Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$

[Феликс Шмидель]

У меня появилась новая идея: вычислить все простые числа, на которые может делиться $y z$.
По-моему, равенство (23) даёт нам возможность сделать это.

Цитата:

(23) $(\alpha_1(g)-\alpha_1(g i_5))(\alpha1(g)+\alpha_1(g i_5))=y z g^2 (i_5^2-1)$.

Пусть $y z$ делится на некоторый простой идеал $\rho$ поля $\mathbb{Q}[g, i_5]$.
Тогда один из сомножителей в левой части равенства (23) делится на $\rho$.
Это даёт нам 4 линейных сравнения с 5-ю неизвестными: $a_0$, ..., $a_4$.
Подставив вместо $g i_5$ вместо $g$ в равенство (23), мы получим ещё одно сравнение.
Поскольку $a_0$, ..., $a_4$ не все делятся на $\rho$, то детерминант системы сравнений делится на $\rho$.

Нам надо вычислить $2^5=32$ детерминантов.

Буду искать возможность сделать это вычисление на компьютере.

[Феликс Шмидель]

Но сначала разберёмся, как с этой точки зрения могут выполняться сравнения (21) по модулю простого делителя $p$ числа $y z$.

Цитата:

(21) : $a_1 \equiv \frac{x}{5} g_1^4$, $a_2 \equiv \frac{x}{5} g_1^3$, $a_3 \equiv \frac{x}{5} g_1^2$, $a_4 \equiv \frac{x}{5} g_1$, $a_5 \equiv \frac{x}{5}$, где $g_1^5 \equiv 2$ по модулю $p$.

Предположим $g-g_1$ делится на простой идеал $\rho$ поля $\mathbb{Q}[g, i_5]$.

Тогда $a_1 g+a_2 g^2+a_3 g^3+a_4 g^4 \equiv \frac{x}{5} (g^5+g^5+g^5+g^5)=8 \frac{x}{5}$ по модулю идеала $\rho$.
Также $a_1 g i_5+a_2 g^2 i_5^2+a_3 g^3 i_5^3+a_4 g^4 i_5^4 \equiv \frac{x}{5} (g^5 i_5+g^5 i_5^2+g^5 i_5^3+g^5 i_5^4)=- 2 \frac{x}{5}$
Значит первый сомножтель в левой части равенства (23) сравним с $10 \frac{x}{5}$ по модулю $\rho$, и если $p$ отлично от $2$ и $5$, то этот первый сомножитель делиться на $\rho$ никак не может.
Второй сомножитель сравним с $2 a_0+6 \frac{x}{5}$ и он как раз и делится на $\rho$, поскольку $a_0 \equiv -3 \frac{x}{5}$.
Если подставить $g i_5$ вместо $g$ в (23), то первый сомножитель делится на $\rho$.

Эти рассуждения показывают, что наша идея с вычислением детерминантов обречена на неудачу в случае если выполняются сравнения (21).
В этом случае, некоторые детерминанты равны нулю.

Возможно, вычисляя детерминанты можно доказать сравнения (21) по модулю любого простого делителя числа $y z$.

[Феликс Шмидель]

Мы вывели сравнения (21) только для некоторых простых делителей $p$ числа $y z$.
Вычисляя детерминанты, мы не только докажем сравнения (21) для других простых делителей числа $y z$.
Мы можем получить из равенства (28) подобные сравнения для простых делителей числа $x$.

-- Вт ноя 26, 2013 15:45:00 --

Баги, которые я встретил в алгебраической программе REDUCE, по-видиму проявляются только в Windows 7 или только на моём компьютере.
То же самое на другом компьютере с Windows XP вычисляется без всяких проблем.
Думаю, что REDUCE вполне пригодна для вычисления детерминантов.

