Методика преподавания полярной системы координат

[Shtorm]

Многие, наверное, сталкивались с неоднозначной трактовкой полярного радиуса: должен ли он быть только положительным, или он может быть и отрицательным. Данный вопрос уже затрагивался на нашем форуме. Например тут:
topic756.html?hilit=полярных&start=15
На других форумах, я знаю, тоже периодически всплывает такой вопрос. Как написали большинство участников по вышеприведённой ссылке - всё зависит от договора: то есть как договорятся те преподаватели или те математики, которые решают какой-либо вопрос, связанный с этим.
Но как быть в плане правильной методологии преподавания данного момента студентам? Преподаватель, например, говорит на лекции, пусть $r$ или $\rho$ может принимать любые действительные значения. А студент приходит домой, открывает книжку и читает: полярный радиус - только положительный.
Так дело в том, что некоторые преподаватели десятилетиями верили в то, что $r$ может быть только положительным и с гневом забраковывали график функции

$$r=\sin(2\varphi)$$

которые приносили студенты в контрольных работах с нарисованными 4-мя лепестками.
В некоторых книжках, сначала говорится, что $r$ - положителен. А через страницу пишется, что $r$ может быть отрицателен. В некоторых источниках используют термин "обобщённая полярная система координат" в которой $r$ может быть любого знака в отличие от обычной полярной системы координат.
Ваше мнение - как же правильно преподавать это всё студентам? А студентам имеющим слабую школьную базу?

[_Ivana]

Имхо стороннего наблюдателя, ни разу не преподавателя - как 2 разные системы координат. Ведь, если r может быть отрицателен, тогда угол лежит только в половине полного кругового диапазона (выбирайте любой участок), иначе одна и та же точка будет задаваться неоднозначно. Это, конечно, не трагедия, но лучше для уважающей себя системы координат обеспечивать однозначность задания любой точки.

[Shtorm]

Ну, вообще в учебниках пишут, что одной и той же точке в полярной системе координат соответствует множество значений углов.
_Ivana, аргументы сторонников "только положительного $r$" тверды как бетонный фундамент. Однако как, не используя отрицательный $r$ правильно построить, например фигуру:

$$r=1-2\cos(\varphi)$$

Внутренняя петля никак не получится.

[mihailm]

Отрицательный радиус это что-то типа фокуса. Про него рассказывают отдельно более менее сильным студентам, которые подходят после занятий к преподу и показывают какой-нить пример, где это в принципе имеет смысл. Тут можно сказать так, давайте по приколу примем, что радиус может быть отрицательным, посмотрите как интересно получается) Остальным знать про это совсем необязательно.

[Shtorm]

mihailm, а Вам не кажется, что такой подход методологически несколько ущербен? В том плане, что ущемляет в правах на получение объективного знания остальных студентов?
А потом, вот есть например заочники, дали им контрольную работу. В следующую сессию они должны сдать эту контрольную работу. То есть предполагается, что они дома сидят и сами осваивают эти задачки, а потом сдают готовую контр. работу. Вот им тогда как быть?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #711856 писал(а):

Однако как, не используя отрицательный $r$ правильно построить, например фигуру:

Да запросто. У Вас параметрически заданная кривая,

$$\begin{cases}x(t)=r(t)\cos t,\\y(t)=r(t)\sin t.\end{cases}$$

Не называйте при этом $r(t)$ "полярным уравнением", и всё.

Задачи ставьте корректно. Хотя, понятно, они в куче книжек "некорректно" поставлены. Честные Преподы, на мой взгляд, должны сами учитывать повсеместное существование этой двусмысленности. А появится чувачок, который об этом задумается и поанализирует, --- поставьте ему оценочку повыше. Бесплатно, естессно.

[Shtorm]

Алексей К., но получается, что мы берём тогда наше уравнение в полярных координатах (одно) и параметризуем (получаем два уравнения). То есть у нас $x(t)$ - одно уравнение, $y(t)$ - второе уравнение. И для построения мы уже используем декартову систему координат, а не полярную. Хотя мы их можем конечно наложить друг на друга. Далее, составляем таблицу зависимости $y$ от $x$. Для этого берём конкретное $t$, подставляем в оба уравнения и вписываем значения в таблицу. Так Вы предлагаете?
Изначально же у нас было задание: дано уравнение в полярных координатах, построить кривую, им заданную. Обычно преподаватели говорят студентам: вот строим таблицу значений: задаём угол, получаем полярный радиус. Затем наносим точки на полярную систему, соединяем точки, получаем график.
Так не проще ли, чем параметризовывать полярное уравнение, сразу его строить так по точкам, при этом соблюдая правило "отрицательного полярного радиуса"??

