Теорема Ферма и теорема косинусов

[klitemnestr]

Уважаемый Someone!
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$: $25^4+36^4=2070241 =(37,9319549...)^4 $.
$P.S.$ Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

[Cash]

Может. И здесь уже было показано, что существование решений уравнения для $n=4$ равносильно существованию треугольника с целочисленными сторонами, в котором выполняется равенство
$4(a^2+b^2)ab\cos\gamma -2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)=0$
И было сказано, что ни к чему хорошему это не приведет.
И доказательство не будет проще (если будет вообще!) известного вполне элементарного доказательства для случая $n=4$

[Someone]

klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):

Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$

Ну и что? Во-первых, Вы пишете теорему косинусов для $a$, $b$, $c$, а не для $a^2$, $b^2$, $c^2$, так что стороны не обязаны быть квадратами. Во-вторых, из того, что данный конкретный набор чисел не удовлетворяет уравнению, не следует, что и никакой другой набор не удовлетворяет уравнению.

[Cash]

klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):

приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$:

Уже 3 с половиной сотни лет известно, что и не найдется таких чисел...
Есть какие-нибудь свежие идеи?

[Belfegor]

Cash в сообщении #612970 писал(а):

Есть какие-нибудь свежие идеи?

Уважаемый Cash! За 3 с половиной сотни лет после Эйлера, Куммера, Софи Жермен? Ну уж вряд ли
Хотя дискуссия была чрезвычайно полезной!

-- Пт авг 31, 2012 18:36:29 --

Но вот интересная цитата от Серпински:
"Для случая $n=3$ из Великой теоремы Ферма А.Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты - кубы целых чисел."
Кто-нибудь видел это доказательство? Используется ли в нем теорема косинусов?

[Yarkin]

klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):

Уважаемый Someone!
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$: $25^4+36^4=2070241 =(37,9319549...)^4 $.
$P.S.$ Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

Может, только при этом из теоремы косинусов получится условие, при котором это будет возможно. А это условие будет невыполнимо.

[klitemnestr]

Cash-y
Разность между числами может быть равна $0$, если это:
1. Равные по величине целые числа. В рассматриваемом случае $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ являются целыми числами, если угол $\gamma=60^0$. При этом имеем: $2(a^2+b^2)ab-3a^2b^2 =z$, где $z$ в данном случае не равно нолю.
2. Равные по величине рациональные дробные числа. В рассматриваемом случае величины $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ содержат единственный общий делитель $2ab$, и, главное, содержат $\cos\gamma$ и $\cos^2\gamma$ соответствено. Поэтому они не могут быть преобразованы в равные по величине рациональные дробные числа.
Следовательно, величина $z=4(a^2+b^2)ab\cos\gamma-2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ может с какой угодно точностью приближаться к нолю, но никогда не равна нолю.
Кстати: Величина $z$ преобразуется следующим образом: $z= 4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]-2a^2b^2$. Получается, что из дробного числа вычитается целое число. Так что число $z\ne0$.

[Someone]

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):

Разность между числами может быть равна $0$, если это:
1. Равные по величине целые числа.

Совершенно не обязательно целые. Целыми должны быть $a$, $b$, $c$. По условию. Про любые другие нужно доказывать, что они целые. У Вас же доказательства нет, только голословное заявление.

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):

В рассматриваемом случае $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ являются целыми числами, если угол $\gamma=60^0$.

А если угол не 60°?

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):

В рассматриваемом случае величины $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ содержат единственный общий делитель $2ab$, и, главное, содержат $\cos\gamma$ и $\cos^2\gamma$ соответствено. Поэтому они не могут быть преобразованы в равные по величине рациональные дробные числа.

Чушь на уровне школьника младших классов.

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):

Следовательно, величина $z=4(a^2+b^2)ab\cos\gamma-2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ может с какой угодно точностью приближаться к нолю, но никогда не равна нолю.

Определите угол $\gamma$ формулой, которую Вам уже писали, и получите точное равенство нулю.

[klitemnestr]

Для Someone
Посмотрите дополненный текст моего последнего сообщения.

[Someone]

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):

Кстати: Величина $z$ преобразуется следующим образом: $z= 4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]-2a^2b^2$. Получается, что из дробного числа вычитается целое число.

Чушь на совершенно детском уровне. С чего Вы взяли, что число $4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]$ дробное? $2ab\cos\gamma=a^2+b^2-c^2$ - целое число.

[Shadow]

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):

Cash-y
Разность между числами может быть равна $0$, если это:
1. Равные по величине целые числа. В рассматриваемом случае $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ являются целыми числами, если угол $\gamma=60^0$.

Т.е $\cos\gamma=\frac 1 2$. А если $\cos\gamma=\frac 1 3?$ Или 7/23 или 125/468?

[klitemnestr]

Для Someone
Допустим, что $z=0$. Тогда из приведенной мною выше формулы $c^4=a^4+b^4-z$, полученной возведением в квадрат уравнения теоремы косинусов, следует, что $c^4=a^4+b^4$ для любых чисел [a, b].

[Someone]

Да, следует. А в чём проблема?

[klitemnestr]

Проблема в том, что до сих пор не найдено целочисленное решение уравнения
$c^4=a^4+b^4$. Наоборот, доказано, что это уравнение не имеет решения в целых числах.

[Someone]

klitemnestr в сообщении #613740 писал(а):

Проблема в том, что до сих пор не найдено целочисленное решение уравнения
$c^4=a^4+b^4$.

Мало ли чего не найдено. Это, с точки зрения необходимости доказательства, ничего не значит.

klitemnestr в сообщении #613740 писал(а):

Наоборот, доказано, что это уравнение не имеет решения в целых числах.

Вы ведь именно это хотите доказать. Поэтому ссылаться на это не имеете права. Если Вы доказываете какую-нибудь теорему, то Вы не имеете права ссылаться на то, что она верна.

Это всё означает в данном случае, что Вы не имеете права произносить слова "числа $a$, $b$, $c$ не могут быть целыми все одновременно". До тех пор, пока не закончите доказательство.