Кривая в полярных координатах

[Someone]

Dan_Te писал(а):

Похоже, это вопрос договоренности, как с нулем (который можно считать натуральным числом). У нас всегда на семинарах была договоренность, что радиус неотрицательный, и здесь бы я написал модуль.

Так оно и есть.
Сначала мы определяем $(\varphi,r)$ так, что $r\geqslant 0$, $0\leqslant\varphi<2\pi$. Потом сталкиваемся с ситуацией, когда промежуток $[0,2\pi)$ нас не устраивает, а нужна вся числовая прямая (например, мы изучаем логарифмическую спираль $r=ae^{k\varphi}$. Потом мы берёмся за конхоиду Никомеда $r=l+\frac{a}{cos\varphi}$, и нам начинает мешать ограничение $r\geqslant 0$.
А потом мы ко всему этому привыкаем, и начинаем молча использовать все эти обобщения полярных координат. А читатель пусть сам догадываемся, считаем ли мы радиальную координату $r$ неотрицательной. Вдобавок, мы можем в одном месте считать так, а в другом - совсем иначе, и ничего об этом не говорить. Читатель умный, он сам поймёт.

Идея с модулем мне кажется неудачной, поскольку кривые $r=f(\varphi)$ и $r=|f(\varphi)|$ имеют различные свойства гладкости и геометрически, как правило, выглядят по-разному. Например, окружность $r=acos\varphi$, $a\ne 0$, превратится в пару окружностей $r=|acos\varphi|$ с разрывной производной при $r=0$. При изучении кривых допущение отрицательных значений $r$ является гораздо меньшим злом, чем появление разрывов.

А вот при вычислении двойных интегралов, наоборот, предпочтительнее ограничиться только неотрицательными $r$.

Я сталкивался с ситуацией, когда не очень "подкованный" в математике инженер оказался жертвой такого рода "молчаливых договорённостей". Как известно, в физике и, в частности, в механике принято пользоваться правой системой координат, и определения величин, зависящих от её ориентации (момент силы, угловая скорость), даются именно для правой системы координат. К этому все так привыкли, что обычно явно об этом не говорится. Упомянутый инженер, видимо, не подозревал о таком понятии, как ориентация, и случайно выбрал левую систему координат. Здесь он обнаружил, что стандартные формулы для момента силы и скорости точки вращающегося тела (с векторным произведением) дают направления, противоположные требуемым. Он не придумал ничего лучше, чем переставить множители в векторных произведениях, чтобы на рисунке получались "правильные" направления (как в правой системе координат).

[GAA]

Добавлено в связи с обсуждением в теме Методика преподавания полярной системы координат.

Пример Someone с $(x^2+y^2)^3 = 36(x^2-y^2)^2$, в зависимости от договоренности, можно трактовать по-разному. Действительно, подставив в это уравнение $ x= r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$ получим, $r^2 = 36 \cos^2 2\varphi$ или

$r_{1,2} = \pm 6 \cos 2\varphi.$

Если считать, что $r \ge 0$, то каждое из уравнений описывает двухлепестковую розу, а вместе они задают четырехлепестковую розу. Особой необходимости в отрицательном радиусе нет, но возможность радиусу принимать отрицательные значения позволяет в данном примере записать уравнение кривой в немного более компактной форме.


Уравнение конхоиды Никомеда в прямоугольной системе координат обычно записывают в виде $(x-a)^2(x^2+y^2)-l^2x^2=0, l >0$. Переходя в полярную систему координат, получим

$r_{1,2} = \frac{a}{\cos\varphi} \pm l.$

Внешняя ветвь описывается уравнением $r_1 = \frac{a}{\cos\varphi} + l$, а внутренняя — $r_2 = \frac{a}{\cos\varphi} - l$. Мне не видно, где здесь может понадобиться отрицательность радиуса.


Однако, по существу со всем изложенным Someone я, конечно, согласен.

Upd. Понял зачем в конхоиде Никомеда нужен отрицательный радиус: для непрерывной параметризации кривой.
Если $a < l$, то кривая имеет петлю. Пусть для простоты $a=1$, $l=2$, тогда
$r_1 = \frac{1}{\cos\varphi} + 2$, $ -\pi/2< \varphi < \pi/2$ описывает ветвь лежащую справа от асимптоты;
$r_2 = \frac{1}{\cos\varphi} - 2$, $-\pi/2<\varphi < -\pi/3$ и $\pi/3<\varphi < \pi/2$ ветвь между осью Oy и вертикальной асимптотой;
и
$r_1 = \frac{a}{\cos\varphi} + 2$, $ \pi - \pi/3 <\varphi < \pi + \pi/3$ — петлю.
Если считать, что радиус может быть отрицательным, то получаем непрерывную параметризацию: $r_2 = \frac{1}{\cos\varphi} - 2$, $-\pi/2<\varphi < \pi/2$ будет описывать всю кривую лежащую слева от вертикальной асимптоты.

[Алексей К.]

Простейший пример --- известное полярное уравнение коники с эксцентриситетом $e$ (полюс в фокусе): $r(\varphi)=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi}.$

Бронштейн, Семендяев писал(а):

Для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь.

А если не вводить искусственных ограничений, то получим обе ветви.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #713146 писал(а):

А если не вводить искусственных ограничений, то получим обе ветви.

И межпланетные станции совершенно естественным образом летают по обеим ветвям сразу.