Методика преподавания полярной системы координат

[DimaM]

Munin в сообщении #712608 писал(а):

а о том, что в полярной системе координат начало координат соответствует разным парам значений $(r,\varphi),$ никто не вспоминает?

Ну это примерно как о направлении нулевого вектора рассуждать.

[Shtorm]

Aritaborian в сообщении #712584 писал(а):

ИМХО, вы тут развели невразумительную дискуссию на пустом месте.

Дело в том, что почти в каждом учебнике для вузов и втузов, а также в задачниках сразу оговаривается, что полярный радиус - величина положительная. И только, возможно, на следующей странице говорится, что он может быть отрицательным (как, например, в справочнике Выгодского). А во многих учебниках и не говорится вовсе про отрицательный полярный радиус. Всё это приводит к тому, что какая-то часть преподавателей-математиков так и считает $r$ строго положительным.
Это приводит к тому, что если например, им приносят контрольную работу на проверку, где нарисована 8-ми лепестковая роза $r=\sin(4\varphi)$ то они с гневом и апломбом зачёркивают 4 лепестка и заставляют исправлять контрольную работу, чтобы лепестков осталось только 4 То есть они настаивают по сути на области определения полярной функции, из которой исключаются отрицательные $r$. Когда же им начинаешь говорить обратное, они начинают горячо спорить. Мало того, и молодых неопытных преподавателей, только что устроившихся, никогда не преподававших, убеждают в своих мыслях.
Вот что порождает у меня желание дискутировать в данной теме. Получается, что данный момент методически не проработан. Именно с точки зрения методики преподавания.

-- Пт апр 19, 2013 09:42:22 --

Aritaborian в сообщении #712584 писал(а):

узнал самостоятельно в школьные годы из какого-то не-школьного учебника геометрии

А можете привести хоть какой-нибудь учебник (не справочник, а именно учебник) в котором говорится про отрицательный полярный радиус?

[Алексей К.]

Всё равно это болтовня на пустом месте. Избыточное занудство.

В Думу напишите, пусть закон примут "Об упорядочивании концепции полярного радиуса".

Уважаемый Сергей Евгеньевич!

В практике современного образования существуют непонятки в толковании....

Известно, что в одном из африканских университетов возмущённые студенты съели своего...
Упомянутая двойственность полярного радиуса может привести к студенческим волнениям...

Минобрнауки, вместо решения насущнейшей проблемы, увлеклось всякими глупостями типа фальшивых диссертаций...

Мы, группа преподавателей, призываем Вас проработать и принять закон... Проект прилагается.


В таком духе. И не будет у вас проблем с 1 сентября.

[Shtorm]

Алексей К. Заценил шутку.
Однако, пока сами математики не выработают чёткий подход к методики преподавания этого момента, бессмысленно (более того, вредно) обращаться официально к каким-то бюрократическим министерствам и ведомствам (тем более к тем, которые сами из себя делают посмешище )

[Munin]

DimaM в сообщении #712614 писал(а):

Ну это примерно как о направлении нулевого вектора рассуждать.

Просто если требовать от системы координат биективности точка $\leftrightarrow$ набор чисел, то она уже при $r=0$ нарушается, что, однако, никого не колышет.

-- 19.04.2013 11:49:35 --

Shtorm в сообщении #712633 писал(а):

Дело в том, что почти в каждом учебнике для вузов и втузов, а также в задачниках сразу оговаривается, что полярный радиус - величина положительная.

Так положительная или неотрицательная?

Shtorm в сообщении #712633 писал(а):

Вот что порождает у меня желание дискутировать в данной теме.

О да, желание дискутировать видно невооружённым глазом...

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #712649 писал(а):

Однако, пока сами математики не выработают чёткий подход...

Математики не нуждались в этом (десятки лет) до Вашего появления, не нуждаются и не будут нуждаться. Настоящее математическое образование, понимание того, с чем они работают, ум, в конце концов, заменяют им "методическую проработанность". Может, это пригодится для современных тупых методик, где надо выбрать "ответ Бэ", чтобы тест сдать. И чтоб через HTML-форму непременно, а не птичку на листочке ставить.

Вам, Shtorm, ближе к лету всё время неймётся, Вам надо выискивать "недостатки" в определениях и бороться за их чистоту. То Вам конус не нравился, то с асимптотами Вы полный бардак обнаружили, где (десятки лет) всё было спокойно. Сейчас за полярный радиус уцепились.
В одних книгах Архимедову спираль $r=\varphi$ рисуют при $\varphi\ge 0$, в других напоминают о существовании "второй ветви", $-\infty<\varphi<+\infty$. И никто не парится по пустякам.

