Структура вещества в ЧД

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #704002 писал(а):

Под актуальной я имел в виду реальную. Что из нагороженного - промежуточные конструкции, а что - реальная актуальная измеримая наблюдаемая, в общем, физическая метрика?

Та что со штрихом $g'_{\mu \nu}$.

[kirillD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #703994 писал(а):

Лучше не пишите вообще.

Прав SergeyGubanov или не прав, в конце концов, я надеюсь, это выяснится. Но то, что он заставляет своих оппонентов усиленно шевелить мозгами, разве это плохо?

[Munin]

(Оффтоп)

kirillD в сообщении #704117 писал(а):

Прав SergeyGubanov или не прав, в конце концов, я надеюсь, это выяснится.

Эту песню поют все "изобретатели". Им невдомёк, или не хочется признавать, что чаще всего всё уже выяснилось.

kirillD в сообщении #704117 писал(а):

Но то, что он заставляет своих оппонентов усиленно шевелить мозгами, разве это плохо?

Да. Шевелить мозгами стоит для серьёзных настоящих научных задач, а не для споров с подобными типами.

[kirillD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #704132 писал(а):

kirillD в сообщении #704117 писал(а):

Но то, что он заставляет своих оппонентов усиленно шевелить мозгами, разве это плохо?

Да. Шевелить мозгами стоит для серьёзных настоящих научных задач, а не для споров с подобными типами.

Ну, если Вы исключаете себя из серьезных оппонентов, тогда другое дело.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #704071 писал(а):

Я помню, как академик П.С.Александров ругал на семинаре докладчика

Ага, пошёл частичный ответ на вопрос "кто вы такой?". Википедия говорит, что академик Александров, Павел Сергеевич умер в 1982 году. Отсюда можно сделать предположение о возрасте вашем. Знаете, а я думал вы совсем молодой, дух некоего своеобразного фанатизма возникающего у каждого при первом знакомстве с ОТО с вас ещё не улетучился, всё видится чёрно-белым...

Someone в сообщении #704023 писал(а):

Поэтому такая забота о плоском пространстве в Ньютоновском приближении выглядит неубедительно.

А вы всё равно подумайте. Гарантирую, что решение существует:

• Трёхмерное пространство абсолютно плоское.
• Уравнения Эйнштена выполняются.
• Ньютоновская теория гравитации получается на счёт раз.
• Конфликта плотности энергии Ньютоновского и Эйнштейновского полей не происходит.

[Toucan]

SergeyGubanov в сообщении #704287 писал(а):

Ага, пошёл частичный ответ на вопрос "кто вы такой?". Википедия говорит, что академик Александров, Павел Сергеевич умер в 1982 году. Отсюда можно сделать предположение о возрасте вашем. Знаете, а я думал вы совсем молодой, дух некоего своеобразного фанатизма возникающего у каждого при первом знакомстве с ОТО с вас ещё не улетучился, всё видится чёрно-белым...

SergeyGubanov, предупреждение за переход на обсуждение личности собеседника.

[myhand]

Toucan в сообщении #704479 писал(а):

предупреждение за переход на обсуждение личности собеседника.

Вы уж до кучи и "уважаемых" бы сперва "пожурили"? Али нет - "им можно". Например, вот:

Munin в сообщении #704084 писал(а):

Ну, разговаривая с такими людьми, как schekn и прочие здесь присутствующие

[VladTK]

Я обращаюсь к сторонникам ОТО. Ответьте мне, пожалуйста, на такой вопрос. Имеется метрика плоской гравитационной волны (параграф 109 в ЛЛ-2)

$$ ds^2=2 f(u,y,z) du^2+2 du dv-dy^2-dz^2 $$

в координатах

$$ x^{\mu}=\begin{pmatrix} u\\ v\\ y\\ z \end{pmatrix} $$

Определитель такой метрики совпадает с определителем метрики Минковского $g=-1$. Из уравнений Эйнштейна следует, что функция $f(u,y,z)$ удовлетворяет уравнению Лапласа по $y,z$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=0 $$

Как пишется в ЛЛ-2, если выбрать

$$ f(u,y,z)=y z f_1(u)+\frac{f_2(u)}{2} (y^2-z^2) $$

где $f_1(u), f_2(u)$ - некоторые произвольные функции (для определенности скажем пусть это будут гауссоиды), то данная метрика описывает плоскую гравитационную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси $x$. Какой поток энергии-импульса переносит данная волна через единичную площадку, ортогональную оси $x$, в единицу времени? Просьба не отправлять меня к учебникам - они все давно прочитаны и поняты. Приведите просто свой расчет (ну или хотя бы алгоритм такого расчета).

