Плотность энергии в классике
Значит оператор плотности энергии
Здесь Вы, случаем, не отождествляете, в частности,
с
? Это неверно! Тут КТП, а не КМ! Точнее немного не так. Можно, конечно, производную обозначить как
. Но это НЕ ЕСТЬ оператор импульса! Вообще в КТП ЛЮБЫЕ операторы должны быть выражены через операторы рождения и уничтожения. А производная просто "не умеет" действовать "на монстра Мунина". Действие производной на этот функционал неопределено. Так что написанные Вами выражения типа
это неизвестно что такое. Во всяком случае если
это действительно производная. Это просто бессмысленные буквы тогда.
Но в принципе, если не быть занудой, получить КТП-оператор импульса (да хоть бы и плотности импульса, но это как-то ни к чему) можно просто: возьмите соответсвующее выражение из классики (из теоремы Нетер) и подставьте в него вместо классического поля оператор поля.
-- Вс янв 27, 2013 22:59:09 --Примерно таким.
Раписываем
и так как вакуум у нас такой, что
, то первый, третий и четвертый член в
дадут нуль.
Значит
А... Вот что имеется в виду... В общем вроде даже и почти верно... Только коммутатор
и
это вовсе даже не единица
Хотя и ЧИСЛОВАЯ функция. Из под среднего вытащить можно. Но функция.
-операторы они же еще и пространственный аргумент имеют. Если не получается в уме (естественно по первости), то пишите везде явно аргументы. Вот дальше у частоты тоже должен быть аргумент
.
В общем здесь тогда уж не единица, а
. Ну чтож, плотность энергии вакуума действительно бесконечность. Хотя это лишь одно из слагаемых этой бесконечности. Не имеет это смысла. Имеет смысл, в частности, РАЗНИЦА между энергией одночастичного состояния (в виде какой волны? надо еще функцию
) и энергией вакуума. Вот это будет конечная величина.
-- Вс янв 27, 2013 23:15:25 --Так как
, то Фурье образ
должен быть
Ну вот это все подставьте в плотность гамильтониана и проинтегрируйте по пространству. Выглядит вроде верно (хотя я не проверял детали). Хотя... А общего
не будет? Впрочем, это смотря что понимать под буковкой
...
Вообще, если ориентироваться в основном на "как считать", то всякие там канонические импульсы, скобки Пуассона и пр. нужны в основном для того, чтобы получить выражение:
и коммутационные соотношения для, скажем так, а-операторов. Оператор записан в гайзенберговском представлении и вообще-то надо добавить под интеграл нормировочный (числовой, но зависящий от
) множитель
. Можете и не подставлять этот множитель, но тогда будут несколько нестандартные коммутационные соотношения, в них добавочный множитель "выскочит".
ВСЕ! После этого подставляйте этот оператор поля в любую классическую формулу и получайте соответствующий КТП-оператор. Ну а дальше как считать с помощью коммутирования и действия операторов уничтожения на вакуум (или рождения "влево" на вакуум) Вы, вроде, уже уловили.
Кстати, обратите внимание, что благодаря нормировочному множителю коммутатор полей в x-представлении это вовсе даже не дельта-функция (но дельто-образная сингулярность в нуле есть и этот факт использован выше при обсуждении бесконечности энергии вакуума). Это так называемая функция Паули-Иордана. Поэтому намного удобнее работать в k-представлении, в нем коммутационные соотношения радикально проще.