[Феликс Шмидель]

Итак, вычислим 32 детерминанта для делителей числа $y z$:

load_package polydiv;

mlllll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drllll:=((det mrllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dlrlll:=((det mlrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllllr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dllllr:=((det mllllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drlrll:=((det mrlrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drllrl:=((det mrllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dlrrll:=((det mlrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dlrlrl:=((det mlrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrlr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dllrlr:=((det mllrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dlllrr:=((det mlllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrllr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drrllr:=((det mrrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
dlrrrl:=((det mlrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dllrrr:=((det mllrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drlrrl:=((det mrlrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drrrrr:=((det mrrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drrlrr:=((det mrrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrlr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));
drrrlr:=((det mrrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);


dlllll;
drllll;
dlrlll;
dllrll;
dlllrl;
dllllr;
drrlll;
drlrll;
drllrl;
drlllr;
dlrrll;
dlrlrl;
dlrllr;
dllrrl;
dllrlr;
dlllrr;
drrrll;
drrlrl;
drrllr;
dlrrrl;
dlrrlr;
dllrrr;
drlrrl;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
drrrrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrlrr;
drrrlr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=0$

$drllll=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrlll=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dllrll=0$

$dlllrl=0$

$dllllr=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrlll=0$

$drlrll=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$drllrl=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$drlllr=0$

$dlrrll=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrlrl=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrllr=0$

$dllrrl=0$

$dllrlr=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlllrr=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$drrrll=0$

$drrlrl=0$

$drrllr=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrrrl=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrrlr=0$

$dllrrr=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrrl=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drllrr=0$

$drlrlr=0$

$dlrlrr=0$

$drrrrr=200 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrrrr=0$

$drlrrr=0$

$drrlrr=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrlr=200 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrrl=0$


Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Решим теперь эти линейные системы сравнений, считая $a_0$ известным.
Для этого, отбросим у матриц последнюю строку.
Затем отбросим первый столбец и вычислим детерминант новый системы (детерминанты систем):

load_package polydiv;

mlllll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drllll:=((det mrllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrlll:=((det mlrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllllr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllllr:=((det mllllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrll:=((det mrlrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrl:=((det mrllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrll:=((det mlrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrl:=((det mlrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrlr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrlr:=((det mllrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrr:=((det mlllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrllr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrllr:=((det mrrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrl:=((det mlrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrr:=((det mllrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrl:=((det mrlrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrr:=((det mrrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrr:=((det mrrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrlr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrlr:=((det mrrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);


dlllll;
drllll;
dlrlll;
dllrll;
dlllrl;
dllllr;
drrlll;
drlrll;
drllrl;
drlllr;
dlrrll;
dlrlrl;
dlrllr;
dllrrl;
dllrlr;
dlllrr;
drrrll;
drrlrl;
drrllr;
dlrrrl;
dlrrlr;
dllrrr;
drlrrl;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
drrrrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrlrr;
drrrlr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=100 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drllll=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrlll=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dllrll=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlllrl=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dllllr=100 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrlll=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrll=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drllrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlllr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrrll=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrlrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrllr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dllrrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dllrlr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlllrr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$drrrll=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrlrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrllr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrrrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrrlr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dllrrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drllrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrlr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrlrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrrr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrrrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrlrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrlr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrrl=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

Красота! Ненулевые детерминанты говорят о том, что сравнения типа (21) обеспечены нам для всех (почти) простых делителей числа $y z$!

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Найдем теперь для каждой из систем сравнений, числа $r_1, r_2, r_3, r_4$, такие что $a_1 \equiv r_1 a_0$, $a_2 \equiv r_2 a_0$, $a_3 \equiv r_3 a_0$, $a_4 \equiv r_4 a_0$.
В этом сообщении найдём $r_1 D$, где $D$ - найденный в предыдущем сообщении детерминант системы.

Код:
load_package polydiv;

mlllll:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllll:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drllll:=((det mrllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlll:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrlll:=((det mlrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllllr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllllr:=((det mllllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrll:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrll:=((det mrlrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrl:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrl:=((det mrllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrll:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrll:=((det mlrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrl:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrl:=((det mlrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrlr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrlr:=((det mllrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrr:=((det mlllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrllr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrllr:=((det mrrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrl:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrl:=((det mlrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrr:=((det mllrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrl:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrl:=((det mrlrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrr:=((det mrrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrr:=((det mrrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrlr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrlr:=((det mrrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);


dlllll;
drllll;
dlrlll;
dllrll;
dlllrl;
dllllr;
drrlll;
drlrll;
drllrl;
drlllr;
dlrrll;
dlrlrl;
dlrllr;
dllrrl;
dllrlr;
dlllrr;
drrrll;
drrlrl;
drrllr;
dlrrrl;
dlrrlr;
dllrrr;
drlrrl;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
drrrrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrlrr;
drrrlr;
drrrrl;

Получим:


