Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[EvgenB]

Вы, действительно, проницательный человек. Вычислили, что я солипсист, а не, например, платонист. Вам, наверное, знакомо изречение Витгенштейна: то, что утверждает солипсизм, на самом деле верно, но не может быть выражено. На самом деле может, и Вы даже намекнули на возможную модель солипсизма: различные наблюдатели - это различные "проекции" или "степени свободы" единого метанаблюдателя.

[schekn]

Someone в сообщении #818869 писал(а):

Я и говорю: при переходе к другим координатам меняется описание процесса, а не сам процесс. И любую величину, характеризующую процесс (процесс "сам по себе", а не его выражение в конкретных координатах), можно вычислять в любых координатах (используя при необходимости несколько карт).

При переходе к другим "уравнениям связи" ( а не смене координат в уже найденном решении), мы можем получить решения, отвечающие другим процессам ( другой физической реальности). Что измениться для теории, если , скажем , не обнаружат "белые дыры" ? Да вообще говоря, ничего. Просто объявят, что данное решение не реализуется в природе. В этом смысле ОТО "непотопляема".

Someone в сообщении #818869 писал(а):

Я вообще не понимаю, что Вы хотите сказать. Сами по себе дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений. Если Вы хотите получить какое-то конкретное решение или семейство решений, то Вы должны задать соответствующие условия (начальные, граничные, условия типа какой-нибудь симметрии и т.п.)

Я хочу сказать, что разные дифференциальные уравнения, при прочих равных условиях (граничных, симметрии..) дают разное "семейство" бесконечного множества решений. Если чисто из-за каких-то действий теоретика (который остается в рамках принятой теоии) в уравнениях исчезли вторые производные, или появились дополнительно первые ( например как в случае с гармоническими условиями), то эти "семейства" могут сильно отличаться и это может сказаться на появлении дополнительных решений, а то и вообще приведет к другим результатам.
(тут начинаются математические дебри, о которых я бы сам хотел проконсультироваться с математиками).
Давайте я пройдусь по Рашевскому, от появления понятия многообразие до конкретного вида метрики.

[Someone]

schekn в сообщении #819532 писал(а):

Что измениться для теории, если , скажем , не обнаружат "белые дыры" ?

А их и не должны обнаружить. В настоящее время не видно никакого механизма их образования. А если, допустим, они возникали в момент Большого взрыва, то они давным-давно либо распались, либо превратились в чёрные дыры (учёт квантовых эффектов приводит к тому, что из-за рождения частиц в сильном гравитационном поле белая дыра должна очень быстро превращаться в чёрную).

schekn в сообщении #819532 писал(а):

При переходе к другим "уравнениям связи" ( а не смене координат в уже найденном решении), мы можем получить решения, отвечающие другим процессам ( другой физической реальности).

По-моему, я на этот вопрос отвечал подробно и совершенно недвусмысленно. А Вы мой ответ процитировали. И сами в ответ опять написали что-то невразумительное. Вы чего-то не поняли?

Вообще, Ваше самомнение просто чудовищное. Вы путаетесь в элементарных понятиях, и в то же время берётесь "критиковать" теорию, требующую для своего понимания серьёзной математической подготовки.
Впрочем, по моим наблюдениям, для всяких альтернативщиков такое сочетание типично.

[schekn]

Someone в сообщении #818869 писал(а):

Меня устраивает. А Вы поняли по этой книге, что такое многообразие, карта, атлас?

(давайте попробуем в этом разобраться, насколько я понял).
Понятие элементарного многообразия дано у П.К. Рашевского на стр. 359-363. (Элементарное, это в нынешних понятиях значит - для отображения можно обойтись одной картой). Элементы многообразия можно отобразить на связанную область $\Omega$ , с переменными $x^0,x^1,x^2,x^3$. Отображение задается с большим произволом с точностью до любых преобразований класса N. Далее:

"Бедем называть элементы многообразия М точками, заданные нам отображения (80.2) координатными системами в многообразии $M $и наконец , значения $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ , отвечающие точке М в отображении - ее координатами в соответствующей координатной системе."

