2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Кривая в полярных координатах
Сообщение29.11.2005, 19:47 
Назовите, пожалуйста, вид кривой $r=-6\cos 2w$ (в полярных системах координат)

 
 
 
 Re: Полярные координаты
Сообщение29.11.2005, 21:25 
Аватара пользователя
Ирина писал(а):
Назовите, пожалуйста, вид кривой r=-6*cos2w (в полярных системах координат)


Мне встречалось название "четырёхлепестковая роза".

 
 
 
 
Сообщение29.11.2005, 23:14 
Так у нее же два лепестка вроде.

 
 
 
 
Сообщение29.11.2005, 23:41 
Чатыре. (Для четных $k$ - $2k$, для нечетных $k$).

 
 
 
 
Сообщение29.11.2005, 23:47 
Аватара пользователя
Dan_Te писал(а):
Так у нее же два лепестка вроде.


Вообще-то, в определении полярных координат $(\varphi,r)$ предполагается, что $r\geqslant 0$. Но потом, ничтоже сумняшеся, используют их и с $r<0$, оставляя неизменными формулы перехода $\begin{cases}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\end{cases}$.

Если Вы от уравнения в полярных координатах перейдёте к параметрическим уравнениям $\begin{cases}x=-6\cos 2\varphi\cos\varphi\\y=-6\cos 2\varphi\sin\varphi\end{cases}$ и построите кривую, то увидите четыре лепестка.

Преобразование данного уравнения к декартовым координатам даёт уравнение $(x^2+y^2)^3=36(x^2-y^2)^2$ (разумеется, "по дороге" приходится возводить в квадрат...). Это уравнение также даёт 4 лепестка.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:08 
Hе припоминаю ни одной задачи с отрицательным r :?

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:12 
Аватара пользователя
:evil:
Можно и не возводить в квадрат. Домножаем на $\rho^2$, и имеем $ (x^2+y^2)^{3/2} = $ $\rho^3 =$ $ -6  \rho^2 \cos 2 \omega = $ $ -6  (\rho^2 \cos^2 \omega - \rho^2 \sin^2 \omega) = $ $-6(x^2-y^2)$. То бишь, $(x^2+y^2)^{3/2} = 6(y^2-x^2)$.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:20 
Аватара пользователя
LynxGAV писал(а):
Hе припоминаю ни одной задачи с отрицательным r :?


А вот то, что обсуждается выше - оно самое и есть.

Посмотрите также в справочнике И.Н.Бронштейна и К.А.Семендяева раздел "Важнейшие кривые". Там найдёте ещё такие случаи.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:29 
Аватара пользователя
незванный гость писал(а):
:evil:
Можно и не возводить в квадрат. ... То бишь, $(x^2+y^2)^{3/2} = 6(y^2-x^2)$.


Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений...
Но Ваш вариант, безусловно, предполагает, что $\rho\geqslant 0$. В противном случае нужно написать $\pm(x^2+y^2)^{3/2}=6(y^2-x^2)$. Или предполагать, что $(x^2+y^2)^{3/2}$ имеет два значения, как это принято в ТФКП.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:30 
Cправочник посмотрю.

Имела ввиду, что в задачах с цил. симметрией, изначально r и z от нуля до какого-нибудь положительного, угол больше нуля (потом наклыдываем периодичность). Это правда, не совсем то.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:40 
Аватара пользователя
LynxGAV писал(а):
Cправочник посмотрю.

Имела ввиду, что в задачах с цил. симметрией, изначально r и z от нуля до какого-нибудь положительного, угол больше нуля (потом наклыдываем периодичность). Это правда, не совсем то.


Да, в общем-то, Вы правы. Полярные координаты $(\varphi,r)$ изначально определяются с $r\geqslant 0$ и $0\leqslant\varphi<2\pi$. При этом каждая точка, за исключением полюса ($r=0$), имеет единственные координаты. А потом области изменения $\varphi$ и $r$ расширяют, и координаты становятся многозначными. И с этим приходится иногда "бороться", ограничивая $\varphi$ и $r$ удобными промежутками.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 00:49 
Аватара пользователя
:evil:
Someone писал(а):
...Но Ваш вариант, безусловно, предполагает...

Ах, как Вы правы. Я даже не задумывался над этим, но предположение закрадывается в момент замены $\rho$ на $\sqrt{x^2+y^2}$.

Someone писал(а):
Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений.

Но при этом могут возникать добавочные решения. Посему я осторожно отношусь к возведению в квадрат только чтобы избавиться от радикалов.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 01:00 
Аватара пользователя
незванный гость писал(а):
:evil:
Someone писал(а):
Уравнение алгебраической кривой обычно записывается без иррациональных выражений.

Но при этом могут возникать добавочные решения. Посему я осторожно отношусь к возведению в квадрат только чтобы избавиться от радикалов.


Да, но алгебраические кривые (на плоскости) - это, по определению, кривые, задаваемые (в декартовых координатах) уравнениями вида $P(x,y)=0$, где $P(x,y)$ - многочлен.
Поэтому скорее можно было бы говорить о потере решений при извлечении квадратного корня в процессе перехода к полярным координатам.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 01:05 
Похоже, это вопрос договоренности, как с нулем (который можно считать натуральным числом). У нас всегда на семинарах была договоренность, что радиус неотрицательный, и здесь бы я написал модуль.

 
 
 
 
Сообщение30.11.2005, 02:51 
Многочлены. Aлгебраические кривые..
Немного не в тему, но с Вашего разрешения попробую продолжить.
Someone писал(а):
Да, в общем-то, Вы правы. Полярные координаты $(\varphi,r)$ изначально определяются с $r\geqslant 0$ и $0\leqslant\varphi<2\pi$. При этом каждая точка, за исключением полюса ($r=0$), имеет единственные координаты. А потом области изменения $\varphi$ и $r$ расширяют, и координаты становятся многозначными. И с этим приходится иногда "бороться", ограничивая $\varphi$ и $r$ удобными промежутками.


Когда я решаю задачу (мы - физики и прочие субъекты), то налагаю условия $0\leqslant \rho \leqslant \rho_0$, $0\leqslant \varphi$, $0\leqslant z \leqslant z_0$ ($z$ для общности) и всё, то бишь "поделили" пространтсво как нам удобно. НО. Решение из физ. соображений симметрии должно обладать свойством периодичности по $\varphi$(систему прокрутили на $2\pi$ - ничего не меняется), как и по $z$ можно рассмотреть "сверху до низу". Так это же есть и есть настоящие полярные коодинаты на плоскости. Что касается вырождения в нуле, так покроем наше "многообразие" еще и декартовой системой координат и дело с концом. А дальше уже топология..Покрываем чем угодно, абы попроще было.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group