$dlllll=0$

$drllll=20 g^4 (-i_5^3+i_5^2+i_5-1)$

$dlrlll=20 g^4 (i_5^3+2 i_5+2)$

$dllrll=20 g^4 i_5 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dlllrl=20 g^4 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dllllr=0$

$drrlll=20 g^4 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drlrll=20 g^4 (3 i_5^3+i_5+1)$

$drllrl=20 g^4 (i_5^3+i_5^2+3)$

$drlllr=20 g^4 (-i_5^3+i_5^2+i_5-1)$

$dlrrll=20 g^4 (i_5^3+i_5^2-2)$

$dlrlrl=20 g^4 i_5 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$dlrllr=20 g^4 (i_5^3+2 i_5+2)$

$dllrrl=20 g^4 (2 i_5^3+3 i_5^2+3 i_5+2)$

$dllrlr=20 g^4 i_5 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dlllrr=20 g^4 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$drrrll=20 g^4 (-2 i_5^3+i_5+1)$

$drrlrl=20 g^4 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drrllr=20 g^4 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$dlrrrl=20 g^4 i_5 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$dlrrlr=20 g^4 (i_5^3+i_5^2-2)$

$dllrrr=20 g^4 (2 i_5^3+3 i_5^2+3 i_5+2)$

$drlrrl=20 g^4 (-3 i_5^3-2 i_5^2-2 i_5-3)$

$drllrr=20 g^4 (i_5^3+i_5^2+3)$

$drlrlr=20 g^4 (3 i_5^3+i_5+1)$

$dlrlrr=20 g^4 i_5 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drrrrr=20 g^4 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrrrr=20 g^4 i_5 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drlrrr=20 g^4 (-3 i_5^3-2 i_5^2-2 i_5-3)$

$drrlrr=20 g^4 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drrrlr=20 g^4 (-2 i_5^3+i_5+1)$

$drrrrl=20 g^4 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

[Феликс Шмидель]

Заметим, что норма числа $2 i_5^3+2 i_5^2+1$ в кольце $\mathbb{Z}[i_5]$ равна 25.
Она вычисляется следующим кодом:

load_package polydiv;
v1:=2*i5^3+2*i5^2+1;
v2:=2*i5^6+2*i5^4+1;
v3:=2*i5^9+2*i5^6+1;
v4:=2*i5^12+2*i5^8+1;

(v1*v2*v3*v4) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

Решая 32 системы линейных сравнений, мы делаем двойную работу, потому что в половине из них, детерминант первоначальной системы не равен нулю.

Предположим, что простой делитель $p$ числа $y z$ отличен от $2$ и $5$.

Тогда детерминант первоначальной системы в 16 системах сравнений не делится на $\rho$ (напомним, что системы решаются по модулю простого идеала $\rho$ поля $\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}, i_5]$, где $p$ делится на $\rho$).
Поэтому в 16 системах сравнений все коэффициенты $a_0$, ..., $a_4$ должны делится на $\rho$, значит и на $p$, что невозможно, так как $(a_0+a_1 g+...+a_4 g^4)^2=x^2-g^2 (yz)$.

Запишем вместе 16 матриц с нулевым детерминантом и будем заниматься только ими:

mlllll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mllrll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mlllrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mrrlll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mrlllr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mlrllr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mllrrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mrrrll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mrrlrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

mlrrlr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mrllrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mrlrlr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mlrlrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mlrrrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mrlrrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(2, g*i5+g*i5^2, g^2*i5^2+g^2*i5^4, g^3*i5^3+g^3*i5^6, g^4*i5^4+g^4*i5^8));

mrrrrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16),(0, g*i5-g*i5^2, g^2*i5^2-g^2*i5^4, g^3*i5^3-g^3*i5^6, g^4*i5^4-g^4*i5^8));

Отбросим у этих матриц последнюю строчку.

Получим:

mlllll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mllrll:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mlllrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrrlll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mrlllr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mlrllr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mllrrl:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrrrll:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mrrlrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mlrrlr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mrllrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrlrlr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mlrlrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mlrrrr:=mat((0, g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrlrrr:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrrrrl:=mat((2, g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(2, g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(2, g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(2, g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

Каждая из этих 16 матриц задаёт систему линейных сравнений с 4 неизвестными: $a_1$,...,$a_4$.
Что касается $a_0$ (первый столбец), мы считаем этот коэффициент известным.

