Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #820273 писал(а):

Решение-то вакуумное. Никаких других полей, газа, пыли и т. п. в решении нет.

Что означает, что ими просто пренебрегают. Любой их вклад слишком мал, чтобы учитывать его в правой части уравнения Эйнштейна. Но это не отменяет возможности их существования, и например, использования их как пробных частиц.

Так вот, внимание. Из белой дыры частицы летят, а из чёрной - нет. Этого достаточно, чтобы их различить, будучи внешним наблюдателем.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #820322 писал(а):

Так вот, внимание. Из белой дыры частицы летят, а из чёрной - нет. Этого достаточно, чтобы их различить, будучи внешним наблюдателем.

Чем это поможет? Вот висит, значит, в вакууме э-э-э дыра. Нам надо узнать чёрная она или белая. Ага, думаем мы. Надо подождать. Если из неё вдруг что-то всплывёт, значит она точно белая. А если ничего не вылезет, то не известно, надо ждать дальше. Вот ждём целый год, а ничего из неё не выкатывается. И тут до нас доходит, что если бы внутри белой дыры была хоть одна частица, то она очень быстро из неё вышла бы наружу. А раз целый год из неё ничего не появляется, значит она внутри пустая. Так вот вопрос: как отличить чёрную дыру от белой дыры, которая внутри давным давно пустая?

Кстати, не у всякой вылетевшей частицы может хватить энергии чтобы далеко улететь, тогда она назад шлёпнется, не внутрь конечно, а на горизонт. Смысл в том, что до удалённого детектора частиц она может и не долететь.

(Программа на Mathematica для расчёта радиальных траекторий частиц движущихся в окрестности белой дыры)

r0 = 0.5;
p0 = -0.2;
t1 = 20;
{radius, impulse} = ReplaceAll[{r, p}, NDSolve[{\!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(p[t]\)\) ==
1/2 p[t] r[t]^(-3/2), \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(r[t]\)\) ==
p[t]/Sqrt[1 + p[t]^2] + 1/Sqrt[r[t]], p[0] == p0,
r[0] == r0}, {r, p}, {t, 0, t1}][[1]]];
Plot[radius[t], {t, 0, t1}, PlotRange -> {{0, t1}, {0, 2.5}}]
energy = Sqrt[1 + p0^2] + p0 r0^(-1/2)

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #820381 писал(а):

если бы внутри белой дыры была хоть одна частица, то она очень быстро из неё вышла бы наружу. А раз целый год из неё ничего не появляется, значит она внутри пустая.

Не когда угодно, а в строго определённый момент. Правда перед этим она "бесконечно долго" мялась бы на пороге, но это ведь ещё надо увидеть... (Частица, разумеется, предполагается классической.)

[schekn]

Someone в сообщении #819707 писал(а):

В конце концов, напишите свои "два решения" в явном виде.

Исправлю заодно некоторые свои ляпы. В одном случае при том же элементарном многообразии $M^4$ в одних и тех же "сферических" координатах можно выписать 2 системы уравнений для нахождения метрических компонент риманова пространства $V^4$ :

$R_{\mu}^{\nu}=0,\quad g_{0i}=0,\quad g_{22}=-(r+a)^2,\quad g_{33}=-(r+a)^2\sin{\theta}^2$\quad(20)

$R_{\mu}^{\nu}=0,\quad g_{0i}=0,\quad g_{22}=-(r+b)^2,\quad g_{33}=-(r+b)^2\sin{\theta}^2$\quad(21)

Далее эти 2 системы решаются аналогично по инструкции параграфа 100 ЛЛ-2 (после ур. (100.2) при все тех же предположениях относительно сферической симметрии, краевых условий на бесконечности. Можно также наложить условия на числа $a,b : |a|,|b|<<r$ . Нетрудно понять, что получим 2 таких решения:

$ds^2=(1-\frac{r_g} {(r+a)})c^2dt^2-\frac{dr^2} {1-r_g/(r+a)}-(r+a)^2(d{\theta}^2+\sin{\theta}^2d{\varphi}^2)$\quad(22)

$ds^2=(1-\frac{r_g} {(r+b)})c^2dt^2-\frac{dr^2} {1-r_g/(r+b)}-(r+b)^2(d{\theta}^2+\sin{\theta}^2d{\varphi}^2)$\quad(23)


В процессе решений с момента определения полной системы уравнений мы не меняли систему координат, значит событие $A$ в многобразии $M^4$, по прежнему имеет некоторые абстрактные координаты $(t_A,r_A,\theta_A,\varphi_A)$ и они не изменились.

