О проблеме Гольдбаха

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #604166 писал(а):

[по Мертенсу (Бухштаб стр. 355) при $x=p_r$ получаем:
П$(1-{p_i}^{-1}) \sim e^{- c}/\ln p_r$, где с-постоянная Эйлера.

Исходя из этой формулы, пытаюсь получить нужную асимптотику по r.

[vicvolf]

Цель этого. Определить, как растет пробел:
$p_{n+1}-p_n<(p_n)^{u+\epsilon}$, где υ=0,525, а $n=0,5\varphi(M)=4\cdot6...p_r-1$, так как при больших M максимальный пробел между вычетами достигается близко к 0,5M.

[vorvalm]

По-моему, нет необходимости так близко приближаться
а гипотезе Лежандра. Надо брать просто
$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$.
Мне не понятно, как вы получили
$n=0,5\varphi(M)=4\cdot 6\cdot ,...(p_{r-1})$.
и почему $d_{\max}\rightarrow 0,5M$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #604446 писал(а):

Мне не понятно, как вы получили
$n=0,5\varphi(M)=4\cdot 6\cdot ,...(p_{r-1})$.

$0,5\varphi(M)=0,5(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)...(p_r-1)=4\cdot 6\cdot...(p_r-1)$

Цитата:

и почему $d_{\max}\rightarrow 0,5M$.

Нет, это просто $d_{\max}$ находится вблизи 0,5M для больших М

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #604489 писал(а):

Нет, это просто $d_{\max}$ находится вблизи 0,5M для больших М

На чем основано это заявление ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #604665 писал(а):

На чем основано это заявление ?

Начиная с m=2310 максимум первых разностей для данного модуля находится ближе к значению 0,5m и находится между вычетами 113 и 127 (имеется также симметричное значение относительно 0,5m), но еще меньше значения $p^2_{r+1}=169$.
При увеличении значения m максимум первых разностей находится все ближе к значению 0,5m. Например, для $m=30030=2\cdot3...13$ максимум первых разностей уже находится между вычетами 9439 и 9461, уже значительно больше $p^2_{r+1}=289$ (имеется также симметричное значение относительно 0,5m) и.т.д.
Меня в принципе не интересует точное положение максимума первых разностей, так как я величину 0,5m использую только для верхней оценки.

[vorvalm]

Приведенные разности не являются максимальными при $M>19\#$
и мы не знаем, где они находятся в ПСВ.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #603576 писал(а):

Как найти асимтотику роста числа членов ПСВ не превосходящих половину модуля, т.е функции:
$0,5\varphi(m)$, где $m=2\cdot3...p_r$

Тут $\sqrt[r]{p_1...p_r}\sim\frac{r\ln r}{e}$ и формула Мертенса $\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}$.

[vorvalm]

Да, если принять $x=p_r,$ то
$\varphi(M)\sim CM$/\ln{p_r}, где $C=e^{-\gamma}$

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #604971 писал(а):

Тут[/url] $\sqrt[r]{p_1...p_r}\sim\frac{r\ln r}{e}$

Как она получается? Из нее получается $m\sim r^r ln^r(r)/e^r$.

-- 11.08.2012, 10:15 --

vorvalm в сообщении #604984 писал(а):

Да, если принять $x=p_r,$ то
$\varphi(M)\sim CM$/\ln{p_r}, где $C=e^{-\gamma}$

И далее $\varphi(m)\sim Cr^rln^r(r)/e^r ln{(rln(r))}$, где С-постоянная Мертенса.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #604991 писал(а):

Как она получается?

В ссылке есть доказательство. У меня оно тупо следует из асимптотического разложения для $r$-го простого числа.

vicvolf в сообщении #604991 писал(а):

Из нее получается $m\sim r^r ln^r(r)/e^r$.

Это, скорее всего, неверно.
Пример: $1\sim 1+\frac{1}{r}$, однако $1^r\not\sim\left(1+\frac{1}{r}\right)^r$.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #604992 писал(а):

vicvolf в сообщении #604991 писал(а):

Как она получается?

В ссылке есть доказательство. У меня оно тупо следует из асимптотического разложения для $r$-го простого числа.

Нашел ссылку. на другом форуме, но там стоит log, а не ln, как у Вас. Кроме того там фигирирует n!. Нельзя ли уточнить формулу.

Цитата:

vicvolf в сообщении #604991 писал(а):

Из нее получается $m\sim r^r ln^r(r)/e^r$.

Это, скорее всего, неверно.
Пример: $1\sim 1+\frac{1}{r}$, однако $1^r\not\sim\left(1+\frac{1}{r}\right)^r$.

Я только возвел Вашу формулу в степень r. Вы хотите сказать, что асимптотика не равенство и в r-ую степень обе части возводить нельзя?

-- 11.08.2012, 11:03 --

Sonic86 в сообщении #604971 писал(а):

Тут[/url] $\sqrt[r]{p_1...p_r}\sim\frac{r\ln r}{e}$

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #604998 писал(а):

Я только возвел Вашу формулу в степень r. Вы хотите сказать, что асимптотика не равенство и в r-ую степень обе части возводить нельзя?

Ну да, я же даже контрпример привел
Вообще, надо на эту тему подумать..., либо еще что-то учесть...
Пусть $f(r)\sim g(r)$. Это равносильно $(1-\epsilon_r)g(r)\leqslant f(r)\leqslant (1+\epsilon_r)g(r)$, откуда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\leqslant f(r)^r\leqslant (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. И тогда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\prec f(r)^r\prec (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. Чаще всего $\epsilon_r=\Theta(\frac{A}{r})$. Тогда $f^r(r)\approx C(r)g^r(r)$, где $e^{-A}\leqslant C(r)\leqslant e^A$. Однако в случае простых чисел $\epsilon_r = \Theta(\frac{1}{\ln r})$ (т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$). И тогда $\lim\limits_{r\to +\infty}\left(1+\frac{C}{\ln r}\right)^r=+\infty$ - ничего сказать уже нельзя

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #605025 писал(а):

vicvolf в сообщении #604998 писал(а):

Я только возвел Вашу формулу в степень r. Вы хотите сказать, что асимптотика не равенство и в r-ую степень обе части возводить нельзя?

Ну да, я же даже контрпример привел
Вообще, надо на эту тему подумать..., либо еще что-то учесть...
Пусть $f(r)\sim g(r)$. Это равносильно $(1-\epsilon_r)g(r)\leqslant f(r)\leqslant (1+\epsilon_r)g(r)$, откуда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\leqslant f(r)^r\leqslant (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. И тогда $(1-\epsilon_r)^rg^r(r)\prec f(r)^r\prec (1+\epsilon_r)^rg(r)^r$. Чаще всего $\epsilon_r=\Theta(\frac{A}{r})$. Тогда $f^r(r)\approx C(r)g^r(r)$, где $e^{-A}\leqslant C(r)\leqslant e^A$. Однако в случае простых чисел $\epsilon_r = \Theta(\frac{1}{\ln r})$ (т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$). И тогда $\lim\limits_{r\to +\infty}\left(1+\frac{C}{\ln r}\right)^r=+\infty$ - ничего сказать уже нельзя

Да. поэтому указанная формула не дает оценки $2\cdot3...p_r$.
Посмотрите мою асимптотику в теме "Исследование треугольника Гильбрайта" в теме от 10.08.12.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #605025 писал(а):

т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$)

По-моему неправильная формула?