Релятивистская квантовая теория

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676421 писал(а):

Как тогда считают?

А я выше добавил как Средние по вакууму от произведений полевых операторов можно посчитать без обращения к явному виду вакуумного "волнового функционала". Точно также, как для гармонического осциллятора можно "обойти" явный вид волновой функции основного состояния. Оказывается достаточно лишь того, что понижающий оператор, действуя на основное состояние, дает нуль (собственно этим основное состояние и ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ). Вот и выражаем все через операторы рождения и уничтожения и коммутируем их пока какой-нибудь оператор уничтожения не подействет на вакуум. В итоге останутся лишь средние по вакууму от коммутаторов. Но коммутатор -- просто число, его среднее берется тривиально.

Можно еще операторы рождения коммутировать не "направо", а "налево". Но это ($\langle 0|a^+=0$) просто эрмитово сопряжение от равенства $a | 0\rangle=0$.

Есть, конечно, и более изощренные методы (например квантование над нетривиальной классической полевой конфигурацией) но не все так уж сразу. Это уже, в какой-то мере, экзотика. Вообще КТП не такая простая наука, чтобы в двух словах рассказать.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #676422 писал(а):

Средние по вакууму от произведений полевых операторов можно посчитать без обращения к явному виду вакуумного "волнового функционала"

Так, то есть
1) методом Швингера считают $\langle 0 \rvert \hat \psi \lvert 0\rangle$, $\langle 0 \rvert \hat \pi \lvert 0\rangle$, $\langle 0 \rvert \hat a^+ \lvert 0\rangle$, $\langle 0 \rvert \hat a \lvert 0\rangle$.
2) Вычисление любой величины сводят к полученным вакуумным средним
так?

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676426 писал(а):

так?

См. выше. Я не могу так сразу, редактировать пост приходится.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #676413 писал(а):

Который, кстати, вовсе даже и не интеграл по траекториям (как в КМ) а интеграл по полевым конфигурациям

Точнее, он интеграл по траекториям в пространстве полевых конфигураций. По полевым конфигурациям там происходят промежуточные интегрирования.

Тоже жутко многомерная штука, не сразу в голове укладывается.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676426 писал(а):

1) методом Швингера считают $\langle 0 \rvert \hat \psi \lvert 0\rangle$, $\langle 0 \rvert \hat \pi \lvert 0\rangle$, $\langle 0 \rvert \hat a^+ \lvert 0\rangle$, $\langle 0 \rvert \hat a \lvert 0\rangle$.

Все, что Вы тут написали, это просто нули (для тривиального, "обычного" вакуума). Сразу очевидно, если представить через операторы рождения и уничтожения. Не нули получатся при взятии среднего минимум от квадратичных функций полей. Собственно через эти вакуумные средние от квадратичныых форм от полей и выражается ВСЕ в итоге! Во всяком случае в пертурбативной (т.е. использующей теорию возмущений) КТП. Непертурбативная КТП -- это уже очень экзотика. Про нее толком и почти ничего и не известно никому. Собственно все, что называют непертурбативными вычислениями в КТП, это некие частичные суммирования пертурбативных разложений все равно. Ну почти так

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #676426 писал(а):

2) Вычисление любой величины сводят к полученным вакуумным средним
так?

Так.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #676418 писал(а):

Правила вычисления наблюдаемых в КТП такие же как в КМ. В том смысле, что $A_\text{наблюдаемое значение}=\langle state \rvert \hat A \lvert state \rangle$?

Да.

EvilPhysicist в сообщении #676418 писал(а):

Но мне будет куда приятнее, если вы мне расскажете о "меркантильной" стороне - как посчитать.

А вот за этим - в те книжки, которые вы читаете. Теперь их надо читать, и всё это держать в голове, чтобы понимать формулы, которые там пишут.

EvilPhysicist в сообщении #676418 писал(а):

А лучше ответьте на вопрос. Рас уж вектор состояния системы в КТП - функционал, то записать явно мы его не можем. Но каждому функционалу можем сопоставить обобщенную функцию.

Впервые слышу, что функционалу можно сопоставить обобщённую функцию.

