Релятивистская квантовая теория

[type2b]

степень, конечно

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #680340 писал(а):

Жаль, я надеялся на помощь в обнаружении и уяснении моих ошибок.

Когда-то очень давно я "набил себе много шишек" пытаясь устроить каноническое квантование ковариантным образом. Больше не хочется.

Есть другой аспект. Всеже изначально ветка посвещана изучению ортодоксальной КТП. А в ортодоксальной КТП операторы рождения/уничтожения нумеруются именно трехмерным (пространственным) волновым вектором. Во всяком случае в таком плане нумерацию этих операторов 4-вектором следует отнести к патологии.

Пожалуй, на этот счет можно сказать еще следующее. Обратите внимание, что образующими алгебры операторов являются именно $a({\bf k})$ и $a^+({\bf k})$ с трехмерным волновым вектором ${\bf k}$ и в фиксированный (!) момент времени (если в гайзенберговской картине). Все остальное ДОЛЖНО выражаться через них, "исходная точка" -- именно они а не что-то другое.

В конце-концов возмите один единственный осциллятор и попытайтесь что-нибудь вразумительное сделать с временными фурье-образами операторов рождения и уничтожения. Если добьетесь успеха -- расскажите. В КТП 3-волновой вектор имеет ясный смысл: он нумерует осцилляторы. А что нумерует 4-волновой вектор? Я не могу себе представить... Расскажите, если знаете. Я не знаю Ну хотябы для упрощенного случая: что нумеруют разные частоты в временных фурье-образах операторов рождения/уничтожения простого гармонического осциллятора? Он же, осциллятор, тут всего один, тут нумеровать просто нечего!

[Munin]

type2b
Тогда расшифруйте эту фразу, пожалуйста:

type2b в сообщении #680438 писал(а):

Возьмите осциллятор.

Alex-Yu в сообщении #680558 писал(а):

Когда-то очень давно я "набил себе много шишек" пытаясь устроить каноническое квантование ковариантным образом. Больше не хочется.

Шишки одного человека бесполезны для другого, это общеизвестно.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #680656 писал(а):

Тогда расшифруйте эту фразу, пожалуйста:

type2b в сообщении #680438 писал(а):
Возьмите осциллятор.

А чего тут расшифровывать? Осциллятор -- это 1-мерная КТП. Одно временное измерение и все. Откуда тут возмется целый континуум операторов рождения уничтожения? По Вашей идеологии вроде как должен быть такой континуум: каждой частоте фурье-образа соответствует своя пара операторов рождения/уничтожения. Но все мы знаем, что тут всего одна такая пара.

-- Ср фев 06, 2013 21:00:55 --

Munin в сообщении #680656 писал(а):

Шишки одного человека бесполезны для другого, это общеизвестно.

С этим трудно спорить. Только помочь этому другому тоже трудно. Ему надо набить свои шишки и в этом я не помощник, потому что не возможно это.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #680678 писал(а):

А чего тут расшифровывать? Осциллятор -- это 1-мерная КТП. Одно временное измерение и все. Откуда тут возмется целый континуум операторов рождения уничтожения?

Понял. Прошу тайм-аут.

Alex-Yu в сообщении #680678 писал(а):

Только помочь этому другому тоже трудно.

Не так уж трудно, если не повторять одно и то же своё, про свои шишки, а прислушаться к тому, что заботит этого другого. Впрочем, вы уже помогли, спасибо.

-- 06.02.2013 18:24:00 --

Alex-Yu в сообщении #680678 писал(а):

По Вашей идеологии вроде как должен быть такой континуум: каждой частоте фурье-образа соответствует своя пара операторов рождения/уничтожения. Но все мы знаем, что тут всего одна такая пара.

Впрочем, мы все знаем, что это так только в том случае, если удовлетворяются уравнения движения. А квантовая теория как раз должна их создать...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #680689 писал(а):

Впрочем, мы все знаем, что это так только в том случае, если удовлетворяются уравнения движения. А квантовая теория как раз должна их создать...

