Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[warlock66613]

schekn в сообщении #822567 писал(а):

Поскольку в 4-х уравнениях связи наблюдается значительный произвол, сказать заранее, что мы получим систему с тем же множеством решений, нельзя.

Можно. Условия, фиксирующие калибровку, весьма ограничены, и именно так, чтобы не накладывать никаких ограничений на тензоры. Поэтому меняя их мы можем получить разные координаты, разные карты, разные области многообразия, но не можем получить разные многообразия.

[schekn]

warlock66613 в сообщении #822571 писал(а):

Не может такого быть. Уравнения Эйнштейна - тензорные

Уравнения да. Их 6. Дополнительные условия нет, нековариантны. Первые преобразуются по одному и тому же закону при смене координат, вторые нет. Я привел пример (20)-(24) как такое может быть. Имея абстрактное многообразие $M^4$ мы при решении переходим к множеству многообразий $V^4$. Это вызвало неудовольство Someone, потому что событие с координатами в $M^4$ по прежнему те же, а в пространствах Эйнштейна у нас точка оказалась на разных орбитах. По сути дополнительные условия ("уравнения связи") изменили начальные условия в римановом многообразии на данное событие. А это плохо.

warlock66613 в сообщении #822571 писал(а):

Обратно, нековариантные условия, фиксирующие калибровку, выбираются так, чтобы они убрали произвол координат, но не ограничили собственно тензора. Не может одно повлиять на другое.

Не очень понял фразу. Нековариантные условия ( которые я обозвал уравнениями связи=координатными условиями) выбираются из разных совершенно иногда непонятных соображений, скорее подстраиваясь к физической задаче. Они настолько разные, что требуется доказательство, что они не влияют на описание физического результата. Про Слово "калибровочные" для ОТО я уже пытался добиться объяснение.

warlock66613 в сообщении #822571 писал(а):

Такое может быть. Получатся разные карты на одном многообразии.

А как Вы заранее можете это сказать не решая систему уравнений?

SergeyGubanov в сообщении #822573 писал(а):

Например, преобразование радиуса $r \to \sqrt{a^2 + r^2}$ выбрасывает из вещественного пространства шар радиусом $a$.

Если мы уже нашли в каких-то координатах $x$ метрику $g$, то Вы не путаете переход к другим координатам с физическим сжатием шара до нулевого радиуса?

-- 04.02.2014, 15:25 --

warlock66613 в сообщении #822575 писал(а):

Можно. Условия, фиксирующие калибровку, весьма ограничены, и именно так, чтобы не накладывать никаких ограничений на тензоры. Поэтому меняя их мы можем получить разные координаты, разные карты, разные области многообразия, но не можем получить разные многообразия.

Данное утверждение требует доказательства. Почему не накладывая ограничений на тензоры? Вот это условие :$ g_{00}=1$ или это: $g_{0i}=0$ или $g_{\Omega\Omega}=-r^2$ разве не накладывают жесткие ограничения?

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #822575 писал(а):

но не можем получить разные многообразия.

Так ведь выяснили уже что в вещественном случае можем разные получить. Преобразование одного в другое может оказаться комплексным, значит как вещественные они разные. А комплексность может возникнуть при диагонализации формы: $A \, dt^2 - B \, dr dt - C \, dr^2$. Таким образом, калибровка вида $g_{0 i} = 0$ оказывается сильнодействующим средством с побочным эффектом.

-- 04.02.2014, 15:28 --

schekn в сообщении #822637 писал(а):

Вы не путаете переход к другим координатам с физическим сжатием шара до нулевого радиуса?

Да вроде разницы нет.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #822642 писал(а):

Да вроде разницы нет.

Ну как же нет. В одном случае просто координата на поверхности шара стала другой ( ну подумаешь), а во втором случае Вы его физически сдули. Имея метрику в конкретных координатах Вы сможете определить его радиус.

[SergeyGubanov]

Не просто там координата стала другой. Старая координата исходно изменялась от нуля до бесконечности, а при подстановке $r \to \sqrt{a^2 + r^2}$ старой координате запрещается быть меньше $a$.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #822647 писал(а):

Не просто там координата стала другой. Старая координата исходно изменялась от нуля до бесконечности, а при подстановке $r \to \sqrt{a^2 + r^2}$ старой координате запрещается быть меньше $a$.

Ну вот согласно ремарке Хоукинга-Эллиса у нас нарушился принцип диффеоморфизма, что говорит о неэквивалентности моделей гр. поля, которые вы выпишите в старых и новых координатах.

[Munin]

schekn в сообщении #822637 писал(а):

Уравнения да. Их 6.

Да что вы говорите! А везде написано, что 10.

[Someone]

schekn в сообщении #822649 писал(а):

Ну вот согласно ремарке Хоукинга-Эллиса у нас нарушился принцип диффеоморфизма, что говорит о неэквивалентности моделей гр. поля, которые вы выпишите в старых и новых координатах.

Принцип не нарушился, просто теперь у нас другой набор карт.

Но Вы ведь "прынцыпально" желаете пользоваться одной картой, так что лично для Вас — да, "нарушился".

[schekn]

Someone в сообщении #822674 писал(а):

Принцип не нарушился, просто теперь у нас другой набор карт.

У Хоукинга нет слово про карты, хотя возможно подтекстом он подразумевается, но тогда их нужно выписать и сшить в месте перехода.
Потом Вы имейте в виду 2 карты , разделенные веществом и 2 карты в вакууме это несколько разные вещи. Сергей Губанов также ничего не сказал про 2 карты.
-- 04.02.2014, 18:02 --

Munin в сообщении #822657 писал(а):

Да что вы говорите! А везде написано, что 10.

Самих уравнений Г-Э 6 независимых, вроде везде написано.

[KVV]

Уравнений всего 10. Независимых из них 6, как раз благодаря калибровочным преобразованиям.

[schekn]

KVV в сообщении #822751 писал(а):

Уравнений всего 10. Независимых из них 6, как раз благодаря калибровочным преобразованиям.

Верно, только из них 6 независимых из 10 благодаря тождествам Бьянки. Перепутали причину и следствие.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #821167 писал(а):

Наверняка карта покрывает не всё многообразие. Например, только области IV и I.

Для обсуждения этого создал отдельную ветку topic80979.html

[Munin]

schekn в сообщении #822735 писал(а):

У Хоукинга нет слово про карты

Ну, это если его не читать совсем.

[schekn]

Munin в сообщении #822818 писал(а):

Ну, это если его не читать совсем.

Процитируйте. Там где я цитировал Хоукинга.

[Munin]

Зачем цитировать? Открываете параграф 2.1, и читаете сами. Что, я вам целый параграф копировать буду?