Отбросим теперь у этих матриц первый столбец.
В этот раз не будем редактировать вручную, а заменим везде '(0, ' на '(' и '(2, ' на '('.

Получим:

mlllll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mllrll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mlllrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrrlll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mrlllr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mlrllr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mllrrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrrrll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mrrlrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mlrrlr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mrllrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrlrlr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));

mlrlrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mlrrrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrlrrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

mrrrrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));

Вычислим детерминанты этих матриц:

mlllll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

dlllll;
dllrll;
dlllrl;
drrlll;
drlllr;
dlrllr;
dllrrl;
drrrll;
drrlrl;
dlrrlr;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=100 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dllrll=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlllrl=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$drrlll=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlllr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dlrllr=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

$dllrrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrll=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrlrl=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrrlr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drllrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrlr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrlrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$dlrrrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drlrrr=20 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

$drrrrl=60 (-2 i_5^3-2 i_5^2-1)$

Мы уже делали это для 32 матриц.
Сейчас мы сделали это для 16 матриц.
Наш девиз: "проверять, проверять и перепроверять".

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Вычислим теперь детерминанты которые будут в числителе по правилу Крамера.
Сначала заменим первый столбец.
Не будем делать это вручную, а сделаем следующие замены: '(g-g*i5,' на '(0,', '(g+g*i5,' на '(-2,', '(g-g*i5^2' на '(0', '(g+g*i5^2' на '(-2', '(g-g*i5^3' на '(0', '(g+g*i5^3' на '(-2', '(g-g*i5^4' на '(0', '(g+g*i5^4' на '(-2':

load_package polydiv;

mlllll:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(0, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(0, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((0, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(0, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((-2, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(-2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(-2, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(-2, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

dlllll;
dllrll;
dlllrl;
drrlll;
drlllr;
dlrllr;
dllrrl;
drrrll;
drrlrl;
dlrrlr;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=0$

$dllrll=20 g^4 i_5 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dlllrl=20 g^4 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$drrlll=20 g^4 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drlllr=20 g^4 (-i_5^3+i_5^2+i_5-1)$

$dlrllr=20 g^4 (i_5^3+2 i_5+2)$

$dllrrl=20 g^4 (2 i_5^3+3 i_5^2+3 i_5+2)$

$drrrll=20 g^4 (-2 i_5^3+i_5+1)$

$drrlrl=20 g^4 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$dlrrlr=20 g^4 (i_5^3+i_5^2-2)$

$drllrr=20 g^4 (i_5^3+i_5^2+3)$

$drlrlr=20 g^4 (3 i_5^3+i_5+1)$

$dlrlrr=20 g^4 i_5 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$dlrrrr=20 g^4 i_5 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drlrrr=20 g^4 (-3 i_5^3-2 i_5^2-2 i_5-3)$

$drrrrl=20 g^4 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

Продолжение следует.

-- Ср ноя 27, 2013 09:39:08 --

Заменим второй столбец.
Не будем делать это вручную, а сделаем следующие замены: ', g^2-g^2*i5^2' на ', 0', ', g^2+g^2*i5^2' на ', -2', ', g^2-g^2*i5^4' на ', 0', ', g^2+g^2*i5^4' на ', -2', ', g^2-g^2*i5^6' на ', 0', ', g^2+g^2*i5^6' на ', -2', ', g^2-g^2*i5^8' на ', 0', ', g^2+g^2*i5^8' на ', -2',:

load_package polydiv;

mlllll:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, 0, g^3-g^3*i5^12, g^4-g^4*i5^16));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, 0, g^3-g^3*i5^9, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((g-g*i5, 0, g^3-g^3*i5^3, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, 0, g^3-g^3*i5^6, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((g+g*i5, -2, g^3+g^3*i5^3, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, -2, g^3+g^3*i5^6, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, -2, g^3+g^3*i5^9, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, -2, g^3+g^3*i5^12, g^4+g^4*i5^16));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

dlllll;
dllrll;
dlllrl;
drrlll;
drlllr;
dlrllr;
dllrrl;
drrrll;
drrlrl;
dlrrlr;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=0$

$dllrll=20 g^3 (-i_5^3+i_5^2+i_5-1)$

$dlllrl=20 g^3 i_5 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$drrlll=20 g^3 i_5 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drlllr=20 g^3 (i_5^3+2 i_5+2)$