В том-то и дело, что как бы ни двигался этот осциллятор (или куча осцилляторов в случае "нормальной" КТП), а степеней свободы новых не появится. Сколько всего операторов -- это вопрос кинематики, а не динамики. Впрочем, не буду больше мешать обдумывать этот вопрос. По себе знаю: сколько ни разговаривай, а надо в итоге подумать самому.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #680698 писал(а):

В том-то и дело, что как бы ни двигался этот осциллятор (или куча осцилляторов в случае "нормальной" КТП), а степеней свободы новых не появится.

Я знаю два взгляда на степени свободы.
1. Поле $\varphi(x^0)$ как механическая система. Степеней свободы - бесконечно много, в каждой точке - $n.$
2. Поле $\varphi(x^\mu)$ как механическая система. Степеней свободы - вообще $n,$ зато формально считается, что осей времени - 4.
(Например, Медведев "Начала теоретической физики" § II.6)
Я думаю, второй вариант (у Медведева он назван лагранжевым в отличие от гамильтонова) можно проквантовать примерно как я набросал. Но ещё не додумал, тайм-аут ещё не кончился.

Насчёт осциллятора как 1-мерной КТП. Он удовлетворяет уравнению Шрёдингера, но его можно считать классическим уравнением движения, и заменить на квантовое по интегралу по траекториям. Тогда у нас получается как раз континуум операторов рождения-уничтожения.

Насчёт кинематики и динамики - на голономную связь можно смотреть кинематически, а можно динамически. Может быть, тут как раз этот случай? Удовлетворение уравнениям движения можно считать связью, задающей траекторию. Впрочем, связи - моё слабое место.

-- 06.02.2013 19:30:42 --

Munin в сообщении #680713 писал(а):

Насчёт осциллятора как 1-мерной КТП. Он удовлетворяет уравнению Шрёдингера, но его можно считать классическим уравнением движения, и заменить на квантовое по интегралу по траекториям. Тогда у нас получается как раз континуум операторов рождения-уничтожения.

Это зачеркнуть...

[EvilPhysicist]

Возвращаясь после долгого перерыва.
Я разобрался с тем как в классике вводятся положительно/отрицательно частотные компоненты для полей.
Так, для комплексного скалярного поля

$ \varphi(x)^\pm=\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int \cfrac{d \vec k}{\sqrt{2 p_0}} a^\pm(\vec k) e^{\mp i kx} $
$ \left(\varphi(x)^\ast \right)^\pm=\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int \cfrac{d \vec k}{\sqrt{2 p_0}} \tilde a^\pm(\vec k) e^{\mp i kx} $
$\left(a^\pm\right)^\ast=\tilde a^\mp $
Для энергии в классике получаю выражение
$ E= \cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k \cfrac{\omega}{2} \left( \tilde a^+(\vec k) a^- (\vec k) + \tilde a^-(\vec k) a^+(\vec k) \right) $
Первый вопрос: это верное выражение?

При квантовании, перехожу к операторам рождения-уничтожения, оператор энергии должен стать:
$\hat E = \cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k \cfrac{\omega}{2} \left( \tilde a^+(\vec k) a^- (\vec k) + \tilde a^-(\vec k) a^+(\vec k) \right)$
и хорошо бы это записать в нормальном упорядочении, но
$ \tilde a^+(\vec k) a^- (\vec k) + \tilde a^-(\vec k) a^+(\vec k) = 2 \tilde a^+(\vec k) a^- (\vec k) + \delta(0) $
и тут меня немного смущает $\delta$ - функция.
Второй вопрос: должна тут быть $\delta$ функция или нет?

В принципе, от неё можно избавится, переписав оператор энергии как
$\hat E = \cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k d \vec{k'} \cfrac{\omega}{2} \left( \tilde a^+(\vec k) a^- (\vec {k'}) + \tilde a^-(\vec {k'}) a^+(\vec k) \right) \delta(k-k')$
но тут, при приведению к нормальному упорядочению возникнет квадрат $\delta$ -функции, что ещё хуже.
Третий вопрос: можно ли так делать и нужно ли?

