Обыкновенные винтовые линии.Теорема...

[TOTAL]

Алексей К. писал(а):

В теореме Лиувиля инверсиями считаются преобразования, переводящие сферу в сферу,
а вовсе не какие-то надуманные "цилиндрические" инверсии.
Так что Вам остаётся ---

Остается понять, что подразумевается под инвариантностью.

[Алексей К.]

Алексей К. писал(а):

естественно, радиус резьбы будет теперь непостоянным;

И шаг, конечно...

[shwedka]

Алексей К.

Цитата:

В теореме Лиувиля инверсиями считаются преобразования, переводящие сферу в сферу,
а вовсе не какие-то надуманные "цилиндрические" инверсии.

Я уже пояснила, что теорема Лиувилля и конформность вообще рассматриваемому вопросу абсолютно иррелевантны. Цилиндрическая инверсия: инверсия в каждой плоскости, ортогональной цилиндру относительно окружности, сечения цилиндра этой плоскостью.
Алексей К.

Цитата:

4) Публиковать.

Убрать подальше как бесплодное.

[PSP]

PSP писал(а):

shwedka писал(а):

Конформные отображения сохраняют угол между направлениями в ОДНОЙ ТОЧКЕ. То, как Вы задаете винтовую линию, это постоянство угла между осью и касательной к линии. Так? но это в разных точках, а на такое конформность отображений не распространяется. Тем более, в общем случае, как Вы зададите, в какой точке кривой Вы проведете касательную, чтобы мерить угол? Скажете, в плоскости нормали к оси? Не годится. При отображении эта \плоскость перестанет быть плоскостью.
А самое обидное, при отображении ось перестанет быть прямой.

Так что советую бросить это дело.

У обыкновенной винтовыой линии (ОВЛ) есть особая прямая O
- ось движения ( ось цилиндра, на котором лежит ОВЛ )
1.В любой точке ОВЛ можно провести прямую P_=,паралельную O
2.В любой точке ОВЛ можно провести прямую P_+,перпендикулярную O
3.В любой точке ОВЛ можно провести касательную K
4.Углы между K и P_=,между K и P_+ постоянны =>ОВЛ инвариантна относительно конформных отображений.

Дорогая shwedka!
А что Вы можете сказать по поводу этого?

Добавлено спустя 27 минут 15 секунд:

Для справки:
Конформное отображение

Всякое К. о. трёхмерных областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию инверсии и одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля). Вследствие этого К. о. трёхмерных (и вообще многомерных) областей не имеют такого большого значения и таких разнообразных приложений, как К. о. двумерных областей.

ОВЛ можно представить как линию, находящуюся на множестве пересекающихся сфер одинакового радиуса, центры которых лежат на одной прямой.

[TOTAL]

PSP писал(а):

ОВЛ можно представить как линию, находящуюся на множестве пересекающихся сфер одинакового радиуса, центры которых лежат на одной прямой.

Где тут будет винт?

[Brukvalub]

PSP писал(а):

ОВЛ можно представить как линию, находящуюся на множестве пересекающихся сфер одинакового радиуса, центры которых лежат на одной прямой.

Но образ этой прямой при к.о. может уже не быть прямой

[PSP]

TOTAL писал(а):

PSP писал(а):

ОВЛ можно представить как линию, находящуюся на множестве пересекающихся сфер одинакового радиуса, центры которых лежат на одной прямой.

Где тут будет винт?

Винт будет на цилиндре,а цилиндр касается несяётного множества вписанных в него шаров.Представили?

[Алексей К.]

PSP писал(а):

ОВЛ можно представить как линию, находящуюся на множестве пересекающихся сфер одинакового радиуса, центры которых лежат на одной прямой.

Зачем? Чтобы сделать понятное непонятным?

А после инверсии --- по Лиувиллю --- это будет линия, находящаяся на множестве сфер НЕодинакового радиуса, центры которых лежат на одной окружности...
Ну и что?

Поправка, 23:50
"центры которых лежат на одной окружности" --- это вряд ли правда. По крайней мере, неочевидно. Центр в центр не переходит.
Но, наверное, простая и интересная задачка --- исследовать образ цилиндра при инверсии (сферической).