Shtorm в сообщении #712649 писал(а):

Однако, пока сами математики не выработают чёткий подход...

Не будут "сами математики" дурью маяться. На то они и математики.

[Shtorm]

Munin в сообщении #712657 писал(а):

Так положительная или неотрицательная?..

Процитирую из книги Александров П.С. "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры"

Цитата:

Полярный радиус любой точки M, отличной от O, положителен; для точки O он равен нулю.

В Беклемишеве написано $r$ неотрицателен. Я когда писал "$r$ положителен" всегда имел ввиду тот, который отличен от нуля. Ну давайте далее использовать термин "неотрицателен".

-- Пт апр 19, 2013 12:13:43 --

Munin в сообщении #712657 писал(а):

Просто если требовать от системы координат биективности точка $\leftrightarrow$ набор чисел, то она уже при $r=0$ нарушается, что, однако, никого не колышет.

Не колышет потому, что при решении простых задач (для студентов) и при изображении графика функции в полярных координатах это не мешает, в отличие от той проблемы, которую я осветил.

-- Пт апр 19, 2013 12:26:56 --

Алексей К. в сообщении #712671 писал(а):

Математики не нуждались в этом (десятки лет) до Вашего появления, не нуждаются и не будут нуждаться.

Алексей К. в сообщении #712671 писал(а):

Вам, Shtorm, ближе к лету всё время неймётся, Вам надо выискивать "недостатки" в определениях и бороться за их чистоту

Уважаемый Алексей К., я там в первом сообщении специально указал на то, что многие поднимают этот вопрос, а не только я. Специально ещё раз процитирую:

Shtorm в сообщении #711799 писал(а):

Данный вопрос уже затрагивался на нашем форуме. Например тут:
topic756.html
На других форумах, я знаю, тоже периодически всплывает такой вопрос.

Прошу заметить, споры были, рассуждения были, но я там в них ещё не участвовал в то время. В то время я был в плену ложных авторитетов старших товарищей по кафедре, которые свято верили, что $r$ строго неотрицателен, поэтому некоторые лепестки на "n-лепестковых розах" строить не нужно.

-- Пт апр 19, 2013 12:34:59 --

Алексей К. в сообщении #712671 писал(а):

То Вам конус не нравился,

Я никогда не говорил, что мне не нравится конус! Я лишь задал вопрос, что будет в сечениях конуса, если в основании конуса не круг, не эллипс, а овал Кассини. И мне крайне непонятна такая резко негативная Ваша реакция. Форум несёт просветительские функции, соответственно нужно разъяснять, просвещать или отсылать к книгам, либо признаваться, что ничего в этом направлении в литературе нет.

[Munin]

Shtorm в сообщении #712685 писал(а):

Я когда писал "$r$ положителен" всегда имел ввиду тот, который отличен от нуля.

Ну и какое вы имеете право требовать математическую строгость от других, когда вы сами столь вопиюще неряшливы? На этом можно разговор уже заканчивать.

Shtorm в сообщении #712685 писал(а):

Не колышет потому, что при решении простых задач (для студентов) и при изображении графика функции в полярных координатах это не мешает, в отличие от той проблемы, которую я осветил.

То есть, вы просто не догадываетесь, что полярные координаты могут быть использованы для чего-то другого, а не для построения графиков? Феерия. Кстати, а график $\varphi(r)$ вы построить сумеете? Ещё вопрос на засыпку: а какой смысл для полярной системы координат имеют значения $|\varphi|>2\pi,$ и как выглядит график $r=1-2\cos(\varphi/3)?$

[Shtorm]

Munin в сообщении #712699 писал(а):

То есть, вы просто не догадываетесь,полярные координаты могут быть использованы для чего-то другого, а не для построения графиков?

Откуда такой вывод? Я говорил про простые студенческие задачи. Как например вот эта:
topic71134.html

Сами же понимаете, что разные пары значений для начала координат в таких задачах проблемы не представляют.

-- Пт апр 19, 2013 13:02:29 --

Munin в сообщении #712699 писал(а):

когда вы сами столь вопиюще неряшливы?

Ой, ой, лишь бы подловить на чём. Когда возникает ситуация с полярным радиусом равным нулю - ни у кого это не вызывает проблем. В том числе и у меня. Все понимают, что нуль - это нуль.

-- Пт апр 19, 2013 13:19:33 --

Munin в сообщении #712699 писал(а):

Кстати, а график $\varphi(r)$ вы построить сумеете? Ещё вопрос на засыпку: а какой смысл для полярной системы координат имеют значения $|\varphi|>2\pi,$ и как выглядит график $r=1-2\cos(\varphi/3)?$

1. Не вижу проблем. Вы в чём-то видите?
2. $\varphi>2\pi$ и $\varphi<-2\pi$ И что Вы этим хотели сказать?
3. График имеющий множество самопересечений. Вы и сами можете легко его построить на компьютере. В чём тут подвох Вы хотели найти?