Вы конечно можете привести 2 метрики к одному виду, но при этом координаты события A изменятся и будут разными в первом и втором случае.

[KVV]

ВсЁ! В юмор!

[Someone]

schekn в сообщении #820595 писал(а):

получим 2 таких решения:

$ds^2=(1-\frac{r_g} {(r+a)})c^2dt^2-\frac{dr^2} {1-r_g/(r+a)}-(r+a)^2(d{\theta}^2+\sin{\theta}^2d{\varphi}^2)$\quad(22)

$ds^2=(1-\frac{r_g} {(r+b)})c^2dt^2-\frac{dr^2} {1-r_g/(r+b)}-(r+b)^2(d{\theta}^2+\sin{\theta}^2d{\varphi}^2)$\quad(23)

Чем дальше в лес, тем толще партизаны.
Я совершенно не могу понять, в чём состоит Ваша претензия. Я уже объяснял, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Чтобы выделить конкретное решение, необходимо, кроме дифференциального уравнения, наложить какие-то дополнительные условия. Никого не удивляет, что, наложив разные условия, получим разные решения, хотя при этом все переменные имеют одинаковые обозначения. Никого, кроме Вас. Всякие теоремы единственности для дифференциальных уравнений всегда предполагают, что речь идёт не только об одних и тех же дифференциальных уравнениях, но и об одних и тех же дополнительных условиях.

schekn в сообщении #820595 писал(а):

В одном случае при том же элементарном многообразии $M^4$ в одних и тех же "сферических" координатах можно выписать 2 системы уравнений для нахождения метрических компонент риманова пространства $V^4$ :

$R_{\mu}^{\nu}=0,\quad g_{0i}=0,\quad g_{22}=-(r+a)^2,\quad g_{33}=-(r+a)^2\sin{\theta}^2$\quad(20)

$R_{\mu}^{\nu}=0,\quad g_{0i}=0,\quad g_{22}=-(r+b)^2,\quad g_{33}=-(r+b)^2\sin{\theta}^2$\quad(21)

Вы здесь накладываете два разных координатных условия: в одном случае большая окружность на сфере $r=\operatorname{Const}$ имеет длину $2\pi(r+a)$, а в другом — $2\pi(r+b)$.

schekn в сообщении #820595 писал(а):

В процессе решений с момента определения полной системы уравнений мы не меняли систему координат

"Не меняли" в том смысле, что обозначения координат в обоих случаях одинаковые. Но координатные условия разные, поэтому системы координат разные. Кстати, "система уравнений" не полная, так как не определяет постоянную интегрирования и, насколько я помню, по меньшей мере одну произвольную функцию.

schekn в сообщении #820595 писал(а):

значит событие $A$ в многобразии $M^4$, по прежнему имеет некоторые абстрактные координаты $(t_A,r_A,\theta_A,\varphi_A)$ и они не изменились.

Но в одном случае событие $A$ Вы поместили на сферу "радиуса" $r+a$, а в другом — на сферу "радиуса" $r+b$. Вы сами, собственноручно, поместили своё "событие" в разные точки многообразия. Хотя "координаты одинаковые" (в том смысле, что обозначаются в обоих случаях одинаково).

schekn в сообщении #820595 писал(а):

Вы конечно можете привести 2 метрики к одному виду, но при этом координаты события A изменятся и будут разными в первом и втором случае.

А почему они должны быть одинаковыми, если Вы определили эти координаты по-разному и, вдобавок, поместили своё "событие" в явно разные места многообразия?