$dlrllr=20 g^3 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dllrrl=20 g^3 (3 i_5^3+i_5+1)$

$drrrll=20 g^3 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drrlrl=20 g^3 i_5 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$dlrrlr=20 g^3 (i_5^3+i_5^2+3)$

$drllrr=20 g^3 (i_5^3+i_5^2-2)$

$drlrlr=20 g^3 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$dlrlrr=20 g^3 (2 i_5^3+3 i_5^2+3 i_5+2)$

$dlrrrr=20 g^3 (-3 i_5^3-2 i_5^2-2 i_5-3)$

$drlrrr=20 g^3 (-2 i_5^3+i_5+1)$

$drrrrl=20 g^3 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Заменим третий столбец.
Не будем делать это вручную, а сделаем следующие замены: ', g^3-g^3*i5^3' на ', 0', ', g^3+g^3*i5^3' на ', -2', ', g^3-g^3*i5^6' на ', 0', ', g^3+g^3*i5^6' на ', -2', ', g^3-g^3*i5^9' на ', 0', ', g^3+g^3*i5^9' на ', -2', ', g^3-g^3*i5^12' на ', 0', ', g^3+g^3*i5^12' на ', -2':

load_package polydiv;

mlllll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, 0, g^4-g^4*i5^16));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, 0, g^4-g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, 0, g^4-g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, 0, g^4-g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, -2, g^4+g^4*i5^4),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, -2, g^4+g^4*i5^8),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, -2, g^4+g^4*i5^12),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, -2, g^4+g^4*i5^16));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

dlllll;
dllrll;
dlllrl;
drrlll;
drlllr;
dlrllr;
dllrrl;
drrrll;
drrlrl;
dlrrlr;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=0$

$dllrll=20 g^2 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dlllrl=20 g^2 (i_5^3+2 i_5+2)$

$drrlll=20 g^2 (3 i_5^3+i_5+1)$

$drlllr=20 g^2 i_5 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dlrllr=20 g^2 (-i_5^3+i_5^2+i_5-1)$

$dllrrl=20 g^2 i_5 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drrrll=20 g^2 (-3 i_5^3-2 i_5^2-2 i_5-3)$

$drrlrl=20 g^2 (-2 i_5^3+i_5+1)$

$dlrrlr=20 g^2 (i_5^3+i_5^2+3)$

$drllrr=20 g^2 (i_5^3+i_5^2-2)$

$drlrlr=20 g^2 (2 i_5^3+3 i_5^2+3 i_5+2)$

$dlrlrr=20 g^2 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$dlrrrr=20 g^2 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drlrrr=20 g^2 i_5 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drrrrl=20 g^2 (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

Продолжение следует.

-- Ср ноя 27, 2013 19:00:13 --

Заменим четвёртый столбец.
Не будем делать это вручную, а сделаем следующие замены: ', g^4-g^4*i5^4' на ', 0', ', g^4+g^4*i5^4' на ', -2', ', g^4-g^4*i5^8' на ', 0', ', g^4+g^4*i5^8' на ', -2', ', g^4-g^4*i5^12' на ', 0', ', g^4+g^4*i5^12' на ', -2', ', g^4-g^4*i5^16' на ', 0', ', g^4+g^4*i5^16' на ', -2':

load_package polydiv;

mlllll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
dlllll:=((det mlllll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrll:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
dllrll:=((det mllrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlllrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
dlllrl:=((det mlllrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
drrlll:=((det mrrlll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlllr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
drlllr:=((det mrlllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrllr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
dlrllr:=((det mlrllr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mllrrl:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
dllrrl:=((det mllrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrll:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
drrrll:=((det mrrrll) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrlrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
drrlrl:=((det mrrlrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrlr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
dlrrlr:=((det mlrrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrllrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
drllrr:=((det mrllrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrlr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g-g*i5^4, g^2-g^2*i5^8, g^3-g^3*i5^12, 0));
drlrlr:=((det mrlrlr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrlrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g-g*i5^3, g^2-g^2*i5^6, g^3-g^3*i5^9, 0),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
dlrlrr:=((det mlrlrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mlrrrr:=mat((g-g*i5, g^2-g^2*i5^2, g^3-g^3*i5^3, 0),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
dlrrrr:=((det mlrrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrlrrr:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g-g*i5^2, g^2-g^2*i5^4, g^3-g^3*i5^6, 0),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
drlrrr:=((det mrlrrr) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

