2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 19  След.
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение09.08.2012, 09:42 


23/02/12
3066
vicvolf в сообщении #604166 писал(а):
[по Мертенсу (Бухштаб стр. 355) при $x=p_r$ получаем:
П$(1-{p_i}^{-1}) \sim e^{- c}/\ln p_r$, где с-постоянная Эйлера.

Исходя из этой формулы, пытаюсь получить нужную асимптотику по r.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение09.08.2012, 12:32 


23/02/12
3066
Цель этого. Определить, как растет пробел:
$p_{n+1}-p_n<(p_n)^{u+\epsilon}$, где υ=0,525, а $n=0,5\varphi(M)=4\cdot6...p_r-1$, так как при больших M максимальный пробел между вычетами достигается близко к 0,5M.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение09.08.2012, 14:23 


31/12/10
1555
По-моему, нет необходимости так близко приближаться
а гипотезе Лежандра. Надо брать просто
$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$.
Мне не понятно, как вы получили
$n=0,5\varphi(M)=4\cdot 6\cdot ,...(p_{r-1})$.
и почему $d_{\max}\rightarrow 0,5M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение09.08.2012, 16:28 


23/02/12
3066
vorvalm в сообщении #604446 писал(а):
Мне не понятно, как вы получили
$n=0,5\varphi(M)=4\cdot 6\cdot ,...(p_{r-1})$.

$0,5\varphi(M)=0,5(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)...(p_r-1)=4\cdot 6\cdot...(p_r-1)$
Цитата:
и почему $d_{\max}\rightarrow 0,5M$.

Нет, это просто $d_{\max}$ находится вблизи 0,5M для больших М

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение10.08.2012, 09:27 


31/12/10
1555
vicvolf в сообщении #604489 писал(а):
Нет, это просто $d_{\max}$ находится вблизи 0,5M для больших М


На чем основано это заявление ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение10.08.2012, 11:09 


23/02/12
3066
vorvalm в сообщении #604665 писал(а):
На чем основано это заявление ?

Начиная с m=2310 максимум первых разностей для данного модуля находится ближе к значению 0,5m и находится между вычетами 113 и 127 (имеется также симметричное значение относительно 0,5m), но еще меньше значения $p^2_{r+1}=169$.
При увеличении значения m максимум первых разностей находится все ближе к значению 0,5m. Например, для $m=30030=2\cdot3...13$ максимум первых разностей уже находится между вычетами 9439 и 9461, уже значительно больше $p^2_{r+1}=289$ (имеется также симметричное значение относительно 0,5m) и.т.д.
Меня в принципе не интересует точное положение максимума первых разностей, так как я величину 0,5m использую только для верхней оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение10.08.2012, 12:04 


31/12/10
1555
Приведенные разности не являются максимальными при $M>19\#$
и мы не знаем, где они находятся в ПСВ.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение11.08.2012, 07:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vicvolf в сообщении #603576 писал(а):
Как найти асимтотику роста числа членов ПСВ не превосходящих половину модуля, т.е функции:
$0,5\varphi(m)$, где $m=2\cdot3...p_r$
Тут $\sqrt[r]{p_1...p_r}\sim\frac{r\ln r}{e}$ и формула Мертенса $\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение11.08.2012, 09:03 


31/12/10
1555
Да, если принять $x=p_r,$ то
$\varphi(M)\sim CM$/\ln{p_r}, где $C=e^{-\gamma}$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение11.08.2012, 09:59 


23/02/12
3066
Sonic86 в сообщении #604971 писал(а):
Тут[/url] $\sqrt[r]{p_1...p_r}\sim\frac{r\ln r}{e}$

Как она получается? Из нее получается $m\sim r^r ln^r(r)/e^r$.