EvilPhysicist в сообщении #676418 писал(а):

Пусть $\psi_\text{state}$ - вектор состояния $\lvert state \rangle$, записанный как обобщенная функция. Получается $\langle \text{state B} \rvert \text{state A} \rangle$ - это свертка $\psi_\text{state B} * \psi_{\text{state A}}$? Соответсвенно наблюдаемое значение $\langle state \rvert \hat A \lvert state \rangle$ это свертка $\psi_\text{state} * (\hat A \psi_\text{state})$? А матричные элементы $\langle \text{state B} \rvert \hat A \lvert \text{state A} \rangle $ это свертка $\psi_\text{state B} * (\hat A \psi_\text{state A})$.

Всё так, и это обычные соотношения между "языком" волновых функций и бра-кет-обозначениями. Только звёздочку ставят верхним индексом, и это интеграл, а не свёртка... :-) И звёздочка означает комплексное сопряжение. Вы с доски, что ли, списывали?

-- 26.01.2013 16:59:28 --

EvilPhysicist
Вы вопрошаете "как считать", а у меня встречный вопрос - а что вы хотите посчитать?
Есть способ построить любое состояние поля - "волновой функционал", МОНСТР. Например, через операторы рождения, применённые к вакууму.
Есть способ построить любой оператор - выразить его через операторы рождения-уничтожения или в другом базисе.
Есть способ применить эти операторы к состояниям - просто приписать одну формулу к другой, и заняться упрощениями.

Но это ещё не задачи КТП. В задачи КТП входит, например, рассчитать, как фотон рассеивается на электроне (эффект Комптона). Для этого нужно вычислить некоторый оператор из других операторов. (Этот оператор, в некотом матричном представлении, называется матрицей рассеяния или S-матрицей (от scattering).) И вот этому как раз посвящена бОльшая часть КТП.

-- 26.01.2013 17:08:00 --

EvilPhysicist
Например, можете вернуться к своему собственному посту post675967.html#p675967 , и попробовать написать его заново. Ведь формулы-то вы же откуда-то брали...

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):

4)Для вычисления любой величины, подставить туда $\psi$ в виде $\psi=\sum\limits_{\vec k} a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$. Заменить все, что нужно, на операторы, а $u_{\vec k}, u_{\vec k}^\ast$ на $\lvert u_{\vec k} \rangle, \langle u_{\vec k} \rvert$.

Вот как раз пример ерунды, связанный с тем, что перепутаны волновая и полевая функции! Амплитуды $a$ и $a^+$ на операторы заменить надо. Но вот $u$ ни на что заменять не надо! Волновая функция (точнее волновой функционал) не имеет никакого (!) отношение ни к $u$ ни к $\psi$.

-- Сб янв 26, 2013 21:54:19 --

Munin в сообщении #676439 писал(а):

Есть способ построить любое состояние поля - "волновой функционал", МОНСТР. Например, через операторы рождения, применённые к вакууму.
Есть способ построить любой оператор - выразить его через операторы рождения-уничтожения или в другом базисе.
Есть способ применить эти операторы к состояниям - просто приписать одну формулу к другой, и заняться упрощениями.

Тоже верно. Но важно то, что в итоге все сводится к средним по вакууму от произведения операторов рождения и уничтожения. А последние сводятся к тривиальным средним от коммутаторов, поскольку $\langle 0 |a^+=a | 0 \rangle =0$. И нет при этом НИКАКОГО дела до того, как явно представить волновой функционал $| 0 \rangle$. Не надо это Собственно в этом, как я понял, все и трудности топикстартера. У меня самого были точно такие же трудности в молодости

[Munin]

Итак, третья часть Марлезонского балета - "фейнмановское квантование" aka "фейнмановский интеграл по траекториям".

Здесь мы сначала будем пользоваться аналогией с полем, как в первой части, а потом аналогией с частицами, как во второй части.

Итак, представим себе обычную классическую механическую систему. Её можно описать состоянием - точкой и скоростью в конфигурационном пространстве. Но можно взглянуть на эволюцию системы в целом - тогда мы имеем дело с линией в пространстве "конфигурационное $\times t$". Мы знаем, что такая линия удовлетворяет экстремальности действия $\delta S\equiv\delta\int L\,dt=0.$ Когда мы квантуем систему, на квантование можно взглянуть по-разному. Шрёдингеровский взгляд - это состояние заменяется на функцию в конфигурационном пространстве $\psi(q_i),$ а дальше мы имеем какой-то закон изменения этой функции со временем. А можно рассмотреть квантование принципа наименьшего действия - фейнмановскую сумму по путям. В этом случае, мы начинаем движение с одной классической точки в конфигурационном пространстве, и заканчиваем тоже в одной точке, через заданный интервал времени. А вот в промежутке мы можем двигаться по каким угодно линиям в нашем "конфигурационное $\times t$" пространстве, и что мы из этого движения получаем - амплитуду $e^{iS},$ с которой мы прибываем в конечную точку. Потом мы эти амплитуды складываем. Что происходит? Мы прошли по двум близким кривым линиям, далёким от экстремали - и они дали амплитуды, далёкие по фазе, и их вклад в результат сократился. А когда мы идём по линии рядом с экстремалью - фазы меняются медленно, и вклады не сокращаются, а складываются. Вот так и получается, что реальная классическая частица движется по линии экстремального действия и по её небольшой окрестности.