Таким образом, координатную систему мы уже можем ввести, пусть и с большой долей произвола. Координаты нам понадобятся, иначе мы не сможем написать сами уравнения. Элементы многообразия приборели 4-ку числел. Многообразие $M^4$.
На стр. 378, пар. 84. вводится понятие многообразия уже в полном объеме с введением карт и атласа ( хотя этих слов там нет, но понять можно).
Но в моем примере, достаточно ограничиться понятием элементарного многообразия. Думаю, что проще рассмотреть 2 статических шара, разнессенных на большое расстояние. Пространство вне вещества это есть элементарное многообразие, между элементами в пустоте можно установить взаимооднозначное соответствие, мы можем ввести 2 координатные системы вне вещества каждого шара (с центром симметрии у каждого пока свой). Мы еще не знаем ни размер шара , ни его массу.
В пар. 121 стр. 602. Рашевский рассматривает конформное соответствие римановых пространств. Если многообразия элементарные и между всеми точками одной области (вне первого шара в моем примере) и второй можно установить взаимооднозначное соответствие, то он строит одну координатную систему и утверждает, что есть одно элементарное многообразие , в котором заданы 2 квадратичные формы:

$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$

$d{\bar{s}}^2={\bar{g}}_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$

Таким образом возможна ситуация, что в одной координатной системе мы имеем 2 (или бесконечно много) решений. Но пока мы их не знаем. Чтобы точно определить риманово пространство $V^4$ (точнее пространство Эйнштейна) необходимо решить определенную систему дифференциальных уравнений. Но тут у нас тоже есть определенный произвол в виде уравнений связи. Так например можно к уравнениям $R_{\mu\nu}=0$ добавить еще такие:
$g_{0i}=0, g_{22}=g_{33}=-(r+a)^2$ . В другом случае: $g_{0i}=0, g_{22}=g_{33}=-(r+b)^2$
В данном примере я (забыл указать) уже в самом начале ввел "сферические" координаты. a и b - произвольные постоянные (можно вообще их заменить на произвольные функции от переменной $r$). Теперь , если в процессе решения данных систем уравнений, мы не меняем координатную систему , то получим 2 решения, с постоянными, которые можно выбрать произвольно. Но даже , если в процессе решений мы переходим к другим координатам , от $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ к $(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)$, в этом ничего страшного нет, поскольку компоненты тензора у нас меняются по определенному закону, причем все одновременно. Проделывая тоже для второй системы ( по том же формулам смены системы координат), мы получим все равно 2 одинаковых координатных системы с двумя разными решениями.

А вот Ландау в пар. 100 использует разные приемы: он меняет и систему коодинат в рамках одного решения и накладываает по ходу дела дополнительные "уравнения" связи , что конечно не одно и то же, потому что " уравнения связи" меняют компоненты тензора индивидуально. В результате создается иллюзия, что полученное решение единственно с точностью до преобразования координат.

Еще одна иллюзия - это про ковариантность теории. Ковариантны только уравнения Эйнштейна, а в целом теория нековариантна.

-- 27.01.2014, 11:18 --

Someone в сообщении #819552 писал(а):

Вообще, Ваше самомнение просто чудовищное. Вы путаетесь в элементарных понятиях, и в то же время берётесь "критиковать" теорию, требующую для своего понимания серьёзной математической подготовки.

Наоборот, чем дальше я вникаю в детали, тем теория для меня становится все менее ясной и стройной. Никакого самомнения у меня нет. Но я уже сказал о ее непотопляемости. Критиковать сложно теорию, в которой всегда можно найти решение , которое объясняет тут или иной физический результат. Это напоминает подгон под эксперимент.
Чудовищно, что Вы , более опытный, до сих пор это не понимаете.
(Характерно, что непробиваемые защитники общепринятой теории почти сразу переходят на личности, обвиняя оппонентов - неучи, чукчи и (и это самые мягкие выражения), вместо того, чтобы понять претензии).

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #819552 писал(а):

schekn в сообщении #819532 писал(а):

Что измениться для теории, если , скажем , не обнаружат "белые дыры" ?

А их и не должны обнаружить. В настоящее время не видно никакого механизма их образования. А если, допустим, они возникали в момент Большого взрыва, то они давным-давно либо распались, либо превратились в чёрные дыры (учёт квантовых эффектов приводит к тому, что из-за рождения частиц в сильном гравитационном поле белая дыра должна очень быстро превращаться в чёрную).

Метрика статической чёрной и белой дыры

$$ds^2_{\pm} = c^2 dt^2 - \left( dr \pm \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2,$$

при $r > r_g$ преобразуются к метрике Шварцшильда несингулярным вещественным преобразованием. Это означает, что находясь снаружи невозможно узнать что перед тобой: чёрная или белая дыра.