[SergeyGubanov]

VladTK, мои пять копеек:

Метрика зависит от одной функции $F (x - c t, y, z)$:

$$ds^2 = (1 - F) c^2 dt^2 + 2 F c \, dt \, dx - (1 + F) dx^2 - dy^2 - dz^2 \eqno(1)$$

В вакууме уравнения Эйнштейна-Гильберта сводятся к единственному уравнению:

$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) F (x - c t, y, z) = 0 \eqno(2)$$

После выполнения которого все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю $G_{\mu \nu} = 0$. Это означает, что энергия равна нулю, перед нами нулевая мода. Однако это не означает, что с помещённым в эту волну детектором ничего не случиться. Когда энергия знаконеопределена ноль не означает отсутствие.

Выясним воздействие гравитационной волны на детектор.

Пусть в области пространства $\Omega_3$ расположен детектор гравитационных волн имеющий тензор энергии импульса $T_{\mu \nu}$. Можно пока считать, что обратное влияние детектора на гравитационное поле мало. Вычислим энергию этого детектора в гравитационной волне (1). Энергия зависит от системы отсчёта. Система отсчёта задаётся репером $e_{(a)} = e_{(a)}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ (или ко-репером $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} \, dx^{\mu}$), причём

$$g_{\mu \nu} = \eta_{a b} \, e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu}, \quad \eta_{a b} = g_{\mu \nu} \, e_{(a)}^{\mu} e_{(b)}^{\nu} \eqno(3)$$

Матрицы $e_{(a)}^{\mu}$ и $e^{(a)}_{\mu}$ взаимно обратны. Учитывая (3) возьмём, например, вот такую систему отсчёта (ко-репер):

$$e^{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1 + F}} \,c\, dt, \eqno(4)$$

$$e^{(1)} = \sqrt{1 + F} \, dx - \frac{F}{\sqrt{1 + F}} \, c \, dt, \eqno(5)$$

$$e^{(2)} = dy, \eqno(6)$$

$$e^{(3)} = dz. \eqno(7)$$

Эта система отсчёта выделена тем, что в ней направление времени совпадает с направлением времени за пределами гравитационной волны, то есть там где $F = 0$, а значит энергия вычисленная в этой системе отсчёта в некотором смысле более "традиционна". Замечу, что "ось-$1$" этой системы отсчёта не совпадает с "осью-$x$" используемой системы координат. Репер этой системы отсчёта:

$$e_{(0)} = \sqrt{1 + F}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \frac{F}{\sqrt{1 + F}}\frac{\partial}{\partial x}, \eqno(8)$$

$$e_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + F}}\frac{\partial}{\partial x}, \eqno(9)$$

$$e_{(2)} = \frac{\partial}{\partial y}, \eqno(10)$$

$$e_{(3)} = \frac{\partial}{\partial z}. \eqno(11)$$

Энергия пробного детектора расположенного внутри области пространства $\Omega_3$ (обозначим $\xi^{\mu} = e_{(0)}^{\mu}$):

$$E = \int\limits_{\Omega_3} \xi^{\mu} T_{\mu \nu} \left( \star dx^{\nu} \right) \eqno (12)$$

Напомню, что

$$\star dx^{\mu} = g^{\mu \nu} \, \frac{1}{3!} \varepsilon_{\nu \alpha \beta \gamma} dx^{\alpha} \wedge dx^{\beta} \wedge dx^{\gamma}, \quad \varepsilon_{0123} = \sqrt{-g}. \eqno(13)$$

Пусть гравитационная волна пришла к детектору после $t_0$, а после $t_1$ уже ушла. Определим замкнутую трёхмерную гиперповерхность как границу четырёхмерной области включающей $\Omega_3$ и область между $t_0$ и $t_1$ по "оси" времени, тогда следующий интеграл по этой области даст разность энергий детектора до и после прохождения гравитационной волны:

$$ E_{1} - E_{0} = \oint\limits_{\Omega_3, t_1, t_2} \xi^{\mu} T_{\mu \nu} \left( \star dx^{\nu} \right) \eqno(14)$$

По теореме Гаусса этот интеграл может быть сведён к интегралу по четырёхмерному объёму внутри этой замкнутой гиперповерхности:

$$ E_{1} - E_{0} = \int\limits_{\Omega_3, t_1, t_2} \nabla_{\alpha} \left( g^{\alpha \nu} \xi^{\mu} T_{\mu \nu} \right) \sqrt{-g} \, d_4 x = \frac{1}{2} \int\limits_{\Omega_3, t_1, t_2} T^{\mu \nu} \left( \xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} \right) \sqrt{-g} \, d_4 x \eqno(15)$$

Теперь что касается потока энергии.

