получим 2 таких решения:
\quad(22)
\quad(23)
Чем дальше в лес, тем толще партизаны.
Я совершенно не могу понять, в чём состоит Ваша претензия. Я уже объяснял, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Чтобы выделить конкретное решение, необходимо, кроме дифференциального уравнения, наложить какие-то дополнительные условия. Никого не удивляет, что, наложив
разные условия, получим
разные решения, хотя при этом все переменные имеют одинаковые обозначения. Никого, кроме Вас. Всякие теоремы единственности для дифференциальных уравнений всегда предполагают, что речь идёт не только об
одних и тех же дифференциальных уравнениях, но и об
одних и тех же дополнительных условиях.
В одном случае при том же элементарном многообразии
в одних и тех же "сферических" координатах можно выписать 2 системы уравнений для нахождения метрических компонент риманова пространства
:
\quad(20)
\quad(21)
Вы здесь накладываете два
разных координатных условия: в одном случае большая окружность на сфере
имеет длину
, а в другом —
.
В процессе решений с момента определения полной системы уравнений мы не меняли систему координат
"Не меняли" в том смысле, что обозначения координат в обоих случаях одинаковые. Но координатные условия разные, поэтому системы координат разные. Кстати, "система уравнений" не полная, так как не определяет постоянную интегрирования и, насколько я помню, по меньшей мере одну произвольную функцию.
значит событие
в многобразии
, по прежнему имеет некоторые абстрактные координаты
и они не изменились.
Но в одном случае событие
Вы поместили на сферу "радиуса"
, а в другом — на сферу "радиуса"
. Вы сами, собственноручно, поместили своё "событие" в разные точки многообразия. Хотя "координаты одинаковые" (в том смысле, что обозначаются в обоих случаях одинаково).
Вы конечно можете привести 2 метрики к одному виду, но при этом координаты события A изменятся и будут разными в первом и втором случае.
А почему они должны быть одинаковыми, если Вы определили эти координаты по-разному и, вдобавок, поместили своё "событие" в явно разные места многообразия?
Напомню, что в ОТО решением считается не выражение метрики в конкретных координатах, а пространственно-временное многообразие. Поэтому всякие "единственности" понимаются с точностью до произвольной замены координат. Поэтому Ваши "два решения", как Вы сами написали, на самом деле дают одно многообразие с разными координатами (формально надо было бы сказать "изометричные многообразия").
Эти координаты Вы можете найти изучая геодезические, но они зависят от координатных условий.
Было бы удивительно, если бы не зависели. И формулы, естественно, зависят от координатных условий. А вот результаты измерений, предсказываемые этими "разными" формулами, от координатных условий не зависят.
Тем не менее, элементарное многообразие в смысле Рашевского — это не то же самое, что карта на многообразии.
Удивлен. Когда он пишет о сфере, то подчеркивает, что это не элементарное многообразие. Да и из полного определения многообразия это вроде следует. Может Вы невнимательно читали?
Я-то читал внимательно. Просто Вы не понимаете, о чём говорите. "Элементарное многообразие" в смысле Рашевского — это не карта, а множество карт с одним носителем. На карте система координат должна быть совершенно конкретной, однозначно определённой, а Рашевский координаты на элементарном многообразии не фиксирует, допуская произвольные замены координат.
Сфера действительно не является элементарным многообразием, но её можно покрыть двумя элементарными многообразиями.
Если Вы при этом хотите пользоваться сферическими координатами
и
, в которых метрика на сфере имеет вид
, то нужно иметь в виду, что они на сфере имеют две особенности — при
и
, и нет взаимной однозначности, поэтому область изменения углов
и
надо ограничить, например, условиями
и
. Получается сфера с разрезом по половине большого круга, которая уже является элементарным многообразием. Двумя такими элементарными многообразиями можно покрыть всю сферу.
Но можно придумать такую систему координат, которая будет иметь на сфере только одну особую точку. Выбросив эту точку, снова получим элементарное многообразие.
В указанном параграфе Ландау не только использовал преобразование координат (кстати не выписав их явно, когда устранял перекрестный член, в других учебниках этот недостаток устранен), но и в явном виде условие
. А это уже не "преобразование координат" в смысле преобразований, который используется в в теории дифференциальных уравнений.
Вы переврали учебник.
Во-первых,
, но
, во-вторых это такая же замена координат, как и в предыдущем случае. В "указанном параграфе" об этом прямо сказано. Предполагая сферическую симметрию, мы подразумеваем, что пространственное сечение
расслоено на сферы разной величины. Взяв какую-нибудь точку, мы смотрим, на какой сфере она находится, определяем её "радиус"
из условия, что длина большой окружности равна
, и объявляем этот "радиус"
радиальной координатой точки. Так что всё сводится к определённому выбору координат.
Чем это поможет? Вот висит, значит, в вакууме э-э-э дыра. Нам надо узнать чёрная она или белая. Ага, думаем мы. Надо подождать. Если из неё вдруг что-то всплывёт, значит она точно белая. А если ничего не вылезет, то не известно, надо ждать дальше. Вот ждём целый год, а ничего из неё не выкатывается. И тут до нас доходит, что если бы внутри белой дыры была хоть одна частица, то она очень быстро из неё вышла бы наружу. А раз целый год из неё ничего не появляется, значит она внутри пустая. Так вот вопрос: как отличить чёрную дыру от белой дыры, которая внутри давным давно пустая?
Ну я же давал ссылку. Надо было внимательнее почитать. Белая дыра неустойчива как относительно классических возмущений, так и относительно квантовых. Если в неё упадёт что-нибудь (хотя бы пылинка), то вылететь из неё уже ничего не сможет. Подлетайте к ней на космическом корабле "для изучения на месте" и кидайте в неё какую-нибудь гайку. После этого можете смело считать, что перед Вами чёрная дыра. Кроме того, квантовые эффекты рождения частиц в сильных гравитационных полях также приводят к тому, что белая дыра быстро превращается в чёрную. Наконец, посмотрите на пространственно-временную диаграмму "вечной" "бело-чёрной" дыры в координатах Крускала — Шекереса. Белая дыра кончается и начинается чёрная.