2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 эксперименты с простыми числами
Сообщение25.10.2008, 19:30 
экспериментируя в МатЛабе с простыми числами обнаружил следующее:
если p_n обозначает n-oe простое число, то

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{n!}=\infty

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{(2n)!}=0

Интерeсно, а возможен ли промежуточный результат, то есть существуют ли \alpha\in(1,2),\beta\in (0,\infty) такие, что

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_1\cdot\dots\cdot p_n}{\Gamma(\alpha n+1)}=\beta

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 20:35 
Аватара пользователя
Вероятно, можно получить что-нибудь, исходя из асимптотики $p_n\sim n \log n$

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 21:08 
Аватара пользователя
Думаю, выйдет нулём при любом $\alpha>1$

 
 
 
 
Сообщение25.10.2008, 22:06 
Цитата:
Вероятно, можно получить что-нибудь, исходя из асимптотики $p_n\sim n \log n$


Да, это вроде объясняет откуда 0 и \infty.

 
 
 
 
Сообщение26.10.2008, 13:00 
В Mathlinks я доказал, что $$\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}=\frac 1e.$$
Так, что при $\alpha >1$ ваш предел получится равным 0, а при $\alpha<1$ бесконечности.
Поэтому возможно уточнение только не множителем, а сдвигом $$\lim_{n\to \infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}=?.$$ (a не обязательно целое)

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 07:29 
Руст писал(а):
В Mathlinks я доказал, что $$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n} = \frac 1e$$

Не могли бы Вы дать ссылку? А то у меня что-то не то получилось:
Конкретная математика (9.48) писал(а):
$p_n=n\ln n + n \ln \ln n - n +o(n)$

То есть $p_n = n \ln n \left( 1 + O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)$. И тогда
$$a_n = \frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n} =\exp \left(\frac 1n\sum\limits_{k=1}^n \ln p_k\right) = \exp \left(\frac 1n\sum\limits_{k=1}^n \left(\ln k + \ln \ln k + O\left(\frac{\ln \ln k}{\ln k}\right)\right)\right)$$
$$=\exp \left(\frac 1n \left(n \ln n - n + O\left(\ln n \right) + n \ln \ln n + O\left(\frac{n}{\ln n}\right)\right) + O\left(\frac{n \ln \ln n}{\ln n}\right)\right)$$$$ = \exp \left(\ln n - 1 + \ln \ln n + O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)=\frac{n \ln n\left(1+O\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)\right)}{e}$$
и после этого у меня выходит скорость последовательности $a_n \sim \frac{\ln n}{e} \to + \infty$. У меня ошибка где-то?

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 08:45 
Цитата:
Не могли бы Вы дать ссылку? А то у меня что-то не то получилось:

Надо оценить
$$\frac{p_1....p_n}{(n+a)!}=exp(\sum_k \ln p_k) -(n+a)\ln (n+a) +(n+a) -0.5\ln (2\pi (n+a)) +O(\frac 1n))=exp(p_n +R(p_n)-(n+a)\ln (n+a)+(n+a)-0.5\ln(2\pi (n+a))+O(\frac 1n)).$$
$R(p_n)=0(n)$, согласно гипотезе Римана $R(p_n)=o(\sqrt n \ln^2n)$.
Согласно приведенной оценкеЖ

Конкретная математика (9.48) писал(а):
$p_n=n\ln n + n \ln \ln n - n +o(n)$

при любом конечном а получаем бесконечный предел, а при $Г(\alpha n),\alpha>1$ ноль.

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 09:12 
Че-то я не понял :-(
Вы хотите сказать, что
$$\sum\limits_{1 \leq k \leq n} \ln p_k = p_n + R(p_n)=p_n + o(n)$$
Действительно! Прикольно...
Так мне же надо не $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}$, а $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}$. Разве из предела с $(n+a)!$ что-то следует для предела с $\sqrt[n]{}$? Не могу понять... :oops:

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 10:03 
Sonic86 в сообщении #322247 писал(а):
Че-то я не понял :-(
Вы хотите сказать, что
$$\sum\limits_{1 \leq k \leq n} \ln p_k = p_n + R(p_n)=p_n + o(n)$$
Действительно! Прикольно...
Так мне же надо не $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{p_1...p_n}{(n+a)!}$, а $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sqrt[n]{p_1...p_n}}{n}$. Разве из предела с $(n+a)!$ что-то следует для предела с $\sqrt[n]{}$? Не могу понять... :oops:

Смотрите исходную постановку.

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 11:47 

(Оффтоп)

Excel писал(а):
$a_{9592} = 3,3881$

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 19:09 
Аватара пользователя
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 19:22 
RIP в сообщении #322510 писал(а):
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду
$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 19:31 
Аватара пользователя
Руст в сообщении #322515 писал(а):
RIP в сообщении #322510 писал(а):
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду
$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$
Это не одно и то же.
$$\sqrt[n]{\frac{p_1\ldots p_n}{n!}}\sim\log n.$$

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение21.05.2010, 20:15 
RIP в сообщении #322519 писал(а):
Руст в сообщении #322515 писал(а):
RIP в сообщении #322510 писал(а):
Sonic86
Вы правы, $\sqrt[n]{p_1\ldots p_n}\sim\frac{n\log n}{\mathrm e}$.

На самом деле и я имел в виду
$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=\frac 1e.$$
Это не одно и то же.
$$\sqrt[n]{\frac{p_1\ldots p_n}{n!}}\sim\log n.$$

Точнее [math]$$p_1...p_n=exp(\Phi (p_n))=exp(p_n+R(p_n))$$
$$n!=exp(n\ln n -n+O(\ln n)),\sqrt[n]{\frac{p_1...p_n}{n!}}=exp(\frac{p_n}{n}-\ln n+1+O(\frac{\ln n}{n}))=\ln n$$
вы правы. Для поправочного сдвига $a=\ln ln n (1+o(1))\to \infty$.

 
 
 
 Re: эксперименты с простыми числами
Сообщение24.05.2010, 08:01 
О! Руст, RIP теперь все понятно, спасибо! :-)

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group