Напомню, что в ОТО решением считается не выражение метрики в конкретных координатах, а пространственно-временное многообразие. Поэтому всякие "единственности" понимаются с точностью до произвольной замены координат. Поэтому Ваши "два решения", как Вы сами написали, на самом деле дают одно многообразие с разными координатами (формально надо было бы сказать "изометричные многообразия").

schekn в сообщении #820286 писал(а):

Эти координаты Вы можете найти изучая геодезические, но они зависят от координатных условий.

Было бы удивительно, если бы не зависели. И формулы, естественно, зависят от координатных условий. А вот результаты измерений, предсказываемые этими "разными" формулами, от координатных условий не зависят.

schekn в сообщении #820286 писал(а):

Someone в сообщении #819707 писал(а):

Тем не менее, элементарное многообразие в смысле Рашевского — это не то же самое, что карта на многообразии.

Удивлен. Когда он пишет о сфере, то подчеркивает, что это не элементарное многообразие. Да и из полного определения многообразия это вроде следует. Может Вы невнимательно читали?

Я-то читал внимательно. Просто Вы не понимаете, о чём говорите. "Элементарное многообразие" в смысле Рашевского — это не карта, а множество карт с одним носителем. На карте система координат должна быть совершенно конкретной, однозначно определённой, а Рашевский координаты на элементарном многообразии не фиксирует, допуская произвольные замены координат.
Сфера действительно не является элементарным многообразием, но её можно покрыть двумя элементарными многообразиями.
Если Вы при этом хотите пользоваться сферическими координатами $\varphi$ и $\theta$, в которых метрика на сфере имеет вид $r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\cdot d\varphi^2)$, то нужно иметь в виду, что они на сфере имеют две особенности — при $\theta=0$ и $\theta=\pi$, и нет взаимной однозначности, поэтому область изменения углов $\varphi$ и $\theta$ надо ограничить, например, условиями $0<\theta<\pi$ и $0<\varphi<2\pi$. Получается сфера с разрезом по половине большого круга, которая уже является элементарным многообразием. Двумя такими элементарными многообразиями можно покрыть всю сферу.
Но можно придумать такую систему координат, которая будет иметь на сфере только одну особую точку. Выбросив эту точку, снова получим элементарное многообразие.

schekn в сообщении #820286 писал(а):

В указанном параграфе Ландау не только использовал преобразование координат (кстати не выписав их явно, когда устранял перекрестный член, в других учебниках этот недостаток устранен), но и в явном виде условие $g_{22}=g_{33}=-r^2$. А это уже не "преобразование координат" в смысле преобразований, который используется в в теории дифференциальных уравнений.

Вы переврали учебник.
Во-первых, $g_{22}=-r^2$, но $g_{33}=-r^2\sin^2\theta$, во-вторых это такая же замена координат, как и в предыдущем случае. В "указанном параграфе" об этом прямо сказано. Предполагая сферическую симметрию, мы подразумеваем, что пространственное сечение $t=\operatorname{Const}$ расслоено на сферы разной величины. Взяв какую-нибудь точку, мы смотрим, на какой сфере она находится, определяем её "радиус" $r$ из условия, что длина большой окружности равна $2\pi r$, и объявляем этот "радиус" $r$ радиальной координатой точки. Так что всё сводится к определённому выбору координат.

SergeyGubanov в сообщении #820381 писал(а):

Чем это поможет? Вот висит, значит, в вакууме э-э-э дыра. Нам надо узнать чёрная она или белая. Ага, думаем мы. Надо подождать. Если из неё вдруг что-то всплывёт, значит она точно белая. А если ничего не вылезет, то не известно, надо ждать дальше. Вот ждём целый год, а ничего из неё не выкатывается. И тут до нас доходит, что если бы внутри белой дыры была хоть одна частица, то она очень быстро из неё вышла бы наружу. А раз целый год из неё ничего не появляется, значит она внутри пустая. Так вот вопрос: как отличить чёрную дыру от белой дыры, которая внутри давным давно пустая?

