Методика преподавания полярной системы координат

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #712285 писал(а):

Предлагаю изменить термин "полярный радиус" на термин "полярный радиус-вектор".

Радиус вектор уже занят. И он, в некотором смысле, всегда полярный — когда надо рисовать свободные векторы (а что толку в других?), их рисуют из нуля.

[Shtorm]

Someone в сообщении #3819 писал(а):

А потом мы ко всему этому привыкаем, и начинаем молча использовать все эти обобщения полярных координат. А читатель пусть сам догадываемся, считаем ли мы радиальную координату $r$ неотрицательной. Вдобавок, мы можем в одном месте считать так, а в другом - совсем иначе, и ничего об этом не говорить. Читатель умный, он сам поймёт.

И как видите, здесь, уважаемый Someone говорит "мы" - то есть профессиональные математики. Но ничего не говорит о студентах. А у студентов - разное среднее образование, разный уровень понимания. И студенты (подтверждено многократно) любят ясное и однозначное изложение материала. Если идут какие-то многозначности, то усвоение материала падает почти до нуля.

[arseniiv]

Ясное изложение: отображение $(r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi,r\sin\varphi)$ не имеет обратного. Поэтому выбирается такое его ограничение, которое, не переставляя быть сюръективным, обратное имеет, потому что кому-то хочется, чтобы у точки были лишь одни координаты. В разное время можно выбирать разные ограничения.

Что не так? Никто не поймёт? А лучше-то не скажешь всё равно.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #712832 писал(а):

У самих профессиональных математиков - проблем не возникнет ни в коем случае, это всем понятно и никто с этим не спорит.

Вот тут, наверное, и корень.

Вы каких математиков готовите? Профессиональных? Каких-то других? Так готовьте их так, чтобы у них в этом вопросе не возникло проблем. Не так, чтобы они у розы четыре лепестка нарисовали. Не так, чтобы два нарисовали, А так, чтобы у них не возникло этих надуманных проблем.

Вы же, предлагая свои определения, вторгаетесь именно в сферу прфессиональной математики, где, как Вы признали (так можно проинтерпретировать цитату), всё это на хрен не нужно.

Напишите честно, --- мы готовим роботов, формально осваивающих стандартные разделы математики, тупо, по методичкам, лучшие из роботов будут потом такими же преподавателями и писателями тупых методичек, и...
Основной вопрос темы: И как нам получше написать простенькую методичку про полярную систему координат?
И не надо этих Ваших высокопарностей типа "Методика, блин, преподавания полярной системы координат".
"Преподавание ... системы координат" --- Вы хоть прислушайтесь к этому выражению.

-- 19 апр 2013, 20:30:37 --

Shtorm в сообщении #712841 писал(а):

И студенты (подтверждено многократно) любят ясное и однозначное изложение материала. Если идут какие-то многозначности, то усвоение материала падает почти до нуля.

Чушь. Ваш личный опыт, а то и просто мнение, и всё умножено на Ваш жуткий непрофессионализм, очевидный даже мне.
Никакого доверия Ваши такого рода сентенции не вызывают.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #712849 писал(а):

Вы каких математиков готовите? Профессиональных? Каких-то других?

Нет, я не готовлю ни математиков, ни физиков, преподаю для других специальностей и направлений.

-- Пт апр 19, 2013 19:53:20 --

Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Вы же, предлагая свои определения, вторгаетесь именно в сферу прфессиональной математики, где, как Вы признали (так можно проинтерпретировать цитату), всё это на хрен не нужно.