В частности, для описания гравитационного поля Земли одинаково хорошо годятся и $ds^2_{+}$ и $ds^2_{-}$.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #819670 писал(а):

Это означает, что находясь снаружи невозможно узнать что перед тобой: чёрная или белая дыра.

Достаточно взглянуть на неё.

SergeyGubanov в сообщении #819670 писал(а):

В частности, для описания гравитационного поля Земли одинаково хорошо годятся и $ds^2_{+}$ и $ds^2_{-}$.

Земля, очевидно, не является ни чёрной, ни белой дырой.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #819677 писал(а):

Достаточно взглянуть на неё.

На ней табличка с надписью будет висеть?

Munin в сообщении #819677 писал(а):

Земля, очевидно, не является ни чёрной, ни белой дырой.

Это без разницы, снаружи поле то же самое, даже если бы была.

[Sergey K]

Цитата:

Но я уже сказал о ее непотопляемости.

потопить ТО можно было не найдя эффект замедления времени в природе. Или эффекты в эксперименте Gravity Probe B. Или отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца. Сейчас идет речь и поиске и уточнении границ ее применимости, что вполне логично.

Цитата:

Чудовищно, что Вы , более опытный, до сих пор это не понимаете.

наверно потому что более опытному не напоминает

нечего на зеркало пенять...

[Someone]

schekn в сообщении #819556 писал(а):

Элементарное, это в нынешних понятиях значит - для отображения можно обойтись одной картой

Тем не менее, элементарное многообразие в смысле Рашевского — это не то же самое, что карта на многообразии.

Someone в сообщении #819552 писал(а):

Таким образом возможна ситуация, что в одной координатной системе мы имеем 2 (или бесконечно много) решений.

Я ещё раз повторяю, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Уравнения ОТО — не исключение. Так что в этой "одной" системе координат у нас не два, а бесконечное множество решений. А если ещё не фиксировать тензор энергии-импульса…
К тому же, у Рашевского в этом месте речь идёт просто о римановых пространствах, а не о каких-то "решениях".

Извините, но Вы дурью маетесь.

schekn в сообщении #819556 писал(а):

А вот Ландау в пар. 100 использует разные приемы

В указанном параграфе показано, что, используя условие сферической симметрии и преобразования координат, согласованные с этим условием, решение можно привести к определённому виду.

В конце концов, напишите свои "два решения" в явном виде.

schekn в сообщении #819556 писал(а):

Критиковать сложно теорию, в которой всегда можно найти решение , которое объясняет тут или иной физический результат.

Если в теории нет решения, соответствующей какой-то физической ситуации, то эта теория, как минимум, не годится для описания этой ситуации. ОТО демонстрирует, что она годится.
Что касается "всегда", то легко выдумать такую ситуацию, в которой ОТО потерпит крах. Например, если бы отклонение света в гравитационном поле было вдвое меньше, чем наблюдается на самом деле, то сейчас об ОТО знали бы только исключительно дотошные историки физики.

schekn в сообщении #819556 писал(а):

Это напоминает подгон под эксперимент.

ОТО лишена какой-либо возможности "подгона под эксперимент". В ней есть только один параметр, взятый из эксперимента — гравитационная постоянная. Других параметров, которые можно было бы "подгонять", просто нет. В отличие от конкурирующих теорий, которые такие "подгоночные" параметры имеют, и порой в большом количестве.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #819693 писал(а):

На ней табличка с надписью будет висеть?

Нет, излучение из-под горизонта будет вылетать. Не заставляйте окружающих думать, что вы не знаете, что такое "белая дыра".

SergeyGubanov в сообщении #819693 писал(а):

Это без разницы, снаружи поле то же самое, даже если бы была.

В том-то и разница, что физическая система - это не только поле.

[Someone]

SergeyGubanov
И.Д.Новиков, В.П.Фролов. Физика чёрных дыр. Москва, "Наука", 1986.
§§ 2.5, 2.6, 2.7 13.2.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #819739 писал(а):

SergeyGubanov
И.Д.Новиков, В.П.Фролов. Физика чёрных дыр. Москва, "Наука", 1986.
§§ 2.5, 2.6, 2.7 13.2.

Страница 21 последний абзац:

Физика чёрных дыр писал(а):

Подчеркнём, что внешнее пространство (вне сферы с радиусом $r=r_g$) в обоих случаях тождественно и одно и то же. Преобразованием координат метрика его сводится к (2.2.1), но оно может быть продолжено внутрь сферы Шварцшильда двояким образом: либо как сжимающаяся $T$-область, либо как расширяющаяся $T$-область (но никак не вместе!).

