О проблеме Гольдбаха

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #594814 писал(а):

Интервал $(1,p^2_{r+1})$ является составной частью ПСВ(М)
и вычеты этого интервала подчиняются всем закономерностям ПСВ.

Но в этом интервале нет простых чисел $2, 3,...p_r$. Если расстояние "6" преобладает расстояния 2,4 и 4,2 в ПСВ, то это не значит, что это будет справедливо только для простых чисел.

[vorvalm]

Разности $d=6$ (чистые) преобладают в любой ПСВ
по модулям $M>210,$ и, следовательно, в интервале $(1,p^2_{r+1})$.
Например, в ПСВ(2310) в интервале (1,169) число чистых $d=6$ равно 8,
а разностей (2,4) и (4,2) всего 6.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #595008 писал(а):

Разности $d=6$ (чистые) преобладают в любой ПСВ
по модулям $M>210,$ и, следовательно, в интервале $(1,p^2_{r+1})$.
Например, в ПСВ(2310) в интервале (1,169) число чистых $d=6$ равно 8,
а разностей (2,4) и (4,2) всего 6.

Но будет ли это отношение для этого интервала простых чисел также стремиться к бесконечности?

[vorvalm]

Нам нет необходимости доказывать стремление к бесконечности отношения числа чистых разностей $d=6$ к числу остальных
в интервале $(1,p^2_{r+1}).$
Достаточео того, что это доказано для вычетов ПСВ.
Ведь нам важно не стремление к бесконечности этого отношения в указанном интервале, а то, что чистые разности $d=6$ есть в этом интервале в любой ПСВ, что само по себе говорит об их беконечном числе в ряду простых чисел.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #595389 писал(а):

чистые разности $d=6$ есть в этом интервале в любой ПСВ, что само по себе говорит об их беконечном числе в ряду простых чисел.

А об этом подробнее?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #595618 писал(а):

А об этом подробнее?

Если $d=6$ задано и рассматривается ПСВ по модулю $p_1...p_r$, где $p_r>d$ то число таких разностей легко считается: каждой разности соответствует $7$ чисел $x,x+1,...,x+6$ таких, то $x\not\equiv 0\pmod{p_1},...,x\not\equiv 0\pmod{p_r},$ $x+6\not\equiv 0\pmod{p_1},...,x+6\not\equiv 0\pmod{p_r}$ + еще условие, что каждое $x+i, i=1,...,5$ делится хотя бы на одно из $p_j$. Поскольку остатки от деления независимы и $d=6$, то число далее вычисляется чисто комбинаторно: заметим, что если $2\nmid x,x+6$, то уже $2\mid x+1,x+3,x+5$. Далее, $3\nmid x+6\Leftrightarrow 3\nmid x$, поэтому остаток $x\mod 3$ может быть выбран 2-я способами, причем симметричными: либо $3\mid x+2$, либо $3\mid x+4$. Рассмотрим только 1-й случай: считаем, что $3\mid x+2$, а итоговое число вариантов в конце удвоим. Остается лишь условие $p_3\mid x+4 \vee ... \vee p_r\mid x+4$. Поскольку при $j\geqslant 3$ условия $x\not\equiv 0\pmod{p_j}$ и $x+6\not\equiv 0\pmod{p_j}$ не равносильны, то каждое из них исключает $2$ варианта значения $x\mod p_j$ - остается лишь $p_j-2$ варианта остатка. А так как остатки по разным простым числам независимы, то всего имеем $(p_3-2)...(p_r-2)$ варианта. Наконец, проще найти число остатков $x\mod p_j$, при которых $p_3\nmid x+4 \wedge ... \wedge p_r\nmid x+4$ - среди всех $(p_3-2)...(p_r-2)$ вариантов таких ровно $(p_3-3)...(p_r-3)$, а значит условию $p_3\mid x+4 \vee ... \vee p_r\mid x+4$ удовлетворяют $(p_3-2)...(p_r-2)-(p_3-3)...(p_r-3)$ вариантов.
Таким образом, в ПСВ по модулю $p_1...p_r$ ровно $2((p_3-2)...(p_r-2)-(p_3-3)...(p_r-3))$ разностей $d=6$.