[Munin]

Shtorm в сообщении #712702 писал(а):

Сами же понимаете, что разные пары значений для начала координат в таких задачах проблемы не представляют.

Не вижу никакой разницы между тем, чтобы одной точке не в начале координат соответствовало несколько пар $(r,\varphi),$ и чтобы началу координат тоже соответствовало несколько таких пар.

Shtorm в сообщении #712702 писал(а):

Когда возникает ситуация с полярным радиусом равным нулю - ни у кого это не вызывает проблем. В том числе и у меня.

Точнее, именно у вас это "не вызывает проблем", потому что вы даже не задумываетесь о том, о чём не додумались задуматься. О $r<0$ додумались - и возопили. А о $|\varphi|>2\pi$ или о $r=0$ - не додумались, вот и не видите проблем. Спокойно строите себе спирали на много витков. Не вспоминаете, что график функции самопересечений иметь не может.

[Shtorm]

Munin, хорошо, когда будем вести речь о таких кривых с самопересечением, не будем использовать "график функции" будем использовать "кривая" и "уравнение кривой".
Да, и возвращаясь к исходной теме, скажем, что когда пишут уравнение кривой в полярной системе координат и просят построить, - то всегда имеют ввиду построить кривую, а не график функции. А кривая может иметь сколько угодно точек самопересечения. Поэтому все лепестки и завитушки необходимо учитывать и строить.

[Munin]

Тогда можно сказать сразу, что это уравнение кривой в переменных $r$ и $\varphi,$ определяемых сюръекцией
$x=r\cos\varphi$
$y=r\sin\varphi$
а вовсе не в полярных координатах.

[Shtorm]

Munin, ну то есть, Вы также, как и Алексей К., предлагаете перейти к параметрическому заданию кривой и только затем её строить.

[AKM]

Господа, Вы пошли по кругу:

Алексей К. в сообщении #711868 писал(а):

Не называйте при этом $r(t)$ "полярным уравнением", и всё.

Munin в сообщении #712815 писал(а):

Тогда можно сказать сразу, что это уравнение кривой в переменных $r$ и $\varphi,$ ... а вовсе не в полярных координатах.

По-моему, в теме, на которую сослался ТС, дан вполне исчерпывающий ответ:

Someone в сообщении #3819 писал(а):

А читатель пусть сам догадываемся, считаем ли мы радиальную координату неотрицательной. Вдобавок, мы можем в одном месте считать так, а в другом - совсем иначе, и ничего об этом не говорить. Читатель умный, он сам поймёт.

То, что этот ответ "методологически" не устраивает топикстартера, проблема, скорее всего, самого ТС.

Я склонен закрыть это ля-ля. Думаю, ещё один модератор, согласившийся с моим мнением, проделает эту операцию.

[Shtorm]

У самих профессиональных математиков - проблем не возникнет ни в коем случае, это всем понятно и никто с этим не спорит.
Я недаром разместил тему в этом разделе, так как проблема возникает именно в преподавании в системе преподаватель-студент. Я выше обосновал почему возникает эта проблема. А каких студентов мы учим - надеюсь все знают.
Далее, касательно предложенного два раза в этой теме перехода к параметрическому заданию кривой. Представьте себе ситуацию: преподаватель излагает на лекции полярную систему координат, рассказывает как строить кривую в полярной системе координат:"...задаём угол $\varphi$, подставляем его в уравнение, из уравнения находим $r$. Откладываем в полярной системе этот угол, и на этом угле отмеряем расстояние $r$. Отмечаем точку. Следующий угол берём... и так далее. А вот если, вы подставили угол и у вас вышел отрицательный $r$, то следует параметризовать кривую и далее уже подставлять параметр $t$"...Тогда какой-нибудь студент спросит, но позвольте, неужели полярная система координат не позволяет нам построить n-лепестковые розы, улитки Паскаля с внутренней петлёй. Ведь эти кривые даются обычно именно в полярной системе координат. И что преподаватель должен говорить студенту в ответ? Что дескать есть тут некоторая двусмысленность со знаками полярного радиуса, поэтому чтобы не впадать в противоречие мы и переходим к параметрической форме? А другой умный студент тут же скажет: "зачем нам переходить к параметрической форме и усложнять вычисления, если сразу можно, пользуясь правилом отрицательных $r$ отметить нужную точку???
И как это будет выглядеть на лекции с точки зрения методики преподавания?