-- Ср апр 17, 2013 23:49:19 --

Алексей К. в сообщении #711868 писал(а):

Бесплатно, естессно.

Ну это само собой, самой собой, умных надо поощрять. А мздоимством - грех заниматься.

-- Ср апр 17, 2013 23:56:07 --

Алексей К. в сообщении #711868 писал(а):

Задачи ставьте корректно. Хотя, понятно, они в куче книжек "некорректно" поставлены

Вот это интересный момент. Можете привести какой-нибудь пример "некорректно" поставленной задачи?

[DimaM]

С физической точки зрения отрицательный радиус смысла не имеет. Опять же, элемент площади $rdrd\varphi$ при отрицательном радиусе какой-то нехороший получается.

[mihailm]

Shtorm в сообщении #711865 писал(а):

mihailm, а Вам не кажется, что такой подход методологически несколько ущербен? В том плане, что ущемляет в правах на получение объективного знания остальных студентов?
...

Тут права и нормальные (работающие) методики вступают в конфликт, надо выбирать)

[Shtorm]

DimaM в сообщении #711936 писал(а):

С физической точки зрения отрицательный радиус смысла не имеет. ..

Да, радиус отрицательный смысла не имеет для "реальных", а не мнимых кривых (типа мнимая окружность). Но и противоречие это в полярной системе - тоже нехорошо. Предлагаю изменить термин "полярный радиус" на термин "полярный радиус-вектор". А как известно, знак минус перед вектором означает, что вектор направлен в противоположную сторону - это полностью согласуется с данной ситуацией.

-- Чт апр 18, 2013 18:17:16 --

DimaM в сообщении #711936 писал(а):

...элемент площади $rdrd\varphi$ при отрицательном радиусе какой-то нехороший получается.

Для выхода из этого казуса, просто-напросто условиться брать $rdrd\varphi$ по модулю - и никаких проблем. Берём же мы по модулю векторное произведение векторов для нахождения площади параллелограмма, берём же мы по модулю смешанное произведение векторов при нахождении объёма параллелепипеда.

-- Чт апр 18, 2013 18:19:41 --

mihailm в сообщении #711946 писал(а):

Тут права и нормальные (работающие) методики вступают в конфликт, надо выбирать)

Это всё борьба (взаимодействие) со следствием, а мне представляется правильным "бороться" с причиной в данном вопросе.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #712285 писал(а):

Да, радиус отрицательный смысла не имеет для "реальных", а не мнимых кривых (типа мнимая окружность).

Не познакомите ли меня с мнимой окружностью, для которой $R=-5$, как я понял из процитированного, смысл имеет. Понимаю, что здесь не бюро знакомств, но буду признателен.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #712387 писал(а):

как я понял из процитированного, смысл имеет

Не, мнимая, она и есть мнимая. Это я так, для красного словца прибавил. А что там в ней в мнимой происходит.....А то ещё путаница выйдет с окружностью на комплексной плоскости. В общем зря я там упомянул мнимую окружность - только от темы отвлёк.

[Munin]

Да, если $R=-5,$ то окружность действительная :-) $x^2+y^2=R^2>0.$

[Aritaborian]

Странно. О полярной системе координат я впервые узнал самостоятельно в школьные годы из какого-то не-школьного учебника геометрии. Всё понял, восхитился, и отрицательный полярный радиус не вызвал тогда у меня ни малейшего отторжения. Всё с самого начала было прозрачно. А то, что слово «радиус» используется здесь немножко не в том смысле, что в выражении «радиус окружности», так это не беда. ИМХО, вы тут развели невразумительную дискуссию на пустом месте.

[Munin]

DimaM в сообщении #711936 писал(а):

Опять же, элемент площади $rdrd\varphi$ при отрицательном радиусе какой-то нехороший получается.

Всё нормально, если вспомнить, что площадь - величина со знаком, зависящая от ориентации.

Кстати, чего все ополчились на отрицательный радиус, а о том, что в полярной системе координат начало координат соответствует разным парам значений $(r,\varphi),$ никто не вспоминает?