2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кривая в полярных координатах
Сообщение29.11.2005, 19:47 


05/11/05
4
Назовите, пожалуйста, вид кривой $r=-6\cos 2w$ (в полярных системах координат)

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярные координаты
Сообщение29.11.2005, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ирина писал(а):
Назовите, пожалуйста, вид кривой r=-6*cos2w (в полярных системах координат)


Мне встречалось название "четырёхлепестковая роза".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2005, 23:14 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Так у нее же два лепестка вроде.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2005, 23:41 
Чатыре. (Для четных $k$ - $2k$, для нечетных $k$).

  
                  
 
 
Сообщение29.11.2005, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dan_Te писал(а):
Так у нее же два лепестка вроде.


Вообще-то, в определении полярных координат $(\varphi,r)$ предполагается, что $r\geqslant 0$. Но потом, ничтоже сумняшеся, используют их и с $r<0$, оставляя неизменными формулы перехода $\begin{cases}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\end{cases}$.

Если Вы от уравнения в полярных координатах перейдёте к параметрическим уравнениям $\begin{cases}x=-6\cos 2\varphi\cos\varphi\\y=-6\cos 2\varphi\sin\varphi\end{cases}$ и построите кривую, то увидите четыре лепестка.

Преобразование данного уравнения к декартовым координатам даёт уравнение $(x^2+y^2)^3=36(x^2-y^2)^2$ (разумеется, "по дороге" приходится возводить в квадрат...). Это уравнение также даёт 4 лепестка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:08 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Hе припоминаю ни одной задачи с отрицательным r :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Можно и не возводить в квадрат. Домножаем на $\rho^2$, и имеем $ (x^2+y^2)^{3/2} = $ $\rho^3 =$ $ -6  \rho^2 \cos 2 \omega = $ $ -6  (\rho^2 \cos^2 \omega - \rho^2 \sin^2 \omega) = $ $-6(x^2-y^2)$. То бишь, $(x^2+y^2)^{3/2} = 6(y^2-x^2)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
LynxGAV писал(а):
Hе припоминаю ни одной задачи с отрицательным r :?


А вот то, что обсуждается выше - оно самое и есть.

Посмотрите также в справочнике И.Н.Бронштейна и К.А.Семендяева раздел "Важнейшие кривые". Там найдёте ещё такие случаи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
незванный гость писал(а):
:evil:
Можно и не возводить в квадрат. ... То бишь, $(x^2+y^2)^{3/2} = 6(y^2-x^2)$.


Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений...
Но Ваш вариант, безусловно, предполагает, что $\rho\geqslant 0$. В противном случае нужно написать $\pm(x^2+y^2)^{3/2}=6(y^2-x^2)$. Или предполагать, что $(x^2+y^2)^{3/2}$ имеет два значения, как это принято в ТФКП.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:30 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Cправочник посмотрю.

Имела ввиду, что в задачах с цил. симметрией, изначально r и z от нуля до какого-нибудь положительного, угол больше нуля (потом наклыдываем периодичность). Это правда, не совсем то.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
LynxGAV писал(а):
Cправочник посмотрю.

Имела ввиду, что в задачах с цил. симметрией, изначально r и z от нуля до какого-нибудь положительного, угол больше нуля (потом наклыдываем периодичность). Это правда, не совсем то.


Да, в общем-то, Вы правы. Полярные координаты $(\varphi,r)$ изначально определяются с $r\geqslant 0$ и $0\leqslant\varphi<2\pi$. При этом каждая точка, за исключением полюса ($r=0$), имеет единственные координаты. А потом области изменения $\varphi$ и $r$ расширяют, и координаты становятся многозначными. И с этим приходится иногда "бороться", ограничивая $\varphi$ и $r$ удобными промежутками.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Someone писал(а):
...Но Ваш вариант, безусловно, предполагает...

Ах, как Вы правы. Я даже не задумывался над этим, но предположение закрадывается в момент замены $\rho$ на $\sqrt{x^2+y^2}$.

Someone писал(а):
Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений.

Но при этом могут возникать добавочные решения. Посему я осторожно отношусь к возведению в квадрат только чтобы избавиться от радикалов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
незванный гость писал(а):
:evil:
Someone писал(а):
Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений.

Но при этом могут возникать добавочные решения. Посему я осторожно отношусь к возведению в квадрат только чтобы избавиться от радикалов.


Да, но алгебраические кривые (на плоскости) - это, по определению, кривые, задаваемые (в декартовых координатах) уравнениями вида $P(x,y)=0$, где $P(x,y)$ - многочлен.
Поэтому скорее можно было бы говорить о потере решений при извлечении квадратного корня в процессе перехода к полярным координатам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 01:05 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Похоже, это вопрос договоренности, как с нулем (который можно считать натуральным числом). У нас всегда на семинарах была договоренность, что радиус неотрицательный, и здесь бы я написал модуль.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2005, 02:51 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Многочлены. Aлгебраические кривые..
Немного не в тему, но с Вашего разрешения попробую продолжить.
Someone писал(а):
Да, в общем-то, Вы правы. Полярные координаты $(\varphi,r)$ изначально определяются с $r\geqslant 0$ и $0\leqslant\varphi<2\pi$. При этом каждая точка, за исключением полюса ($r=0$), имеет единственные координаты. А потом области изменения $\varphi$ и $r$ расширяют, и координаты становятся многозначными. И с этим приходится иногда "бороться", ограничивая $\varphi$ и $r$ удобными промежутками.


Когда я решаю задачу (мы - физики и прочие субъекты), то налагаю условия $0\leqslant \rho \leqslant \rho_0$, $0\leqslant \varphi$, $0\leqslant z \leqslant z_0$ ($z$ для общности) и всё, то бишь "поделили" пространтсво как нам удобно. НО. Решение из физ. соображений симметрии должно обладать свойством периодичности по $\varphi$(систему прокрутили на $2\pi$ - ничего не меняется), как и по $z$ можно рассмотреть "сверху до низу". Так это же есть и есть настоящие полярные коодинаты на плоскости. Что касается вырождения в нуле, так покроем наше "многообразие" еще и декартовой системой координат и дело с концом. А дальше уже топология..Покрываем чем угодно, абы попроще было.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group