Потому, что эта "неоднозначность" вторгается в то, как именно излагать материал студентам. И вторгается в то, что в разных книжках написано по-разному, и вторгается в то, что один преподаватель говорит так, а другой по-другому. И один преподаватель считает ошибкой то, что другой преподаватель назвал правильным. Это нормально по-Вашему?
Вот Вы предложили выше преподавать так, чтобы у студентов не было этих надуманных проблем. Я сейчас преподаю так:
Сначала рассказываю в целом о системе полярных координат - тут я говорю, что $r$ - расстояние от полюса до точки, даю формулу $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Показываю примеры, как зная декартовы координаты найти полярные. Все студенты видят, что тут $r$ положительный. Далее я говорю, теперь перейдём к рассмотрению кривых в полярной системе координат. Для построения кривых в полярной системе координат используется обобщённая система полярных координат. Она отличается от обычной тем, что $r$ может быть любого знака. Далее рассказываю как строить кривую по точкам, используя полярные координаты и говорю, что если при подставке угла получился отрицательный $r$ то расстояние от полюса откладываем в обратную сторону.
Ну как? зацените преподавание. Покритикуйте.

-- Пт апр 19, 2013 19:58:47 --

Алексей К. в сообщении #712849 писал(а):

Напишите честно, --- мы готовим роботов, формально осваивающих стандартные разделы математики, тупо, по методичкам, лучшие из роботов будут потом такими же преподавателями и писателями тупых методичек, и...

Скажу так, что с нас требуют, чтобы наши студенты тупо владели стандартными приёмами высшей математики, чтобы потом они могли тупо воспроизвести это всё на тестировании. А на тестировании, как известно особо думать некогда - на каждое задание максимум две с половиной минуты.

-- Пт апр 19, 2013 20:03:28 --

Алексей К. в сообщении #712849 писал(а):

Никакого доверия Ваши такого рода сентенции не вызывают.

Не хотите - не верьте. Можете поспрашивать студентов. Это не только мой личный опыт. Я выслушивал мнение разных студентов и выпускников из разных вузов.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712832 писал(а):

Представьте себе ситуацию: преподаватель излагает на лекции полярную систему координат, рассказывает как строить кривую в полярной системе координат:"...А вот если, вы подставили угол и у вас вышел отрицательный $r$, то следует параметризовать кривую и далее уже подставлять параметр $t$"...

На-хре-на? Достаточно сказать, что по той же прямой, которую вы уже отложили, можно сместиться в отрицательную сторону.

[Shtorm]

Munin в сообщении #712876 писал(а):

На-хре-на? Достаточно сказать, что по той же прямой, которую вы уже отложили, можно сместиться в отрицательную сторону.

Отлично, я так и делаю.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Нет, я не готовлю ни математиков, ни физиков, преподаю для других специальностей и направлений.

Вопрос в том, зачем им полярные координаты. Одно дело строить диаграммы направленности и розы ветров, и другое - смотреть на картинки на осциллографе.

Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Я сейчас преподаю так:
Сначала рассказываю в целом о системе полярных координат - тут я говорю, что $r$ - расстояние от полюса до точки, даю формулу $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Показываю примеры, как зная декартовы координаты найти полярные. Все студенты видят, что тут $r$ положительный. Далее я говорю, теперь перейдём к рассмотрению кривых в полярной системе координат. Для построения кривых в полярной системе координат используется обобщённая система полярных координат. Она отличается от обычной тем, что $r$ может быть любого знака. Далее рассказываю как строить кривую по точкам, используя полярные координаты и говорю, что если при подставке угла получился отрицательный $r$ то расстояние от полюса откладываем в обратную сторону.
Ну как? зацените преподавание. Покритикуйте.

Критикую:

Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Все студенты видят, что тут $r$ положительный.


Неотрицательный.


Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Далее я говорю, теперь перейдём к рассмотрению кривых в полярной системе координат. Для построения кривых в полярной системе координат используется обобщённая система полярных координат.


Это очень плохо. Вы смешали три разные задачи:
1. Перейти от кривой к формуле, её описывающей.
2. Перейти от формулы к кривой.
3. Перейти от кривой к другой кривой после полярного преобразования координат и обратного к нему.
Неудивительно, что вы сами путаетесь, и студенты вслед за вами.


Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Она отличается от обычной тем, что $r$ может быть любого знака.


Про большие углы забыли.

Shtorm в сообщении #712852 писал(а):

Скажу так, что с нас требуют, чтобы наши студенты тупо владели стандартными приёмами высшей математики, чтобы потом они могли тупо воспроизвести это всё на тестировании. А на тестировании, как известно особо думать некогда - на каждое задание максимум две с половиной минуты.

Тогда ваша проблема не методическая, а организационная: вам просто нужно наладить контакт с теми, кто даёт и проверяет тесты, чтобы узнать, что именно они требуют от студентов. И нечего сопли разводить и жаловаться, это вы должны были сделать давным-давно.

[Shtorm]

Munin в сообщении #712884 писал(а):

Вопрос в том, зачем им полярные координаты. Одно дело строить диаграммы направленности и розы ветров, и другое - смотреть на картинки на осциллографе.

Да, вопрос, как говорится, не в бровь, а в глаз. И этот вопрос в целом и общем упирается в общие вопросы системы российского образования. А так получается: есть в учебной рабочей программе - значит нужно преподавать. Возьмём например менеджеров, у которых я веду в основном. Зачем им полярная система координат? А кривую в полярной системе координат возьми, построй и сдай на проверку преподавателю.

-- Пт апр 19, 2013 20:47:46 --

Munin в сообщении #712884 писал(а):

Неудивительно, что вы сами путаетесь, и студенты вслед за вами.

При таком изложении материала мои студенты не путаются. Путаются они тогда, когда сдают одному преподавателю, а совет как делать - спрашивают у другого преподавателя. А мнения этих преподавателей не совпадают. К счастью, я на кафедре поднял в весьма решительной форме этот же вопрос - в результате переубедил многих, касательно использования отрицательных $r$. Хотя вопросы и споры ещё остались. Но теперь, на нашей кафедре никто из преподавателей не будет бездумно вычёркивать лепестки - как это делалось раньше. Но можно ли такое сказать в целом и общем по всем кафедрам РФ??

-- Пт апр 19, 2013 20:56:12 --

Munin в сообщении #712884 писал(а):

Про большие углы забыли.

А что там с большими углами?

[Munin]

Shtorm в сообщении #712889 писал(а):

Да, вопрос, как говорится, не в бровь, а в глаз. И этот вопрос в целом и общем упирается в общие вопросы системы российского образования.

Да нет, это не глобальный вопрос, это к вам конкретно. Вы кого готовите? Для чего вашим студентам уметь рисовать "розочки"? Они их будут потом на осциллографе видеть? Или они пойдут в цветочный магазин флористами?

Shtorm в сообщении #712889 писал(а):

Но теперь, на нашей кафедре никто из преподавателей не будет бездумно вычёркивать лепестки - как это делалось раньше. Но можно ли такое сказать в целом и общем по всем кафедрам РФ??

Для всех кафедр РФ вопрос о лепестках какой-то мелкий :-)

Shtorm в сообщении #712889 писал(а):

А что там с большими углами?

А то же самое. В полярной системе координат угол $\varphi\in[0,2\pi)$ или $(-\pi,\pi].$ А розочки, бывает, требуют б'ольших углов (спирали - точно требуют).

[Shtorm]

Munin в сообщении #712946 писал(а):

Да нет, это не глобальный вопрос, это к вам конкретно. Вы кого готовите? Для чего вашим студентам уметь рисовать "розочки"? Они их будут потом на осциллографе видеть? Или они пойдут в цветочный магазин флористами?

Как уже писал выше - готовлю в основном менеджеров, есть такое направление подготовки у современных бакалавров. Лично я не вижу, где бы они применяли полярную систему координат, если пойдут работать по специальности. А если не по специальности - то вероятность использования полярной системы координат весьма мала. Но поднимая эту тему, я думал не только конкретно о моих студентах, а обо всех российских студентах. (Не знаю как на западе, может кто просветит по данному вопросу?)

