Обыкновенные винтовые линии.Теорема...

[PSP]

Обыкновенные винтовые линии.
Это единственные пространственные кривые с постоянной кривизной k и кручением \chi.Их замечательное свойство состоит в том, что только эти линии могут, не меняя формы. скользить сами по себе. Частный их случай-прямые и окружности.
Если l-длина , а \alpha-угол наклона линии, то в случае, когда поступательное движение будет по направлению оси z , тогда уравнение винтовой линии будет иметь вид:

$$x=\frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$y=- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$z = l \cos( \alpha) $$

В общем случае, если мы имеем A_{ij} -матрицу поворота и B_i- вектор сдвига, получаем уравнение винтовой линии в общем виде:

$$x=A_{11} \frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)+A_{12}\left(- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right )\right)+A_{13}l \cos( \alpha) +B_1$$

$$y=A_{21} \frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)+A_{22}\left(- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right )\right)+A_{23}l \cos( \alpha) +B_2$$

$$z=A_{31} \frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)+A_{32}\left(- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right )\right)+A_{33}l \cos( \alpha) +B_3$$

Эти линии можно понимать как некоторую композицию движения по прямой и окружности.
Можно ли доказать, что они инвариантны относительно дробно-линейных преобразований вида (

$$l=t$$

):

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t+a_{1}}{b_{11}x+b_{12}y+b_{13}z+b_{14}t+b_{1}}$$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24}t+a_{2}}{b_{21}x+b_{22}y+b_{23}z+b_{24}t+b_{2}}$$

$$z'=\frac{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+a_{34}t+a_{3}}{b_{31}x+b_{32}y+b_{33}z+b_{34}t+b_{3}}$$

$$t'=\frac{a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t+a_{4}}{b_{41}x+b_{42}y+b_{43}z+b_{44}t+b_{4}}$$

???

Вот такая теорема...Можно доказать???

[PSP]

PSP писал(а):

Обыкновенные винтовые линии.
Это единственные пространственные кривые с постоянной кривизной k и кручением \chi.Их замечательное свойство состоит в том, что только эти линии могут, не меняя формы. скользить сами по себе. Частный их случай-прямые и окружности.
Если l-длина , а \alpha-угол наклона линии, то в случае, когда поступательное движение будет по направлению оси z , тогда уравнение винтовой линии будет иметь вид:

$$x=\frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$y=- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$z = l \cos( \alpha) $$

В общем случае, если мы имеем A_{ij} -матрицу поворота и B_i- вектор сдвига, получаем уравнение винтовой линии в общем виде:

$$x=A_{11} \frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)+A_{12}\left(- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right )\right)+A_{13}l \cos( \alpha) +B_1$$

$$y=A_{21} \frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)+A_{22}\left(- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right )\right)+A_{23}l \cos( \alpha) +B_2$$

$$z=A_{31} \frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)+A_{32}\left(- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right )\right)+A_{33}l \cos( \alpha) +B_3$$

Эти линии можно понимать как некоторую композицию движения по прямой и окружности.
Можно ли доказать, что они инвариантны относительно дробно-линейных преобразований вида (

$$l=t$$

):

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t+a_{1}}{b_{11}x+b_{12}y+b_{13}z+b_{14}t+b_{1}}$$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24}t+a_{2}}{b_{21}x+b_{22}y+b_{23}z+b_{24}t+b_{2}}$$

$$z'=\frac{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+a_{34}t+a_{3}}{b_{31}x+b_{32}y+b_{33}z+b_{34}t+b_{3}}$$

$$t'=\frac{a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t+a_{4}}{b_{41}x+b_{42}y+b_{43}z+b_{44}t+b_{4}}$$

???

Вот такая теорема...Можно доказать???

Неужели никому не интересно доказать такую теорему?

[Brukvalub]

PSP писал(а):

Неужели никому не интересно доказать такую теорему

Неинтересно строить простой контрпример к неверному утверждению. Вы и сами можете в этом убедиться, проанализировав простейшие ситуации.

[PSP]

Brukvalub писал(а):

PSP писал(а):

Неужели никому не интересно доказать такую теорему

Неинтересно строить простой контрпример к неверному утверждению. Вы и сами можете в этом убедиться, проанализировав простейшие ситуации.

,
Придётся доказать, что я прав...
Вам известно, что окружность (и прямая, как её частный случай), инвариантны относительно дробно-линейных преобразований?)

[Brukvalub]

PSP писал(а):

Вам известно, что окружность (и прямая, как её частный случай), инвариантны относительно дробно-линейных преобразований?)

Уточню: невырожденных комплексных дробно-линейных преобразований.

[Алексей К.]

PSP писал(а):

Придётся доказать, что я прав...

Признаться, я бы обалдел, если бы это случилось... Вот это была бы теоремка!

PSP писал(а):

Вам известно, что окружность (и прямая, как её частный случай), инвариантны относительно дробно-линейных преобразований?)

ТО дробно-линейное отображение, $w=\frac{az+b}{cz+d}$ к Вашему никакого отношения не имеет. В частности, в нём отсутствует длина дуги окружности (и прямой, как её частного случая); для начала бы их туда как-то впарить...

Ваше утверждение сформулировано плохо --- Вы могли бы сами протрактовать нам эту инвариантность.

При этом преобразовании винтовая линия перейдёт тоже в винтовую линию, да причём (здесь можно много восклицательных знаков вставить) новое $t^\prime$ будет её длиной дуги?? Вы это имели в виду?

При любых коэффициентах как Вы предполагаете, это верно?