Вот поэтому находясь снаружи и невозможно узнать что перед тобой: белая или чёрная дыра.

Кстати, Новиков-Фролов про координатную систему Пэнлеве (1921) не знали что ли?

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #820049 писал(а):

Вот поэтому находясь снаружи и невозможно узнать что перед тобой: белая или чёрная дыра.

По метрике нельзя. Когда вы вспомните об этом уточнении?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #820102 писал(а):

По метрике нельзя. Когда вы вспомните об этом уточнении?

Решение-то вакуумное. Никаких других полей, газа, пыли и т. п. в решении нет. Пустота и темнота. Так что только по метрике: методом бросания пробных частиц, отклонения луча света, скорости хода хронометров на разных радиусах.

[schekn]

Someone в сообщении #819707 писал(а):

Тем не менее, элементарное многообразие в смысле Рашевского — это не то же самое, что карта на многообразии.

Удивлен. Когда он пишет о сфере, то подчеркивает, что это не элементарное многообразие. Да и из полного определения многообразия это вроде следует. Может Вы невнимательно читали?

Someone в сообщении #819707 писал(а):

Я ещё раз повторяю, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений.

Вы путаете. Тут разные ситуации: одно дело полная система уравнений имеет бесконечное множество решений, а другое дело система уравнений, которая неполная ( недоопределена) имеет также бесконечно множество решений. Это вообще несравнимые вещи. К тому же эти системы относятся к разным типам дифференциальных уравнений при различных уравнений связи. К тому же все дружно ( в классических учебниках) позабыли о таком важном свойстве системе дифференциальных уравнений , как характеристическая матрица.

Someone в сообщении #819707 писал(а):

К тому же, у Рашевского в этом месте речь идёт просто о римановых пространствах, а не о каких-то "решениях".

Да идет, я это место взял , чтобы показать , что в принципе можно зафиксировать координатную систему на уровне абстрактного многообразия и далее получить 2 разных решения, то есть получить 2 модели поля. Только после нахождения всех 10 компонент метрики в указанной координатной системе можно говорить о конкретном римановом пространстве * пространстве Эйнштейна).

Someone в сообщении #819707 писал(а):

Извините, но Вы дурью маетесь.

Это аргумент? Извините, но это как раз и есть характеристика тролля, который не в состоянии ответить на сомнения собеседника. Я хочу докопаться до логике построения теории. Нельзя решать задачи не поняв, как выбираются дополнительные условия и почему в моих немногих примерах, которые я разбирал, они влияют на окончательное решение задач по гравитации.

Someone в сообщении #819707 писал(а):

Если в теории нет решения, соответствующей какой-то физической ситуации, то эта теория, как минимум, не годится для описания этой ситуации. ОТО демонстрирует, что она годится.

ОТО демонстрирует, что можно подобрать так координатные условия, что, решение будет описывать другую физическую ситуацию. Есть ли это признак того, что теория вполне жизнеспособна?

Someone в сообщении #819707 писал(а):

В ней есть только один параметр, взятый из эксперимента — гравитационная постоянная

Я пытаюсь показать Вам, что это не так. В эксперименте Эддингтона в первом приближении в решении входит еще и радиус Солнца ( или прицельный параметр). Вы его не можете определить так, как в евклидовом пространстве, измерив линейкой или методом геометрического параллакса.
В опыте Шапиро, в выражении задержки входит кроме прицельного параметра еще и координаты планет. И и разные теоретики полчили разные выражения, что также настораживает.
Эти координаты Вы можете найти изучая геодезические, но они зависят от координатных условий.

-- 29.01.2014, 13:02 --

Someone в сообщении #819707 писал(а):

В конце концов, напишите свои "два решения" в явном виде.

Это несложно. Я освобожусь и выпишу, а то в спешке ошибусь .

-- 29.01.2014, 13:13 --

Someone в сообщении #819707 писал(а):

В указанном параграфе показано, что, используя условие сферической симметрии и преобразования координат, согласованные с этим условием, решение можно привести к определённому виду.

В указанном параграфе Ландау не только использовал преобразование координат (кстати не выписав их явно, когда устранял перекрестный член, в других учебниках этот недостаток устранен), но и в явном виде условие $g_{22}=g_{33}=-r^2$. А это уже не "преобразование координат" в смысле преобразований, который используется в в теории дифференциальных уравнений.