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #716500 писал(а):

Первый вопрос: это верное выражение?

Стрелочка обозначает 3-импульс? Тогда вроде правильно. Численный множитель перед интегралом только не помню какой должен быть. Ну дык посмотрите у Боголюбова-Ширкова.

-- Вс апр 28, 2013 15:16:27 --

EvilPhysicist в сообщении #716500 писал(а):

и тут меня немного смущает $\delta$ - функция.
Второй вопрос: должна тут быть $\delta$ функция или нет?

Каждый осцилятор имеет так называемую "энергию нулевых колебаний". Поскольку осциляторов бесконечно много, это дает бесконечный аддитивный вклад в энергию. Который надо выкинуть просто в силу того, что начало отсчета по энергии можно взять как угодно. Это же просто константа, хотя и бесконечная. Во всяком случае так в обычной теории, не учитывающей гравитацию.

Можно еще и иначе рассуждать. Переход от классики к квантам определен не полностью, лишь с точностью до порядка сомножителей. Порядок сомножителей устанавливаем из физических требований. В данном случае это требование, чтобы средняя энергия вакуума была равна нулю. Тогда все операторы уничтожения должны быть справа, а рождения -- слева.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #716576 писал(а):

Ну дык посмотрите у Боголюбова-Ширкова.

У Боголюбова-ширкова(Квантовые поля, 1980) нету множителя $\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32}$, но это потому, что там по другому определено преобразование фурье. Но вот для квантовой теории у него в главе II, параграф 8 написано

$$ P^\nu= \int d \vec k ~ k^\nu \left[ \varphi^{\ast+} (\vec k) \varphi^-(\vec k)+\varphi^+(\vec k) \varphi^{\ast-}(\vec k) \right] $$

Или я чего-то не понимаю в его обозначениях, или там опечатка.

Если возвращаться к моим выкладкам и брать энергию в написанном мной виде

EvilPhysicist в сообщении #716500 писал(а):

$\hat E = \cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k \cfrac{\omega}{2} \left( \tilde a^+(\vec k) a^- (\vec k) + \tilde a^-(\vec k) a^+(\vec k) \right)$

то собственная энергия будет
$\varepsilon_0=\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k ~ \cfrac{\omega}{2} \delta(0)$
Но тогда для одночастичного состояния
$\left\lvert \text{state} \right\rangle = \cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int \cfrac{d \vec p}{\sqrt{2p_0}} a^+(\vec p) \lvert 0 \rangle e^{-i px}$
энергия должна быть равна
$\begin{matrix}E=\left\langle \text{state} \right\rvert \hat E \left\lvert \text{state} \right\rangle = \\ = \cfrac{1}{(2\pi)^3} \int \cfrac{d \vec p ~ d \vec {p'}}{2\sqrt{p_0 p_0'}} \langle 0 \rvert \tilde{a^-}(\vec {p'}) \cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int d \vec k \cfrac{\omega}{2} \left( \tilde{a^+}(\vec k) a^- (\vec k ) + \tilde{a^-}(\vec k) a^+(\vec k) \right) a^+(\vec p) \lvert 0 \rangle e^{-i(p'-p)x}= \\ =\cfrac{1}{(2\pi)^3} ~\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int \cfrac{d \vec p ~ d \vec {p'} d \vec k}{2\sqrt{p_0 p_0'}}~\cfrac{\omega}{2} \langle 0 \rvert \left[ \delta(0) \tilde{a^-}(\vec {p'}) a^+(\vec p) + 2 \tilde{a^-}(\vec{p'}) \tilde{a^-}(\vec k) a^+(\vec k) a^+(\vec p) \right] e^{-i(p'-p)x} = \\ =\cfrac{1}{(2\pi)^3} ~\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32} \int \cfrac{d \vec p ~ d \vec {p'} d \vec k}{2\sqrt{p_0 p_0'}}~\cfrac{\omega}{2} \langle 0 \rvert \left[ \delta(0) \delta(\vec{p'}-\vec p)+ 2\{ \delta(\vec{p'}-\vec p) \delta(0) + \delta(\vec{p'}-\vec k) \delta(\vec k - \vec p) \} \right] e^{-i(p'-p)x} = \\ =\cfrac{1}{(2\pi)^3} ~\int \cfrac{d \vec p ~ d \vec k}{2 p_0}~\cfrac{\omega}{2} \langle 0 \rvert \left[ \delta^2(0)+ 2\{ \delta^2 (0) + \delta(\vec{p}-\vec k) \delta(\vec k - \vec p) \} \right] = \\ \end{matrix}$
и тут меня очень смущают квадраты $\delta$-функции от нуля. Все так и должно быть или где-то ошибка?