Ну я же давал ссылку. Надо было внимательнее почитать. Белая дыра неустойчива как относительно классических возмущений, так и относительно квантовых. Если в неё упадёт что-нибудь (хотя бы пылинка), то вылететь из неё уже ничего не сможет. Подлетайте к ней на космическом корабле "для изучения на месте" и кидайте в неё какую-нибудь гайку. После этого можете смело считать, что перед Вами чёрная дыра. Кроме того, квантовые эффекты рождения частиц в сильных гравитационных полях также приводят к тому, что белая дыра быстро превращается в чёрную. Наконец, посмотрите на пространственно-временную диаграмму "вечной" "бело-чёрной" дыры в координатах Крускала — Шекереса. Белая дыра кончается и начинается чёрная.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #820637 писал(а):

белая дыра быстро превращается в чёрную

Если это так, то должно существовать решение:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2,$$

в котором $V(r, t)$ зависит от времени. Если до момента $t_1$ была белая дыра, а после момента $t_2$ она же стала чёрной дырой ($t_2 > t_1$), то

$$V(r, t) = c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \quad : \quad (t < t_1)$$

$$V(r, t) = \ldots ? \ldots \quad : \quad (t_1 < t < t_2)$$

$$V(r, t) = - c \sqrt{\frac{r_g}{r}} \quad : \quad (t > t_2)$$

Но тогда должно существовать и обратное решение ($t \to - t$) когда чёрная превращается в белую.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #820732 писал(а):

Если это так, то должно существовать решение:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2,$$

в котором $V(r, t)$ зависит от времени. Если до момента $t_1$ была белая дыра, а после момента $t_2$ она же стала чёрной дырой ($t_2 > t_1$), то

Это Ваша проблема. Вот пространственно-временная диаграмма "бело-чёрной" дыры в координатах Крускала — Шекереса:

Две пересекающиеся сплошные линии изображают горизонт, снизу — белая дыра, сверху — чёрная. Как видите, белая дыра превращается в чёрную. Если не распадается совсем.

SergeyGubanov в сообщении #820732 писал(а):

Но тогда должно существовать и обратное решение ($t \to - t$) когда чёрная превращается в белую.

Фигушки, я плотоядная! (© Корова из известного мультфильма.) При замене направления времени верх и низ диаграммы меняются местами, чёрная дыра становится белой, а белая — чёрной. В результате белая дыра опять внизу, а чёрная — вверху.

[manul91]

Someone в сообщении #820769 писал(а):

Как видите, белая дыра превращается в чёрную

С "превращением" имхо перегнули палку (либо нужно отдельно дефинировать, что понимается под "превращением" в данном контексте).
В полной диаграмме просто есть две дыры - белая дыра в прошлом, а черная - в будущем.

Иначе да - обычно когда уравнения симметричны относно t - это означает что возможен и обратный процесс, при том же самом направлении физического времени (например в классической механике).
Однако в этом случае, факт что обратная ситуация (белая в будущем, черная в прошлом) невозможна - вытекает просто из дефиниции "черной" и "белой" дыры - т.к. эта дефиниция связана с выбором направления физического времени (просто по определению та которая в физическом прошлом на диаграмме - называется белая, а та которая в физ. будущем - черная; независимо вверх или вниз берем направление физического времени).

[Someone]

manul91 в сообщении #820872 писал(а):

С "превращением" имхо перегнули палку

Да ладно, это не более чем образное выражение.
А вообще, на пространственно-временной диаграмме такой "чёрно-белой" дыры видно, что видим мы всегда только белую дыру, а послать сигнал можем только к чёрной.

[schekn]

Someone в сообщении #820637 писал(а):

Никого не удивляет, что, наложив разные условия, получим разные решения, хотя при этом все переменные имеют одинаковые обозначения. Никого, кроме Вас. Всякие теоремы единственности для дифференциальных уравнений всегда предполагают, что речь идёт не только об одних и тех же дифференциальных уравнениях, но и об одних и тех же дополнительных условиях.

