что преобразование координат - это четыре скалярных функции, и ровно столько имеется уравнений связи.
Вообще-то говоря это ничего еще не значит. Гармонические условия , которые изначально добавляются к имеющимся уравнениям Г-Э, находясь на абстрактном многообразии
, чтобы решить систему однозначно и гармонические координаты, которые мы ищем, когда уже имеем готовое решение в виде
это несколько разные вещи. Вы говорите о гармонических по отношению к уже
готовому решению, и в уравнениях, которые Вы имеете в виду , входят в явном виде
и их производные. ( я подозреваю, что переход к новому решению происходит по другим законам, нежели , чем при обычных координатных преобразований. Под "обычными" я имею в виду, ну например , от
к
, по формулам, как от декартовых к сферическим в евклидовом пространстве. Здесь, как Вы видите никаких метрических компонент нет. При этом сами метрические компоненты преобразуются по тензорному закону. А гармонические координаты ищутся , исходя из уравнений , где они присутствуют).
Попробую пояснить, на каком этапе могут возникнуть новые решения , или какие-то потеряются . Используя гармонические условия, Фок-Ланцош получили уравнения Гильберта-Эйнштейна в симпатичном виде, напоминающие волновые уравнения, где остались только вторые производные. Но где уверенность, что данная система эквивалентна первоначальным уравнениям? Это вопрос к теоретикам, но я встречал разные мнения.
Обычно утверждают, что найдя какое-то решение в неких координатах
мы имеем модель гравитационного поля. Наверное так и есть. Перейдя к новым координатам
и проводя численное решение задач при одинаковых начальных условиях , мы должны получить одинаковые результаты. Но даже здесь Хоукинг делает замечание, что , конечно переход от
к
с помощью
должен быть везде дифференцируемый, но и должно быть взаимооднозначное соответствие всех точек многообразия в первом и втором случае. Есть ли уверенность, что выбирая разные "уравнения связи" мы не получим например два решения
и
в одних координатах или что область определения
и
не будут совпадать , или в некоторых областях функции перехода будут недифференцируемы? Поскольку в 4-х уравнениях связи наблюдается значительный произвол, сказать заранее, что мы получим систему с тем же множеством решений, нельзя.