mrrrrl:=mat((g+g*i5, g^2+g^2*i5^2, g^3+g^3*i5^3, -2),(g+g*i5^2, g^2+g^2*i5^4, g^3+g^3*i5^6, -2),(g+g*i5^3, g^2+g^2*i5^6, g^3+g^3*i5^9, -2),(g+g*i5^4, g^2+g^2*i5^8, g^3+g^3*i5^12, -2));
drrrrl:=((det mrrrrl) mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

dlllll;
dllrll;
dlllrl;
drrlll;
drlllr;
dlrllr;
dllrrl;
drrrll;
drrlrl;
dlrrlr;
drllrr;
drlrlr;
dlrlrr;
dlrrrr;
drlrrr;
drrrrl;

Получим:

$dlllll=0$

$dllrll=20 g (i_5^3+2 i_5+2)$

$dlllrl=20 g (-i_5^3+i_5^2+i_5-1)$

$drrlll=20 g (2 i_5^3+3 i_5^2+3 i_5+2)$

$drlllr=20 g (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dlrllr=20 g i_5 (-2 i_5^2-i_5-2)$

$dllrrl=20 g (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drrrll=20 g i_5 (-i_5^2-3 i_5-1)$

$drrlrl=20 g (-3 i_5^3-2 i_5^2-2 i_5-3)$

$dlrrlr=20 g (i_5^3+i_5^2-2)$

$drllrr=20 g (i_5^3+i_5^2+3)$

$drlrlr=20 g i_5 (-i_5^2+2 i_5-1)$

$dlrlrr=20 g (3 i_5^3+i_5+1)$

$dlrrrr=20 g (-2 i_5^3+i_5+1)$

$drlrrr=20 g (-i_5^2+2 i_5-1)$

$drrrrl=20 g (2 i_5^3+2 i_5^2+1)$

[Феликс Шмидель]

Мы получили для каждой из систем сравнений, числа $r_1, r_2, r_3, r_4$, такие что

(40) $a_1 \equiv r_1 g^4 a_0$, $a_2 \equiv r_2 g^3 a_0$, $a_3 \equiv r_3 g^2 a_0$, $a_4 \equiv r_4 g a_0$ по модулю простого идеала $\rho$.

Причём, любой простой идеал $\rho$ поля $\mathbb{Q}[\sqrt[5]{2}, i_5]$, который является делителем числа $y z$, относится к некоторой системе сравнений.
У нас имеется 3 нулевые квадратичные формы с коэффициентами $a_0$, ..., $a_4$, и одна форма, равная $-y z$ (эти формы получаются в результате возведения $a_0+a_1 g+...+a_4 g^4$ в квадрат).

Подставим сравнения (40) в эти квадратичные формы.
Если мы получим ненулевые значения, то беря норму, мы определим на какие простые числа $p$ делится эта норма, и только эти простые числа $p$ могут делится на $\rho$.

Займёмся этим.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Но перед тем как подставлять полученные значения для $a_0$, ..., $a_4$, давайте проверим их.
Для этого запишем эти значения в виде кода:

a0:=100*(2*i5^3+2*i5^2+1);
a1:=0;
a2:=0;
a3:=0;
a4:=0;

a0:=60*(-2*i5^3-2*i5^2-1);
a1:=20*i5*(-2*i5^2-i5-2);
a2:=20*(-i5^3+i5^2+i5-1);
a3:=20*(-2*i5^2-i5-2);
a4:=20*(i5^3+2*i5+2);

a0:=60*(-2*i5^3-2*i5^2-1);
a1:=20*(-2*i5^2-i5-2);
a2:=20*i5*(-2*i5^2-i5-2);
a3:=20*(i5^3+2*i5+2);
a4:=20*(-i5^3+i5^2+i5-1);

a0:=20*(2*i5^3+2*i5^2+1); 
a1:=20*(-i5^2-3*i5-1);
a2:=20*i5*(-i5^2+2*i5-1);
a3:=20*(3*i5^3+i5+1);
a4:=20*(2*i5^3+3*i5^2+3*i5+2);

Мы записали решения 4-ёх систем сравнений, остальные 12 в следующий раз.
Заметим, что число $g$ входит в $a_1$, ..., $a_4$ в таких степенях, что его наличие не играет роли при проверке, поэтому мы его опустили.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

У меня пропало желание проверять полученные решения систем сравнений, потому что я понял, что эти системы можно просто решить не вычисляя детерминантов.