Теперь мысленно разрежем эту картину в промежуточный момент времени. У нас получится, что каждая линия разрезана, и надо сохранить информацию о каждой начавшейся линии, чтобы потом её продолжить. К счастью, поскольку мы суммируем потом вклады всех линий, можно вычислить для каждой точки конфигурационного пространства только по одному числу - потому что все линии, проходящие через эту точку, можно считать состоящими из двух половинок, передней и задней, по которым мы суммируем независимо. Таким образом, у нас получается в какой-то промежуточный момент времени волновая функция, как у Шрёдингера. Но надо понимать, что она - только сечение более полной картины, начавшейся в одной точке пространства "конфигурационное $\times t$", и закончившейся в другой.

Собравшись с духом, переходим от квантовой механики к квантовой теории поля. Это мы знаем, как делается: наше конфигурационное пространство становится бесконечномерным пространством состояний поля (полевых конфигураций), разные координаты которого нумеруются точками "обычного" пространства, или, после преобразования Фурье, точками пространства волновых векторов. Добавляем время. Отмечаем в этом пространстве "конфигурационное $\times t$" начальную и конечную точки, и проводим между ними линии. Одна линия - экстремаль классического действия $\delta S\equiv\delta\int\mathcal{L}\,dx^4=0$ - соответствует классическим уравнениям поля и классической эволюции поля. В нём, как положено, заряды испускают силовые линии, ходят волны, и всё такое. Но теперь нам не запрещены все остальные линии - отвечающие какой угодно эволюции поля $\varphi(x^{\mu}).$ Единственное, что мы с них имеем - это амплитуды, $e^{iS}.$ И потом мы эти амплитуды складываем. И обнаруживаем, что эволюция поля около классической - получает преимущества, а все далёкие - взаимно сокращаются.

Если мы теперь эту картину разрежем по какому-то моменту времени, и аналогично соберём информацию, которую нам надо в этот момент времени иметь, то увидим, что в сечении - наш уже знакомый МОНСТР. Квантовое состояние поля. А если эту картину не разрезать, то вся в целом она - СУПЕРМОНСТР. А почему её не стоит разрезать? Потому что у нас тогда задёшево получается релятивистская инвариантность. Мы рассматривали начальное состояние поля на некоторой начальной пространственной плоскости $t=t_1,$ а конечное - на другой $t=t_2,$ а разрезали по третьей. Но точно так же мы можем взять просто какую-то область в пространстве-времени, хоть тот же прямоугольник, но после буста, а хоть в форме чемодана. И тоже сказать, что у нас на границах этой области поле какое-то заданное, а внутри - берутся любые эволюции конфигураций, со своими амплитудами. Тогда мы сможем найти, например, квазиклассическую эволюцию внутри этой области. На самом деле, по старому рецепту: взяв экспоненты, и всё сложив. Запомним это, оно нам полезно.

Теперь вспомним про частицы. Теперь мы можем поставить такую задачу: летел себе одинокий-одинокий электрон (одночастичное состояние в картине вторичного квантования). И вот ему встретился другой одинокий электрон (или, скажем, фотон). Что-то с ними произошло, потом они разлетелись, и вдали друг от друга опять полетели свободно и одиноко. Это типичная задача рассеяния, одна из основных в физике элементарных частиц, потому что основной эксперимент, которой в ней ставится - это столкновение частицы об частицу в ускорителе. Как мы переведём эту задачу на язык фейнмановской картины? Начальное состояние - это начальное состояние поля. Мы его можем задать: возьмём волновой пакет ограниченных размеров, и помножим на операторы рождения одной частицы, потом другой волновой пакет, и помножим на операторы рождения другой частицы. Точно так же, мы можем задать и конечное состояние, которое нам нужно, только с операторами уничтожения. А дальше, мы позволяем "траекториям" в промежутке иметь какую угодно форму, и только следим за тем, какие получаются амплитуды.