Поскольку

$$E_{1} - E_{0} = \int\limits_{t_0}^{t_1} \frac{dE}{dt} dt, \eqno(16)$$

а в правой части (15) интеграл по времени тоже берётся от $t_0$ до $t_1$, то

$$\frac{dE}{dt} = \frac{1}{2} \int\limits_{\Omega_3} T^{\mu \nu} \left( \xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} \right) \sqrt{-g} \, d_3 x \eqno(17)$$

Формулу (17) можно записать в следующем виде:

$$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \int\limits_{\Omega_3} \varepsilon_{(\xi)} \sqrt{-g} \, d_3 x + \oint\limits_{\partial \Omega_3} W_{(\xi)} \eqno(18)$$

Здесь $\varepsilon_{(\xi)}$ - объёмная плотность энергии детектора в $\xi$-вой системе отсчёта (с поправкой на гравитационное поле внутри детектора), а 2-форма

$$W_{(\xi)} = W_{(\xi) \mu \nu} \, dx^{\mu} \wedge dx^{\nu} \eqno(19)$$

отвечает за поток энергии гравитационного поля в детектор и из него в $\xi$-вой системе отсчёта. В общем виде написать $W_{(\xi)}$ затруднительно, надо рассматривать конкретный детектор, то есть конкретный $T_{\mu \nu}$. Возможно при выводе $W_{(\xi)}$ придётся учёсть обратное воздействие детектора на гравитационную волну (то есть учесть рассеяние гравитационной волны на детекторе).

[VladTK]

SergeyGubanov в сообщении #705227 писал(а):

...Выясним воздействие гравитационной волны на детектор...

У меня ощущение, что Вы ответили не на тот вопрос, который я задавал. Пусть мы измерили изменение энергии одного детектора и оно оказалось, скажем, 20 эрг/с. Потом измерили для другого детектора - получили 40 эрг/с. Какую энергию перенесла волна? Меня интересует не то с какой энергией взаимодействует волна с детектором (хотя и эта величина конечно тоже интересует, но она как Вы правильно указали зависит не только от волны, но и от устройства детектора), а то какую энергию затратил источник создавая эту волну.

И можно ли формулу (17) увидеть выраженной через функцию F? А то она что-то плохо ложится у меня в мозгу...

[Утундрий]

VladTK в сообщении #705305 писал(а):

Какую энергию перенесла волна?

Куда?

VladTK в сообщении #705305 писал(а):

энергию затратил источник создавая эту волну

Создавая из чего?

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #705305 писал(а):

И можно ли формулу (17) увидеть выраженной через функцию F? А то она что-то плохо ложится у меня в мозгу...

$$\xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} = \partial_{\mu} \xi_{\nu} + \partial_{\nu} \xi_{\mu} - 2 \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} \xi_{\alpha} \eqno(1)$$

$$\xi_{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1+F(x - c t, y, z)}}, 0, 0, 0 \right\} \eqno(2)$$

$$T^{\mu \nu} \left( \xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} \right) = T_{\alpha \beta} g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} \left( \xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} \right) = - \frac{1}{(1 + F)^{3/2}} [ $$

$$ \left( T_{t z} + 2 T_{x z} + (T_{t z} + T_{x z}) F \right) F_{,z} + \left( T_{t y} + 2 T_{x y} + (T_{t y} + T_{x y}) F \right) F_{,y} + \left( T_{t x} + T_{x x} \right) F_{,x} ] \eqno(3)$$

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #703938 писал(а):

Утундрий в сообщении #703686 писал(а):

По поводу формулы (5): которая из метрик актуальная и в чём смысл введения двух метрик?

Смысл в том, что формула Эйнштена 1918 года для потери энергии актуальная для слабых гравитационных волн. Поэтому есть фоновая метрика $g_{\mu \nu}$ и $h_{\mu \nu}$ - малая поправка к ней. Далее в расчёте фоновая метрика - Минковского.

Попытался проследить цепочку расчетов в ЛЛ-2 для случая двойного пульсара , типа PSR B1913+16.
Похожая задача номер 2 после параграфа 110 : излучение двойной звезды, элементы которой движутся по эллипсу. Они ссылаются на выражение (110.16). В свою очередь при получении данной формулы потерь энергии за счет грав. волн используется выражение (107.12) . А в этом параграфе все считается , как возмущение на фоне галилеевой метрики. ТО есть распутывая этот клубок, приходим, что все таки расчеты изначально были на "фоновой" плоской метрики в декартовых координатах. В самой статье по двойному пульсару ссылаются правда на других теоретиков, но не думаю, что там что-то другое.
Кстати в Вашу пользу - Инфельд делал расчеты энергии гр. волны и получил нулевой значение.
Посмотрел, как определяет законы сохранения Логунов А. в РТГ. Вот:

$D_\nu[(-g)T^{\mu\nu}+t_g^{\mu\nu}]=0$

$D_\nu$ - ковариантная производная по метрики Минковского. В декартовых координатах это выражение переходит в интегральные законы сохранения у Ландау-Лифшица: (96.10)-(96.12). Но только в декартовых координатах, а в других в ОТО эти выражения получаются нелепыми, а в РТГ - по фигу.
Возмущения Munin и Epros понятны, что такое в теории - чушь, но в РТГ все срастается, поскольку в теорию Логунова намертво встроена метрика МИнковского.