Мы предпочитаем говорить о системах уравнений, а не сравнений, чтобы пользоваться знаком равенства. Это удобно и ничего не меняет (если $p$ не равно $2$ и $5$).

Пусть

$v_0=a_0+a_1 g+...+a_4 g^4$
$v_1=a_0+a_1 g i_5+...+a_4 g^4 i_5^4$
$v_2=a_0+a_1 g i_5^2+...+a_4 g^4 i_5^8$
$v_3=a_0+a_1 g i_5^3+...+a_4 g^4 i_5^12$
$v_4=a_0+a_1 g i_5^4+...+a_4 g^4 i_5^16$

Тогда

$5 a_0=v_0+v_1+v_2+v_3+v_4$
$5 a_1 g=v_0+v_1/i_5+v_2/i_5^2+v_3/i_5^3+v_4/i_5^4$
$5 a_2 g^2=v_0+v_1/i_5^2+v_2/i_5^4+v_3/i_5^6+v_4/i_5^8$
$5 a_3 g^3=v_0+v_1/i_5^3+v_2/i_5^6+v_3/i_5^9+v_4/i_5^12$
$5 a_4 g^4=v_0+v_1/i_5^4+v_2/i_5^8+v_3/i_5^12+v_4/i_5^16$

Если $v_1=v_0$, $v_2=v_0$, $v_3=v_0$, $v_4=v_0$, то мы получим решение первой системы: $a_0=v_0$, $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=0$, $a_4=0$.

Если $v_1=v_0$, $v_2=v_0$, $v_3=-v_0$, $v_4=v_0$, то мы получим решение второй системы:
$a_0=\frac{3}{5} v_0$,
$a_1=\frac{1+i_5^4+i_5^3-i_5^2+i_5}{5 g} v_0=\frac{-i_5^2 g^4}{5} v_0$,
$a_2=\frac{1+i_5^3+i_5-i_5^4+i_5^2}{5 g^2} v_0=\frac{-i_5^4 g^3}{5} v_0$,
$a_3=\frac{1+i_5^2+i_5^4-i_5+i_5^3}{5 g^2} v_0=\frac{-i_5 g^2}{5} v_0$,
$a_4=\frac{1+i_5+i_5^2-i_5^3+i_5^4}{5 g^2} v_0=\frac{-i_5^3 g}{5} v_0$.

Не сразу видно, что это решение совпадает с найденным ранее, но я проверил!

Можно сделать это и для остальных 14 систем, и проверка будет не хуже компьютерной.
Можно и не проверять, но проверять надо!

Для чего же нагромождение кода и детерминантов в этой теме, если можно обойтись без них?
Я думаю, что лучше вычислять, чем ничего не делать и ждать, пока идеи появятся ниоткуда.

[Феликс Шмидель]

Я займусь языком программирования в REDUCE, чтобы компьютер сам генерировал найденные решения и подставлял их в нулевые квадратичные формы.
Думаю, все системы сравнений, кроме последней, которой удовлетворяет решение (21) отсеются сразу после подстановки их решений в нулевые формы.
Если нет, то у нас есть ещё "тяжёлая артиллерия" из начала темы, которая наверняка отсеит эти системы.
Займёмся этим после освоения языка программирования REDUCE.

[Феликс Шмидель]

Я нашёл способ записать решение всех 16 систем сравнений сразу.

Цитата:

Пусть

$v_0=a_0+a_1 g+...+a_4 g^4$
$v_1=a_0+a_1 g i_5+...+a_4 g^4 i_5^4$
$v_2=a_0+a_1 g i_5^2+...+a_4 g^4 i_5^8$
$v_3=a_0+a_1 g i_5^3+...+a_4 g^4 i_5^12$
$v_4=a_0+a_1 g i_5^4+...+a_4 g^4 i_5^16$

Тогда

$5 a_0=v_0+v_1+v_2+v_3+v_4$
$5 a_1 g=v_0+v_1/i_5+v_2/i_5^2+v_3/i_5^3+v_4/i_5^4$
$5 a_2 g^2=v_0+v_1/i_5^2+v_2/i_5^4+v_3/i_5^6+v_4/i_5^8$
$5 a_3 g^3=v_0+v_1/i_5^3+v_2/i_5^6+v_3/i_5^9+v_4/i_5^12$
$5 a_4 g^4=v_0+v_1/i_5^4+v_2/i_5^8+v_3/i_5^12+v_4/i_5^16$

Введём параметры $s_1, s_2, s_3, s_4$, каждый из которых равен $0$ или $1$ в зависимости от того $v_j \equiv v_0$ или $v_j \equiv -v_0$, для $j=1, 2, 3, 4$.

