #839358 писал(а):
Нужно иметь в голове все используемые определения...

(Оффтоп)

Вероятно, имея образование не в области чистой математики иногда затруднительно воспринимать некоторые "тонкости" принятого там изложения.
Кстати, такое "несовпадение понятий" симметрично: иногда чистые математики плохо понимают, что может быть непонятно прикладным математикам и прочим смертным.


Xaositect в сообщении #839358 писал(а):
Множество $[B\to A]$ определялось как множество функций с конечным носителем. Множество всех функций - это $B\to A$, без скобочек.

(Оффтоп)

Это тоже, вероятно, из категории "тонкостей", что обозначение $[B\to A]$ следует понимать как отрезок в $B\to A$, хотя квадратные скобки нигде выше к отображениям не применялись, а только к числовым отрезкам, причем понятие "отрезок" связано с некоторой его "целостностью, порядком", к тому же - априорно, а не апостеорно.


По Вашему уточнению получается, что в случае трансфинитного $B$ имеет место $[B\to A]\subset B\to A$. Отсюда доказательство счетности в Теореме 41, цитирую:

«Для степени: если мы пронумеровали все элементы вполне упорядоченных множеств $A$ и $B$, то любой элемент множества $[B\to A]$ может быть задан конечным списком натуральных чисел (носитель и значения на элементах носителя), а таких списков счётное число

относится только к $[B\to A]$, а не к счетности всего $B\to A$, число элементов в котором равно $A^B$ ?

Если это не так, попрошу для непонятливых пояснить поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение22.03.2014, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
p'ero в сообщении #839712 писал(а):
«Для степени: если мы пронумеровали все элементы вполне упорядоченных множеств $A$ и $B$, то любой элемент множества $[B\to A]$ может быть задан конечным списком натуральных чисел (носитель и значения на элементах носителя), а таких списков счётное число.»

относится только к $[B\to A]$, а не к счетности всего $B\to A$, число элементов в котором равно $A^B$ ?
Да.

Обозначение $[B\to A]$ неудачное, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возведение мощностей в степень-2
Сообщение23.03.2014, 16:10 
Аватара пользователя


09/03/14
8
Солнцево
Спасибо, уважаемый Xaositect, за пояснения и долготерпение. В принципе, мои исходные вопросы исчерпаны. И хотя у меня возникло более десятка недоуменных комментариев к доказательству Теоремы 40, но, пролагаю, не стоит перегружать ими данную тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group