Во-первых, у нас дифференциальные уравнения немного разные в приведенном примере. Разве это не видно? И дополнительные условия , о которых Вы говорите, не задаются свыше. Вам их приходится находить экспериментально, проводя ряд физических измерений и используя уже найденное решение для геодезических, а они разные в 2-х решениях.
И не надо говорить за "всех". Посокольку в печати постоянно появляются статьи на эту тему на разных уровнях знаний теории.

-- 31.01.2014, 10:13 --

Someone в сообщении #820637 писал(а):

Вы здесь накладываете два разных координатных условия: в одном случае большая окружность на сфере $r=\operatorname{Const}$ имеет длину $2\pi(r+a)$, а в другом — $2\pi(r+b)$

Да, это 2 разных "координатных условия" ( я их назвал уравнения связи). Только не путайте переход от одних к другим с "преобразованием координат" которое Вы также используете далее в своих рассуждениях. Они (координатные условия) задаются индивидуально для каждой метрической компоненты. Вы на основании измерения длины дуги не сможете определить $r$ события, поскольку $a, b$ - произвольные числа.

Someone в сообщении #820637 писал(а):

"Не меняли" в том смысле, что обозначения координат в обоих случаях одинаковые. Но координатные условия разные, поэтому системы координат разные. Кстати, "система уравнений" не полная, так как не определяет постоянную интегрирования и, насколько я помню, по меньшей мере одну произвольную функцию.

Вообще -то говоря у Рашевского сказано про координаты не "в смысле" обозначений, а в смысле 4-ки чисел, но только в абстрактоном многообразии $M^4$. В римановом многообразии, которое уже найдено в первом и втором случае, там действительно координатная сетка приобретает черты " физичности", ну хотя бы в том плане, что Вы эти координаты события находите из физических измерений (это выражение понятно?). Об этом часто забывают.
(Вы не думайте, что я такой туповатый или садюга, что пристал к Вам ножом к горлу, лишь бы поупражняться в писанине. Чем далее пытаешься решать задачи, тем все острее возникает вопрос о правильности выбора тех или иных "координатных условий" для конкретных задач. И тут этот момент оказывается очень важен, хотя это противоречит распространненному мнению, что от его выбора вообще не может зависеть решение задачи).

Постоянная интегрирование находится из весьма слабых граничных условий при сравнении с Ньютоновской теорией.

Someone в сообщении #820637 писал(а):

Но в одном случае событие $A$ Вы поместили на сферу "радиуса" $r+a$, а в другом — на сферу "радиуса" $r+b$. Вы сами, собственноручно, поместили своё "событие" в разные точки многообразия. Хотя "координаты одинаковые" (в том смысле, что обозначаются в обоих случаях одинаково).

Нет, не так. Разумеется в пространстве $V^4$, координата r будет разная для события A, но с самого начала в многообразии $M^4$ я оговорил, что существует взаимооднозначное соответствие между 2-мя элементарными многообразиями. И координатаная сетка одинакова ( не верите , что такое возможно - посмотрите Рашевского или Петрова А.З. , где он говорит о геодезическом отображении 2-х пространств Эйнштейна). Поэтому точка А имеет ту же 4-ку чисел. Они стали разными после того , как я наложил разные координатные условия. И ссответственно нашел 2 решения.

И еще один важный момент. Выбор "координатных условий" в виде $g_{\Omega\Omega}=-r^2$ продиктован видимо тем, что у экспериментаторов существует некоторая надежда, что с помощью длины дуги можно бесконечно точно определить r. Это вообще говоря неверно. В некоторых случаях это невозможно - например, как Вы будете измерять шварцшильдовский радиус Солнца, который входит в задачи? Обмотаете веревкой Солнце по диаметру и разделите на $2\pi$ ? Он определяется совсем другими методами. Да и координаты планет таким образом, не определите. А вам же нужно проверить правильность теории.

-- 31.01.2014, 10:18 --

Someone в сообщении #820637 писал(а):

Было бы удивительно, если бы не зависели. И формулы, естественно, зависят от координатных условий. А вот результаты измерений, предсказываемые этими "разными" формулами, от координатных условий не зависят.