Пусть

$k_0=5-2(s_1+s_2+s_3+s_4)$
$k_1=-s_1 i_5^{5-1}-s_2 i_5^{5-2}-s_3 i_5^{5-3}-s_4 i_5^{5-4}$
$k_2=-s_1 i_5^{5-2}-s_2 i_5^{5-4}-s_3 i_5^{10-6}-s_4 i_5^{10-8}$
$k_3=-s_1 i_5^{5-3}-s_2 i_5^{10-6}-s_3 i_5^{10-9}-s_4 i_5^{15-12}$
$k_4=-s_1 i_5^{5-4}-s_2 i_5^{10-8}-s_3 i_5^{15-12}-s_4 i_5^{20-16}$


Тогда

$a_0 \equiv \frac{k_0}{5} v_0$
$a_1 \equiv \frac{k_1}{5} g^4 v_0$
$a_2 \equiv \frac{k_2}{5} g^3 v_0$
$a_3 \equiv \frac{k_3}{5} g^2 v_0$
$a_4 \equiv \frac{k_4}{5} g v_0$

(по модулю простого идеала $\rho$).

Найдём коэффициенты при $g, g^2, g^3, g^4$ в $(a_0+a_1 g+...+a_4 g^4)^2$:

$f_1=2 a_0 a_1+4 a_2 a_4+2 a_3^2$
$f_2=2 a_0 a_2 +a_1^2+4 a_3 a_4$
$f_3=2 a_0 a_3+2 a_1 a_2+2 a_4^2$
$f_4=2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2$

Значит:

$f_1 \equiv (2 k_0 k_1+4 k_2 k_4+2 k_3^2) \frac{v_0^2}{5^2} g^4$
$f_2 \equiv (2 k_0 k_2 +2 k_1^2+4 k_3 k_4) \frac{v_0^2}{5^2} g^3$
$f_3 \equiv (2 k_0 k_3+4 k_1 k_2+2 k_4^2) \frac{v_0^2}{5^2} g^2$
$f_4 \equiv (2 k_0 k_4+4 k_1 k_3+2 k_2^2) \frac{v_0^2}{5^2} g$

(по модулю простого идеала $\rho$).

Множители $\frac{v_0^2}{5^2} g^4$ и т.д., вынесенные за скобки не играют роли, поэтому напишем следующий код:

load_package polydiv;

k0:=5-2*(s1+s2+s3+s4);
k1:=-s1*i5^(5-1)-s2*i5^(5-2)-s3*i5^(5-3)-s4*i5^(5-4);
k2:=-s1*i5^(5-2)-s2*i5^(5-4)-s3*i5^(10-6)-s4*i5^(10-8);
k3:=-s1*i5^(5-3)-s2*i5^(10-6)-s3*i5^(10-9)-s4*i5^(15-12);
k4:=-s1*i5^(5-4)-s2*i5^(10-8)-s3*i5^(15-12)-s4*i5^(20-16);

f1:=(2*k0*k1+4*k2*k4+2*k3^2) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
f2:=(2*k0*k2 +2*k1^2+4*k3*k4) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
f3:=(2*k0*k3+4*k1*k2+2*k4^2) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
f4:=(2*k0*k4+4*k1*k3+2*k2^2) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

Пусть вычисляет!

Продолжение следует.

-- Чт ноя 28, 2013 16:44:44 --

Он вычислил: все формы $f_1, f_2, f_3, f_4$ равны нулю для всех 16 наборов параметров {$s_1, ..., s_4$}.
Таким образом, подстановка в нулевые квадратичные формы нам ничего не дала.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Мои надежды, что удастся отсеять какие-либо из 16 систем сравнений оказались тщётными: вычисления показали, что если $\gamma(g)$ делится на $\rho$, то коэффициенты числа $\gamma_1(g)$ делятся на $\rho$ для всех 15 систем сравнений (16-я эквивалентна сравнениям (21)).