Что у нас получится? С некоторой вероятностью (точнее, с некоторой амплитудой), частицы просто пролетят одна мимо другой. Но нас интересует квантовая задача, и мы должны перебирать следующие варианты, авось они дадут вклады в сумму, окажущиеся существенными и интересными поправками. С некоторой вероятностью частицы столкнутся и разлетятся. Это, положим, будет в одной точке пространства-времени - поскольку речь идёт о полях, то это означает, что в одной точке пространства-времени мы сначала действуем операторами уничтожения исходных частиц, а потом операторами рождения разлетающихся. Но поскольку у нас траектории произвольные, то мы должны взять интеграл по всем точкам пространства-времени. Дальше возникает следующая мысль: а после того, как они столкнулись и разлетелись, мы снова имеем две частицы, и что мешает им столкнуться снова? Это приводит к следующему варианту - с двумя точками столкновения - которые тоже надо проинтегрировать по всему пространству. И что, нам брать бесконечную сумму от таких вариантов? Да, поскольку мы должны брать сумму по всем траекториям - поэтому и по всем сценариям. К счастью, во многих КТП, например, в КЭД, оказывается, что чем более сложный сценарий, тем на меньшее число умножается его вклад в общую сумму, так что мы получаем не просто мешанину из всего что попало, а сходящийся ряд с быстро убывающими членами. Этот ряд называется рядом теории возмущений, а отдельные "сценарии" обычно рисуют на бумажке линиями, и называют фейнмановскими диаграммами.

В общем, рассказать чисто технику этого дела - как рисовать и считать фейнмановские диаграммы - можно вообще без упоминания МОНСТРА и СУПЕРМОНСТРА. Но они там всё равно присутствуют, на заднем плане.

-- 26.01.2013 19:12:18 --

Alex-Yu в сообщении #676472 писал(а):

И нет при этом НИКАКОГО дела до того, как явно представить волновой функционал $| 0 \rangle$. Не надо это :-)

Хуже того, попросту невозможно...

-- 26.01.2013 19:14:32 --

(Оффтоп)

Ну вот, не знаю, как EvilPhysicist, а я лично доволен, считаю, что не зря потратил субботу :-)

Хотя, конечно, всхожесть семян очень волнует.

-- 26.01.2013 19:16:08 --

(Оффтоп)

Если бы кто-нибудь рассказал (в таком же стиле :-) ) про алгебры Хопфа в теории перенормировок, я бы с удовольствием сам прочитал...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676476 писал(а):

Хуже того, попросту невозможно...

Ну почему же... В принципе для бозонов можно как симметризованное произведение бесконечного числа волновых функций основного состояния осциллятора (каждый из сомножителей -- простой гауссиан, однако ). Но вот не нужно -- это точно. Прямолинейное взятие бесконечного числа даже довольно простых интегралов потребует бесконечного времени. Ну если совсем уж прямолинейно, конечно

[Munin]

А вот кстати. Возьмём такую величину, как среднее значение, скажем, электрического поля в маленьком шарике. Оно разойдётся или нет?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676482 писал(а):

А вот кстати. Возьмём такую величину, как среднее значение, скажем, электрического поля в маленьком шарике. Оно разойдётся или нет?

Да вроде как просто ноль Среднее по вакууму, естественно. Разойдется квадрат поля.

[Munin]

Не как среднее, а как распределение амплитуд. Разойдётся, да? Жаль...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676491 писал(а):

Не как среднее, а как распределение амплитуд. Разойдётся, да? Жаль...

Ну в этом смысле, пожалуй, и не разойдется. Проинтегрировав по шарику мы подавим коротковолновые компоненты. Вроде должна получиться, на вскидку, гауссовская случайная величина с конечной дисперсией и нулевым средним. А вот если СНАЧАЛА возведем в квадрат, а ПОТОМ будем интегрировать по шарику, то тогда -- бесконечность. По той простой причине, что в "смешанных" членах (оператор рождения на оператор уничтожения) $e^{ikx}$ и $e^{-ikx}$ друг друга "сожрут".

[Munin]

Спасибо. Я опять перестал бояться :-)