Или существует такой набор коэффициентов $a_{ij}, b_{i,j}$, что...

Если при любых (как в упомянутом Вами плоском случае) --- то взял бы быстренько и нарисовал. Убедился. Показал людям. Тогда они в этот ужастик, возможно, поверят...

Я так думаю.

Добавлено спустя 21 минуту 9 секунд:

PSP писал(а):

$$x=\frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$y=- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$z = l \cos( \alpha) $$

Да и с формулами чего-то не так. Желая получить плоский случай (окружность в плоскости XY), $\alpha=0$, получим прямую $x=0,y=?0?,z=l$. Тут и к Прасолову ходить не надо...

PSP писал(а):

Поспешишь --- людей насмешишь...

[PSP]

Алексей К. писал(а):

PSP писал(а):

$$x=\frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$y=- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$z = l \cos( \alpha) $$

Да и с формулами чего-то не так. Желая получить плоский случай (окружность в плоскости XY), $\alpha=0$, получим прямую $x=0,y=?0?,z=l$. Тут и к Прасолову ходить не надо...

PSP писал(а):

Поспешишь --- людей насмешишь...

Плоский случай получается,когда \sin( \alpha) =1

Добавлено спустя 10 минут 56 секунд:

Алексей К. писал(а):

PSP писал(а):

Придётся доказать, что я прав...

Признаться, я бы обалдел, если бы это случилось... Вот это была бы теоремка!

PSP писал(а):

Вам известно, что окружность (и прямая, как её частный случай), инвариантны относительно дробно-линейных преобразований?)

ТО дробно-линейное отображение, $w=\frac{az+b}{cz+d}$ к Вашему никакого отношения не имеет. В частности, в нём отсутствует длина дуги окружности (и прямой, как её частного случая); для начала бы их туда как-то впарить...

Ваше утверждение сформулировано плохо --- Вы могли бы сами протрактовать нам эту инвариантность.

При этом преобразовании винтовая линия перейдёт тоже в винтовую линию, да причём (здесь можно много восклицательных знаков вставить) новое $t^\prime$ будет её длиной дуги?? Вы это имели в виду?

При любых коэффициентах как Вы предполагаете, это верно?

Или существует такой набор коэффициентов $a_{ij}, b_{i,j}$, что...

Если при любых (как в упомянутом Вами плоском случае) --- то взял бы быстренько и нарисовал. Убедился. Показал людям. Тогда они в этот ужастик, возможно, поверят...

Я так думаю.

Формулировка примерно такая:

При этом преобразовании винтовая линия перейдёт тоже в винтовую линию, причём новый параметр $t^\prime$ будет отображён из старого неким таким преобразованием при любых коэффициентах .

[shwedka]

Даже окружность, частный случай винтовой линии, не будет инвариантной при ВЕЩЕСТВЕННЫХ дробно-линейных преобразованиях. В эллипс перейдет.

[PSP]

shwedka писал(а):

Даже окружность, частный случай винтовой линии, не будет инвариантной при ВЕЩЕСТВЕННЫХ дробно-линейных преобразованиях. В эллипс перейдет.

А разве я имел в виду ВЕЩЕСТВЕННЫЕ дробно-линейные преобразования?

[Алексей К.]

PSP писал(а):

А разве я имел в виду ВЕЩЕСТВЕННЫЕ дробно-линейные преобразования?

Но, любезный, Вас все почему-то поняли именно так... И ежели Ваши формулы где-то ещё и комплексуют вдобавок... то...

[Brukvalub]

PSP писал(а):

А разве я имел в виду ВЕЩЕСТВЕННЫЕ дробно-линейные преобразования?

Еще Кузьма Прутков говаривал: "Если на клетке слона прочтёшь надпись «буйвол», не верь глазам своим". Вы пишите про преобразования с явно вещественными коэффициентами, поскольку до этого в параметрическом задании кривой все коэффициенты были вещественными, а потом сами же и возмущаетесь. В общем, сами сформулировали явно неверную теорему - Вам её и доказывать .

[PSP]

Хорошо, возможно, я неправ...Возможно.
Но кто нибудь может сказать тогда, относительно каких преобразований должны быть инвариантны обыкновенные винтовые линии?

[Алексей К.]

PSP писал(а):

Хорошо, возможно, я неправ...Возможно.
Но кто нибудь может сказать тогда, относительно каких преобразований должны быть инвариантны обыкновенные винтовые линии?

Я могу!
Относительно т.н. движений --- поворотов и переносов.

[PSP]

Алексей К. писал(а):

PSP писал(а):

Хорошо, возможно, я неправ...Возможно.
Но кто нибудь может сказать тогда, относительно каких преобразований должны быть инвариантны обыкновенные винтовые линии?

Я могу!
Относительно т.н. движений --- поворотов и переносов.

Думаю, можно ещё добавить растяжения и инверсии, а также симметрию...Как?

[Алексей К.]

Про растяжения --- зависит от осмысления инвариантности: инвариантен ли маленький пирожок большому? (у меня обеденный перерыв приближается).

Про симметрии, после всех дробно-линейных ужасов, признаться, лень думать (симметричный пирожок лезет в голову). Даже на плоскости --- пририсуйте к окружности стрелочки, симметрично отразите отн. прямой. Попробуйте совместить. Если стрелочки проигнорировать --- то да, удалось.

Если инверсию в пространстве определить по аналогии с плоской инверсией,
то всю неограниченную винтовую линию, расположенную вне некой сферы инверсии (фу, как звучит странно!) Вы загоните вовнутрь этой сферы. Инвариантно получается?