[vorvalm]

Sonic86
Совершенно верно.
Последнее равенство можно записать с помощью функций Эйлера:
$N(B[6])=2(\varphi_2(M_r)-\varphi_3(M_r))$
Но эта формула дает число "чистых" разностей" в ПСВ($M_r$).
А нас интересует число этих разностей в интервале $(1,p_{r+1}^2)$

[vorvalm]

Альтернатива проблеме Гольдбаха показывает, что любые четные разности можно найти среди простых чисел и в частности в интервале $(1,p^2_{r+1}).$ Если для $d=2,d=4$ это очевидно, то для других разностей это не очень, т.к. они могут представлятся не только " чистыми" разностями.
Итак, в интервале $(1,p^2_{r+1})$ есть разности $d=6$ ("чистые и не очень"), но число "чистых" при $M\rightarrow\infty$ становится подавляющем в ПСВ и в том числе в интервале $(1,p^2_{r+1})$ этой ПСВ.
Можно, конечно, представить, что "чистые" разности сосредоточатся в ПСВ вне интервала, а в интервале будут только "нечистые" разности, но это уже из области фантастики.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #595639 писал(а):

Но эта формула дает число "чистых" разностей" в ПСВ($M_r$).
А нас интересует число этих разностей в интервале $(1,p_{r+1}^2)$

Ааа, тогда не знаю. Понятно, что можно оценить число чисел $x\in [2;p_{r+1}^2]$ таких, что $2\mid x+1;x+3;x+5$, $3\mid x+2; 5\mid x+4$, например, но вот проверить условия $p_j\nmid x,x+6$ уже сложнее...

[vorvalm]

Оценку числа "чистых" разностей в интервале $(1,p^2_{r+1})$
можно получить, используя среднее число этих разностей в ПСВ по модулю $M>210.$
$N(B[6])\approx 2p_{r+1}(p_{r+1}-1)(\varphi_2(M)-\varphi_3(M))/M.$
Например, при $M=2310, p_{r+1}=13, \varphi_2(M)=135, \varphi_3(M)=64, N(B[6])\approx 10.$
Sonic86
Используя вашу методику,можно ли найти аналогичные формулы числа "чистых" разностей
для $d=8$ или $d=10$ ?

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #595897 писал(а):

Используя вашу методику,можно ли найти аналогичные формулы числа "чистых" разностей для $d=8$ или $d=10$ ?

Не пробовал - наверное можно (я сам не решился - на $d=6$ остановился, там 2 проблемы: перебрать варианты делимостей + разобраться, как оптимально рассуждать в случаях, когда к.-л. простое делит одно из нескольких чисел) - по идее задача чисто комбинаторная Если можно, то формулы будут страшноватые скорее всего.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #595618 писал(а):

vorvalm в сообщении #595389 писал(а):

чистые разности $d=6$ есть в этом интервале в любой ПСВ, что само по себе говорит об их беконечном числе в ряду простых чисел.

А об этом подробнее?

vorvalm я так и не получил ответ на этот вопрос!

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #595779 писал(а):

Альтернатива проблеме Гольдбаха показывает, что любые четные разности можно найти среди простых чисел и в частности в интервале $(1,p^2_{r+1}).$ Если для $d=2,d=4$ это очевидно, то для других разностей это не очень, т.к. они могут представлятся не только " чистыми" разностями.
Итак, в интервале $(1,p^2_{r+1})$ есть разности $d=6$ ("чистые и не очень"), но число "чистых" при $M\rightarrow\infty$ становится подавляющем в ПСВ и в том числе в интервале $(1,p^2_{r+1})$ этой ПСВ.
Можно, конечно, представить, что "чистые" разности сосредоточатся в ПСВ вне интервала, а в интервале будут только "нечистые" разности, но это уже из области фантастики.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #596755 писал(а):

Можно, конечно, представить, что "чистые" разности сосредоточатся в ПСВ вне интервала, а в интервале будут только "нечистые" разности, но это уже из области фантастики.

Может действительно они распределены неравномерно и на интервале простых чисел их конечное количество. По крайней мере, что это не так - не доказано!

[vorvalm]

[quote="vorvalm в сообщении #595897"]Оценку числа "чистых" разностей в интервале $(1,p^2_{r+1})$
можно получить, используя среднее число этих разностей в ПСВ по модулю $M>210.$
$N(B[6])\approx 2p_{r+1}(p_{r+1}-1)(\varphi_2(M)-\varphi_3(M))/M.$
Например, при $M=2310, p_{r+1}=13, \varphi_2(M)=135, \varphi_3(M)=64, N(B[6])\approx 10.$
Можно, конечно, привести полное доказательство бесконечности чистых разностей $d=6$, но оно будет мало отличаться от теоремы о близнецах.