Кстати нашел , что думает Вайнберг, он называет величины $P^{\mu}$ - "вектором" в ковычках.

-- 04.04.2013, 12:15 --

VladTK в сообщении #705097 писал(а):

Просьба не отправлять меня к учебникам - они все давно прочитаны и поняты.

Не послушаюсь. Вот нашел похожую задачу в статье Мёллера из сборника "Новейшие проблемы гравитации" 1961, п/р Иваненко. (до сих пор актуальны) . Скачать можно здесь http://mechmath.ipmnet.ru/lib/?s=relativity
. стр. 78. Он рассматривает плоскую волну Бонди и пишет, что ее энергия равна нулю.
Наверное у Вас есть эта книга?

[VladTK]

Утундрий в сообщении #705392 писал(а):

VladTK в сообщении #705305 писал(а):

Какую энергию перенесла волна?

Куда?

У Ландау с Лифшицем написано, что слева направо - в сторону $x \to +\infty$

Утундрий в сообщении #705392 писал(а):

VladTK в сообщении #705305 писал(а):

энергию затратил источник создавая эту волну

Создавая из чего?

Из того что у него было, наверное. Не знаю из чего в ОТО создаются гравитационные волны.

SergeyGubanov в сообщении #705532 писал(а):

VladTK в сообщении #705305 писал(а):

И можно ли формулу (17) увидеть выраженной через функцию F? А то она что-то плохо ложится у меня в мозгу...

$$\xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} = \partial_{\mu} \xi_{\nu} + \partial_{\nu} \xi_{\mu} - 2 \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} \xi_{\alpha} \eqno(1)$$

$$\xi_{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1+F(x - c t, y, z)}}, 0, 0, 0 \right\} \eqno(2)$$

$$T^{\mu \nu} \left( \xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} \right) = T_{\alpha \beta} g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} \left( \xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu} \right) = - \frac{1}{(1 + F)^{3/2}} [ $$

$$ \left( T_{t z} + 2 T_{x z} + (T_{t z} + T_{x z}) F \right) F_{,z} + \left( T_{t y} + 2 T_{x y} + (T_{t y} + T_{x y}) F \right) F_{,y} + \left( T_{t x} + T_{x x} \right) F_{,x} ] \eqno(3)$$

Спасибо.

schekn в сообщении #705535 писал(а):

Не послушаюсь. Вот нашел похожую задачу в статье Мёллера из сборника "Новейшие проблемы гравитации" 1961, п/р Иваненко. (до сих пор актуальны) . Скачать можно здесь http://mechmath.ipmnet.ru/lib/?s=relativity
. стр. 78. Он рассматривает плоскую волну Бонди и пишет, что ее энергия равна нулю.
Наверное у Вас есть эта книга?

Правильно не послушались. Хотя бы потому-что эта книга не учебник Спасибо, почитаю.

[Someone]

VladTK в сообщении #705097 писал(а):

Какой поток энергии-импульса переносит данная волна через единичную площадку, ортогональную оси $x$, в единицу времени? Просьба не отправлять меня к учебникам - они все давно прочитаны и поняты. Приведите просто свой расчет (ну или хотя бы алгоритм такого расчета).

Да что там считать-то... Посмотрим на формулу (107,12). Из неё следует, что поток энергии в направлении оси $x$ определяется производными величин $h_{22}$, $h_{23}$, $h_{33}$ по времени ($u=\frac{ct-x}{\sqrt{2}}$, $v=\frac{ct+x}{\sqrt{2}}$; или $u=\frac{t-x}{\sqrt{2}}$, $v=\frac{t+x}{\sqrt{2}}$, если $c=1$). Поскольку в данном решении эти величины по определению равны нулю, то никакого переноса энергии нет (более того, можно вычислить, что и псевдотензор энергии-импульса из ЛЛ2 тождественно равен нулю).

Далее, как известно, гравитационная волна является поперечной. В данном же решении как раз в поперечных направлениях $y$ и $z$ никаких "колебаний" нет. Так что это вряд ли следует считать гравитационной волной... Разве что в каком-то "широком" смысле. Но тензор Римана там ненулевой.