Потрясали в разное время различные понимания и открытия.
Например, помню, как в универе пристал к преподше с вопросом "а вы уверены, что сумму квадратов невозможно разложить на действительные множители?" (по аналогии с разностью квадратов). Она уверяла, что совершенно никак это невозможно, а потом ушла в себя и больше не отвечала.
А между тем ответ, которым я её так и не огорошил, был заготовлен следующий:
Доказательства теорем матанализа давались с трудом. Прорывом стало доказательство, которое было первым
понято, и я его помню до сих пор: это теорема о зажатой последовательности.
Впечатляли возможности уравнений матфизики.
Впечатлила естественность и краткость записи векторного произведения на языке тензоров. До того оно казалось искусственной громоздкой выдумкой.
Затем, метод Монте-Карло открыл совершенно новые возможности в области моделирования практически чего угодно.
Было несколько открытий, которые затем я опубликовал здесь и узнал, что некоторые из них уже известны, как довольно специфические частные случаи. Например, "мультипликативное дифференцирование".
Производящая функция для решения рекуррентных последовательностей - тоже оказалась чудом из чудес.
Оказалось, что некоторые направления исследованы очень мало. Например, вложенные функции и методы решения нелинейных рекуррентных последовательностей. На эту тему у меня здесь также есть две темы.