[PSP]

Алексей К. писал(а):

А после инверсии --- по Лиувиллю --- это будет линия, находящаяся на множестве сфер НЕодинакового радиуса, центры которых лежат на одной окружности...

Докажите.
Не забывайте:

Цитата:

Всякое К. о. трёхмерных областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию инверсии и одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля).

[TOTAL]

Алексей К. писал(а):

PSP писал(а):

А после инверсии --- по Лиувиллю --- это будет линия, находящаяся на множестве сфер НЕодинакового радиуса, центры которых лежат на одной окружности...
Ну и что?

Да ничего!
Он же не обещал, что образом винтовой линии при преобразовании, относительно которого винтовые линии инвариантны,
должна быть снова винтовая линия.

[PSP]

TOTAL писал(а):

Алексей К. писал(а):

PSP писал(а):

А после инверсии --- по Лиувиллю --- это будет линия, находящаяся на множестве сфер НЕодинакового радиуса, центры которых лежат на одной окружности...
Ну и что?

Да ничего!
Он же не обещал, что образом винтовой линии при преобразовании, относительно которого винтовые линии инвариантны,
должна быть снова винтовая линия.

Нет, именно этого я и хочу,чтобы образом винтовой линии при преобразовании, относительно которого винтовые линии инвариантны, должна быть снова винтовая линия.Но я имею не просто инверсию, а конформное преобразование!

[Алексей К.]

shwedka писал(а):

PSP

Цитата:

А относительно каких же преобразований тогда инвариантны обыкновенные винтовые линии?

движения, гомотетии, одномерные гомотетии вдоль оси, двумерные гомотетии ортогонально оси
и цилиндрические инверсии относительно цилиндров, соосных линии.

А вот насчёт цилиндрических инверсий сомнительно. Ведь при инверсии на плоскости ПОЛУокружность (в общем случае) НЕ переходит в ПОЛУокружность. Любую дугу с углом $0< \varphi < 2\pi$ можно инвертировать в любую другую с углом $\varphi^\prime\not=\varphi$, $0< \varphi^\prime < 2\pi$. Стало быть, ежели повернувшись по винту на $180^\circ$ мы поднялись вверх на 10 мм, и потом, на оставшихся $180^\circ$ --- ещё на 10 мм, то при цилиндрической инверсии мы, повернувшись по новому винту на $200^\circ$, поднимемся вверх на 10 мм, и потом, на других $160^\circ$ --- ещё на 10 мм, А это уже не винтовая линия.
Если Вы, уважаемая shwedka, согласитесь с этими интуитвными доводами, то я не буду утруждать себя более подробной проверкой и наколачиванием (в рабочее время) формул...

[TOTAL]

PSP писал(а):

Нет, именно этого я и хочу,чтобы образом винтовой линии при преобразовании, относительно которого винтовые линии инвариантны, должна быть снова винтовая линия.Но я имею не просто инверсию, а конформное преобразование!

А винтову линию внутри сферы Вы тоже имеете?

[PSP]

TOTAL писал(а):

PSP писал(а):

Нет, именно этого я и хочу,чтобы образом винтовой линии при преобразовании, относительно которого винтовые линии инвариантны, должна быть снова винтовая линия.Но я имею не просто инверсию, а конформное преобразование!

А винтову линию внутри сферы Вы тоже имеете?

Ваш вопрос не имеет смысла.

Конформное преобразование оставляет окружность- окружностью, прямую - прямой.
ОВЛ- композиция движения по окружности и прямой.

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

Brukvalub писал(а):

PSP писал(а):

ОВЛ можно представить как линию, находящуюся на множестве пересекающихся сфер одинакового радиуса, центры которых лежат на одной прямой.

Но образ этой прямой при к.о. может уже не быть прямой

Неверно.
Конформное преобразование оставляет окружность- окружностью, прямую - прямой.

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

Может, кто-либо проведёт численный эксперимент? У меня возможности сейчас такой нет.

[Алексей К.]

PSP писал(а):

ОВЛ- композиция движения по окружности и прямой.

Винтовая линия - композиция равномерного движения по окружности и равномерного движения по прямой. Равномерное означает $\frac{\mbox{длина}}{\mbox{время}}=const$. А при конформации длина не сохраняется. А про время --- не знаю...