[warlock66613]

EvilPhysicist в сообщении #716669 писал(а):

и тут меня очень смущают квадраты $\delta$-функции от нуля. Все так и должно быть или где-то ошибка?

Вроде всё так. Одна дельта-функция - из-за бесконечности энергии нулевых колебаний, вторая - из-за бесконечности объёма системы и нефизического (ненормируемого) одночастичного состояния.

-- 28.04.2013, 16:25 --

Перед тем как считать энергию одночастичного состояния желательно избавиться хотя бы от одной дельта-функции, иначе как-то совсем некорректно всё получается.

[EvilPhysicist]

warlock66613 в сообщении #716686 писал(а):

Перед тем как считать энергию одночастичного состояния желательно избавиться хотя бы от одной дельта-функции

Как?

[warlock66613]

1) Сказать, что операторы рождения-уничтожения должны располагаться в нормальном порядке, расположить их так, и выкинуть бесконечную константу из гамильтониана как ненаблюдаемую
2) Поместить всю систему в большой, но конечный ящик, наложить периодические граничные уловия (интегралы при этом превратятся в суммы).
3) Сказать, что одночастичные волновые функции - это функции с конечной нормой, а функции типа $e^{ikx}$ выкинуть из гильбертова пространства вообще (при этом ими всё равно можно пользоваться в расчётах просто как функциями, а вот энергию для соответсвующего состояния считать некорректно). Операторы вроде $\hat{a}^+_{\vec{k}}$ также остаются, просто у них не будет собственных векторов, но это не страшно.

(2) и (3) как я понимаю взаимозаменяемы - достаточно одного

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #716669 писал(а):

У Боголюбова-ширкова(Квантовые поля, 1980) нету множителя $\cfrac{1}{(2\pi)^\frac32}$, но это потому, что там по другому определено преобразование фурье.

Фурье-преобразование, естественно, можно определять по разному. Но если Вы определили иначе чем БШ, то у Вас и коммутационные соотношения будут другие, с дополнительным множителем. Одно другое компенсирует при вычислении наблюдаемых величин, например энергии.

А вообще правильно Вам подсказали: с ящиком и периодическими граничными условиями все как-то проще, и легче интерпретировать физически. Хотя, конечно, можно и с фурье-интегралами, но возникают более сингулярные объекты.

[SergeyGubanov]

Alex-Yu в сообщении #680558 писал(а):

Обратите внимание, что образующими алгебры операторов являются именно $a({\bf k})$ и $a^+({\bf k})$ с трехмерным волновым вектором ${\bf k}$ и в фиксированный (!) момент времени (если в гайзенберговской картине). Все остальное ДОЛЖНО выражаться через них, "исходная точка" -- именно они а не что-то другое.

Более того, трёхмерное пространство на котором живут $k_x$, $k_y$, $k_z$ не евклидово. Массовая поверхность - трёхмерное однородное изотропное пространство постоянной отрицательной кривизны -- псевдосфера.