-- 11.08.2012, 10:15 --

vorvalm в сообщении #604984 писал(а):
Да, если принять $x=p_r,$ то
$\varphi(M)\sim CM$/\ln{p_r}, где $C=e^{-\gamma}$

И далее $\varphi(m)\sim Cr^rln^r(r)/e^r ln{(rln(r))}$, где С-постоянная Мертенса.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение11.08.2012, 10:26 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vicvolf в сообщении #604991 писал(а):
Как она получается?
В ссылке есть доказательство. У меня оно тупо следует из асимптотического разложения для $r$-го простого числа.
vicvolf в сообщении #604991 писал(а):
Из нее получается $m\sim r^r ln^r(r)/e^r$.
Это, скорее всего, неверно.
Пример: $1\sim 1+\frac{1}{r}$, однако $1^r\not\sim\left(1+\frac{1}{r}\right)^r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение11.08.2012, 10:56 


23/02/12
3066
Sonic86 в сообщении #604992 писал(а):
vicvolf в сообщении #604991 писал(а):
Как она получается?
В ссылке есть доказательство. У меня оно тупо следует из асимптотического разложения для $r$-го простого числа.

Нашел ссылку. на другом форуме, но там стоит log, а не ln, как у Вас. Кроме того там фигирирует n!. Нельзя ли уточнить формулу.
Цитата:
vicvolf в сообщении #604991 писал(а):
Из нее получается $m\sim r^r ln^r(r)/e^r$.
Это, скорее всего, неверно.
Пример: $1\sim 1+\frac{1}{r}$, однако $1^r\not\sim\left(1+\frac{1}{r}\right)^r$.

Я только возвел Вашу формулу в степень r. Вы хотите сказать, что асимптотика не равенство и в r-ую степень обе части возводить нельзя?

-- 11.08.2012, 11:03 --

Sonic86 в сообщении #604971 писал(а):
Тут[/url] $\sqrt[r]{p_1...p_r}\sim\frac{r\ln r}{e}$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение11.08.2012, 12:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vicvolf в сообщении #604998 писал(а):
Я только возвел Вашу формулу в степень r. Вы хотите сказать, что асимптотика не равенство и в r-ую степень обе части возводить нельзя?
Ну да, я же даже контрпример привел :-)
Вообще, надо на эту тему подумать..., либо еще что-то учесть...
Пусть $f(r)\sim g(r)$. Это равносильно $(1-\epsilon_r)g(r)\leqslant f(r)\leqslant (1+\epsilon_r)g(r)$, откуда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\leqslant f(r)^r\leqslant (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. И тогда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\prec f(r)^r\prec (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. Чаще всего $\epsilon_r=\Theta(\frac{A}{r})$. Тогда $f^r(r)\approx C(r)g^r(r)$, где $e^{-A}\leqslant C(r)\leqslant e^A$. Однако в случае простых чисел $\epsilon_r = \Theta(\frac{1}{\ln r})$ (т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$). И тогда $\lim\limits_{r\to +\infty}\left(1+\frac{C}{\ln r}\right)^r=+\infty$ - ничего сказать уже нельзя :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение12.08.2012, 10:18 


23/02/12
3066
Sonic86 в сообщении #605025 писал(а):
vicvolf в сообщении #604998 писал(а):
Я только возвел Вашу формулу в степень r. Вы хотите сказать, что асимптотика не равенство и в r-ую степень обе части возводить нельзя?
Ну да, я же даже контрпример привел :-)
Вообще, надо на эту тему подумать..., либо еще что-то учесть...
Пусть $f(r)\sim g(r)$. Это равносильно $(1-\epsilon_r)g(r)\leqslant f(r)\leqslant (1+\epsilon_r)g(r)$, откуда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\leqslant f(r)^r\leqslant (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. И тогда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\prec f(r)^r\prec (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. Чаще всего $\epsilon_r=\Theta(\frac{A}{r})$. Тогда $f^r(r)\approx C(r)g^r(r)$, где $e^{-A}\leqslant C(r)\leqslant e^A$. Однако в случае простых чисел $\epsilon_r = \Theta(\frac{1}{\ln r})$ (т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$). И тогда $\lim\limits_{r\to +\infty}\left(1+\frac{C}{\ln r}\right)^r=+\infty$ - ничего сказать уже нельзя :roll:

Да. поэтому указанная формула не дает оценки $2\cdot3...p_r$.
Посмотрите мою асимптотику в теме "Исследование треугольника Гильбрайта" в теме от 10.08.12.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение16.08.2012, 15:48 


23/02/12
3066
Sonic86 в сообщении #605025 писал(а):
т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$)

По-моему неправильная формула?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 271 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group