VladTK, мои пять копеек:
Метрика зависит от одной функции

:

В вакууме уравнения Эйнштейна-Гильберта сводятся к единственному уравнению:

После выполнения которого все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю

. Это означает, что энергия равна нулю, перед нами нулевая мода. Однако это не означает, что с помещённым в эту волну детектором ничего не случиться. Когда энергия знаконеопределена ноль не означает отсутствие.
Выясним воздействие гравитационной волны на детектор.
Пусть в области пространства

расположен детектор гравитационных волн имеющий тензор энергии импульса

. Можно пока считать, что обратное влияние детектора на гравитационное поле мало. Вычислим энергию этого детектора в гравитационной волне (1). Энергия зависит от системы отсчёта. Система отсчёта задаётся репером

(или ко-репером

), причём

Матрицы

и

взаимно обратны. Учитывая (3) возьмём, например, вот такую систему отсчёта (ко-репер):




Эта система отсчёта выделена тем, что в ней направление времени совпадает с направлением времени за пределами гравитационной волны, то есть там где

, а значит энергия вычисленная в этой системе отсчёта в некотором смысле более "традиционна". Замечу, что "ось-

" этой системы отсчёта не совпадает с "осью-

" используемой системы координат. Репер этой системы отсчёта:




Энергия пробного детектора расположенного внутри области пространства

(обозначим

):

Напомню, что

Пусть гравитационная волна пришла к детектору после

, а после

уже ушла. Определим замкнутую трёхмерную гиперповерхность как границу четырёхмерной области включающей

и область между

и

по "оси" времени, тогда следующий интеграл по этой области даст разность энергий детектора до и после прохождения гравитационной волны:

По теореме Гаусса этот интеграл может быть сведён к интегралу по четырёхмерному объёму внутри этой замкнутой гиперповерхности:

Теперь что касается потока энергии.
Поскольку

а в правой части (15) интеграл по времени тоже берётся от

до

, то

Формулу (17) можно записать в следующем виде:

Здесь

- объёмная плотность энергии детектора в

-вой системе отсчёта (с поправкой на гравитационное поле внутри детектора), а 2-форма

отвечает за поток энергии гравитационного поля в детектор и из него в

-вой системе отсчёта. В общем виде написать

затруднительно, надо рассматривать конкретный детектор, то есть конкретный

. Возможно при выводе

придётся учёсть обратное воздействие детектора на гравитационную волну (то есть учесть рассеяние гравитационной волны на детекторе).