Тут можно поспорить, . Ну в пределах нынешней точности может и совпадают.

-- 31.01.2014, 10:23 --

Someone в сообщении #820637 писал(а):

На карте система координат должна быть совершенно конкретной, однозначно определённой, а Рашевский координаты на элементарном многообразии не фиксирует, допуская произвольные замены координат.

Рашевский вводит понятие координатной системы в $M^4$ на стр. 360.. Она действительно не фиксируется.
А карты видимо вводят уже в $V^4$ и уже фиксируют.

-- 31.01.2014, 10:26 --

Someone в сообщении #820637 писал(а):

Во-первых, $g_{22}=-r^2$, но $g_{33}=-r^2\sin^2\theta$, во-вторых это такая же замена координат, как и в предыдущем случае. В "указанном параграфе" об этом прямо сказано. Предполагая сферическую симметрию, мы подразумеваем, что пространственное сечение $t=\operatorname{Const}$ расслоено на сферы разной величины. Взяв какую-нибудь точку, мы смотрим, на какой сфере она находится, определяем её "радиус" $r$ из условия, что длина большой окружности равна $2\pi r$, и объявляем этот "радиус" $r$ радиальной координатой точки. Так что всё сводится к определённому выбору координат.

Да , я исправил этот ляп, когда выписывал 2 координатных условия. Получается, что я событие A поместил в разные точки многообразия $V^4$ одним росчерком пера. Об этом и есть мои претензии - "уравнения связи" по сути меняют "расстановку " объектов. Я ведь про них пока ничего не знаю. А уже расставил по другому. Разве непонятны мои сомнения , что я получу один и тот же результат в расчетах?

[SergeyGubanov]

Someone, бело-чёрная дыра Крускала-Шекереса трансклюкирует в момент внешнего Шварцильдовского времени $t=0$. До этого она бесконечное количество внешнего Шварцшильдовского времени, так сказать, сияла своей белизной (при условии, конечно, наличия в её центре рога изобилия). Понятно, что значение $0$ ничем не выделено. Исследовательский звездолёт мог приблизится к ней за триллион лет до часа-"$0$". Бросание в неё гайки ничем не помогло бы. При наличии внутри неё рога изобилия исследовательский звездолёт зафиксировал бы белую дыру.

Как бы то ни было, гравитационное поле Крускала-Шекереса не имеет отношения к гравитационным полям Пэнлеве. Статическая белая дыра Пэнлеве остаётся самой собой до бесконечности времени Пэнлеве, никогда не превращаясь в чёрную дыру Пэнлеве.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #821121 писал(а):

Someone, бело-чёрная дыра Крускала-Шекереса трансклюкирует в момент внешнего Шварцильдовского времени $t=0$.

А что это за момент такой? Я до сих пор думал, что он устанавливается абсолютно произвольно.

SergeyGubanov в сообщении #821121 писал(а):

Как бы то ни было, гравитационное поле Крускала-Шекереса не имеет отношения к гравитационным полям Пэнлеве. Статическая белая дыра Пэнлеве остаётся самой собой до бесконечности времени Пэнлеве, никогда не превращаясь в чёрную дыру Пэнлеве.

Наверняка карта покрывает не всё многообразие. Например, только области IV и I.

Вообще, вопрос у Вас был странный.
Посмотрите на диаграмму Крускала—Шекереса. Там хорошо видно, что видим мы всегда белую дыру. От чёрной дыры к нам никакие сигналы не приходят. А если дыра не вечная, то есть, получилась в результате коллапса, то мы её вообще не видим, видим только её окружение.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #821167 писал(а):

А что это за момент такой?

Похоже я ошибся, через точку "переворота" проходит не только $t=0$, но и все остальные шварцшильдовы времена. Хмм... значит вообще нет такого момента времени когда белая дыра превращается в чёрную. Их всегда две.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #821247 писал(а):

значит вообще нет такого момента времени когда белая дыра превращается в чёрную. Их

...внешнего...