-- Пт апр 19, 2013 22:33:26 --

Munin в сообщении #712953 писал(а):

Для всех кафедр РФ вопрос о лепестках какой-то мелкий

Но если мы возьмём не только розочки, а и улитки Паскаля, Декартов лист, конхоиду, строфоиду и т.д. и т.п. да и вообще общий принцип построения - то на мой взгляд не мелкий (именно в плане преподавания среднестатистическим студентам)

[Shtorm]

Munin в сообщении #712946 писал(а):

В полярной системе координат угол $\varphi\in[0,2\pi)$ или $(-\pi,\pi].$ А розочки, бывает, требуют б'ольших углов (спирали - точно требуют)

Ага. Я как-то никогда особо об этом не говорил своим студентам. Вот теперь буду. Munin, спасибо.

[Munin]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #712953 писал(а):

Но поднимая эту тему, я думал не только конкретно о моих студентах, а обо всех российских студентах.

Судя по откликам на тему, для тех студентов, у которых это более актуальные вопросы (например, они будут потом строить диаграммы направленности или смотреть в осциллограф), проблем с преподаванием таких вещей нет.

[Shtorm]

Уважаемые участники форума! Прошу Вас подсказать мне в каких вузовских или втузовских учебниках упоминается отрицательный полярный радиус. (Справочники не нужно - справочники мы знаем, во многих упоминается).

[GAA]

Shtorm в сообщении #711799 писал(а):

Так дело в том, что некоторые преподаватели десятилетиями верили в то, что $r$ может быть только положительным и с гневом забраковывали график функции

$$r=\sin(2\varphi)$$

которые приносили студенты в контрольных работах с нарисованными 4-мя лепестками.

Я отношусь к тем, кто считает, что по умолчанию [т.е. если специально не оговорено] полярный радиус неотрицательный. [Слабым студентам, особенно технических вузов, это сильно облегчает жизнь.] И я считаю, что если специально не оговорено, то кривая $r=\sin 2\varphi$ имеет два лепестка (свои соображения высказал в оригинальной теме).

Shtorm в сообщении #711856 писал(а):

Однако как, не используя отрицательный $r$ правильно построить, например фигуру:

$$r=1-2\cos(\varphi)$$

Внутренняя петля никак не получится.

Видимо разговор идет об улитке Паскаля, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид $(x^2+y^2-ax)^2=l^2(x^2+y^2)$. Подставляя в уравнение $x=r\cos \varphi$, $y = r\sin \varphi$, получим $r_{1,2}=a\cos\varphi \pm l$, в частности, при $a=2$ и $l=1$ получим

$r_{1,2} = 2\cos\varphi \pm 1.$

$r_2 = 2\cos\varphi - 1$, $-\pi/3 < \varphi < \pi/3$ и задает «внутреннюю петлю».

Shtorm в сообщении #713037 писал(а):

Прошу Вас подсказать мне в каких вузовских или втузовских учебниках упоминается отрицательный полярный радиус.

Присоединяюсь к просьбе, ибо никогда не видел ни в одном уважаемом учебнике и не могу представить, что такие банальные вещи в нем могут обсуждаться. Такие вещи просто используются, как и писал Someone, по мере необходимости в частных примерах.

Поднятый в этой теме вопрос чрезвычайно прост. На форуме уже существовала ветка с этой темой. Участнику Shtorm настоятельно рекомендуется более тщательно относится к текстам своих сообщений и не захламлять форум. В противном случае его многочисленные сообщения будут квалифицированы минимум как флуд, и последуют соответствующие модераторские санкции (А договариваться надо со своими ближайшими коллегами, которые должны более тщательно оговаривать в методических указаниях и электронных конспектах принятые в курсе договоренности.)

Возможно эта ветка со временем будет закрыта или перемещена в Чулан/Пургаторий (М).