В литературе массовую поверхность часто называют гиперболоидом, забывая, что она строится не в евклидовом, а в псевдоевклидовом пространстве:

$$ d \mu^2 = d \omega^2 - d k_x^2 - d k_y^2 - d k_z^2 $$

$$ \omega = \pm \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} $$

Подставляем одно в другое и получаем $h_{i j} (k)$ - индуцированную трёхмерную метрику массовой поверхности:

$$ -h_{i j} (k) \, dk^i dk^j = d \mu^2|_{\omega = \pm \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}} $$

В координатах $k_x$, $k_y$, $k_z$ метрика массовой поверхности такова:

$$ h_{i j}(k) \, dk^i dk^j = d k_x^2 + d k_y^2 + d k_z^2 - \frac{\left( k_x d k_x + k_y d k_y + k_z d k_z \right)^2}{m^2 + k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} $$

Скалярная кривизна вычисленная по этой метрике: $R = - 6 / m^2$. Это псевдосфера радиуса $m$. Квадратный корень из детерминанта метрического тензора $\sqrt{h(k)}$ определяет инвариантную меру интегрирования по трёхмерной массовой поверхности. В координатах $k_x$, $k_y$, $k_z$ мера интегрирования:

$$ \sqrt{h(k)} \, d_3 k = \frac{m}{\sqrt{m^2 + k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}} \, dk_x \, dk_y \, dk_z. $$

То же самое в угловых координатах $\chi$, $\theta$, $\varphi$ (здесь уже становится очевидно, что это псевдосфера):

$$ k_x = m \sinh(\chi) \sin(\theta) \cos(\varphi), \quad k_y = m \sinh(\chi) \sin(\theta) \sin(\varphi), \quad k_z = m \sinh(\chi) \cos(\theta), $$

$$ h_{i j}(k) \, dk^i dk^j = m^2 \left( d \chi^2 + \sinh(\chi)^2 \left( d \theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \right), $$

$$ \sqrt{h(k)} \, d_3 k = m^3 \sinh(\chi)^2 \sin(\theta) \, d\chi \, d\theta \, d\varphi. $$

--------

Теперь про нормировку операторов рождения $a^{\dag}(k)$ и уничтожения $a(k)$.

Нормировку было бы логично задавать ковариантно (используемой системе координат на массовой поверхности). Например, следующие интегралы не зависят от системы координат введённой на массовой поверхности:

$$ \int f(k) \left[ a(k), a^{\dag}(k') \right] \sqrt{h(k)} \, d_3 k = f(k'), \eqno(1) $$

$$ \int f(k') \left[ a(k), a^{\dag}(k') \right] \sqrt{h(k')} \, d_3 k' = f(k). \eqno(1') $$

Здесь $f(k)$ - произвольная непрерывная функция (пробная функция). Формулы (1) и (1') определяют нормировку операторов рождения и уничтожения способом не зависящим от используемой на массовой поверхности системы координат.

Аналогично для $\langle k | k' \rangle$:

$$ | k \rangle = a^{\dag}(k) \, | 0 \rangle, $$

$$ \langle k| = \langle 0 | \, a(k). $$

$$ \int f(k) \, \langle k | k' \rangle \sqrt{h(k)} \, d_3 k = f(k'), \eqno(2) $$

$$ \int f(k') \, \langle k | k' \rangle \sqrt{h(k')} \, d_3 k' = f(k). \eqno(2') $$

Поэтому

$$ \left[ a(k), a^{\dag}(k') \right] = \langle k | k' \rangle. $$

Гамильтониан:

$$ H = \int \omega(k) \, a^{\dag} (k) \, a(k) \sqrt{h(k)} \, d_3 k, $$

$$ H | k_1, \ldots, k_n \rangle = \left( \omega(k_1) + \ldots + \omega(k_n) \right) | k_1, \ldots, k_n \rangle. $$

Мне остаётся лишь удивляться почему нормировка (1) не используется в литературе по КТП...