Фильтрация фантомных решений

[ananova]

ananova в сообщении #591609 писал(а):

(Оффтоп)

shwedka
Я поглядел - у Рибенбойма и не нашел тривиального случая, когда переменная кратна 3^2. Если не сложно - подскажите страницу.
Залез я в этот случай, по "наводке" Someone.

-- Вт июл 03, 2012 14:45:08 --

Для простейшего варианта не доказанного здесь на форуме $z=y+1$ и наиболее сложного Случая 2 (для простой степени p) имеем:

$$z-y=1$$

$$ph(z,y)+(z-y)^{p-1}=z^{p-1}+...+y^{p-1}$$

$$ph(z,y)+1^{p-1}=z^{p-1}+...+y^{p-1}$$

$$ph(z,y) +1= px_{ \{2' \}}^p$$

А этого не может быть для целых чисел.

PS: У Рибенбойма нет это доказательства.

Сейчас перечитал, то, что днем написал и понял, что поспешил. Для $p=3$ - все справедливо, а вот для $p=5$ и выше не перепроверил и появились серьезные сомнения. Так бином для

$$(z-y)^4 = z^4-4z^3y+6z^2y^2-4zy^3+y^4$$

Тогда непонятна как будет выглядеть запись $ph(z,y)$, которую я ввел в обобщенную формулу. Извините, за столь поспешное обобщение от степени 3 к более высоким степеням.

-- Вт июл 03, 2012 22:35:23 --

Феликс Шмидель в сообщении #591797 писал(а):

Цитата:

Для простейшего варианта не доказанного здесь на форуме $z=y+1$ и наиболее сложного Случая 2 (для простой степени p) имеем

Зачем рассматривать этот случай, если из $x^3+y^3=z^3$ следует, что $x+y-z$ делится на 3?

Если $x$ делится на 3, то и $z-y$ делится на 3, поэтому не равно 1.

А если $z$ делится на 3?

[Someone]

ananova в сообщении #591827 писал(а):

А если $z$ делится на 3?

Вы же рассматриваете случай, когда $x$ делится на $3$ (и даже на $9$).

[ananova]

Someone

Пока думаю.

Феликс Шмидель предложил вариант доказательства, когда $x$ делится на $p$ , наиболее простой, на мой взгляд, используя равенство $x+y=z+s$.

[ishhan]

По поводу ВТФ n=3 записанного для целых положительных и отрицательных $x,y,z$ в виде

$$x^3+y^3+z^3=0$$

или эквивалентном виде

$$(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z) $$

если обозначить$z+x=d_1$, $z+y=d_2$, $x+y=d_3$ то будем иметь в новых переменных запись уравнения Ферма для $n=3$ в виде:

$$(d_1+d_2+d_3)^3=2^3\cdot 3d_1d_2d_3=24d_1d_2d_3$$

Где $d_1,d_2,d_3$ целые положительные и отрицательные.
Что вряд-ли облегчит задачу, но позволит немного отвлечься :)
P.S. Мне понравился ход Ваших мыслей по поводу числа делителей или функцию Эйлера, но как это применить к ВТФ мне пока не ясно...

[vasili]

Уважаемая аnanova! Если $X_2^3\equiv X_1^6\mod ZY,$ то из сравнения $(X_2 - X_1^2)(X_2^2 + X_2X_1^2 + X_1^4)\equiv0\mod ZY$ не следует сравнение
$X_2\equiv X_1^2\mod ZY$.

[ishhan]

vasili в сообщении #686714 писал(а):

Уважаемая аnanova! Если $X_2^3\equiv X_1^6\mod ZY,$ то из сравнения $(X_2 - X_1^2)(X_2^2 + X_2X_1^2 + X_1^4)\equiv0\mod ZY$ не следует сравнение
$X_2\equiv X_1^2\mod ZY$.

Vasili!
Об чём речь-то, не меньше чем о ВТФ для показателя степени n=3 2-ой случай ?
Это доказательство признано всеми благодаря гениальности Л. Эйлера
( Не просто так у известного популяризатора ВТФ М.М. Постникова в книге о ВТФ написано то, что: "рассуждения Эйлера можно спасти" итд)
И по сей день есть таковые кто не согласен с Эйлером.
Только первый случай ВТФ $n=3$ признан всеми любителями ВТФ в силу красоты и краткости доказательства.
Второй случай ВТФ3, как говорится, от "лукавого".
С дружеским приветом,

[ananova]

vasili в сообщении #686714 писал(а):

Уважаемая аnanova! Если $X_2^3\equiv X_1^6\mod ZY,$ то из сравнения $(X_2 - X_1^2)(X_2^2 + X_2X_1^2 + X_1^4)\equiv0\mod ZY$ не следует сравнение
$X_2\equiv X_1^2\mod ZY$.

Да, это очевидно, если $X<Y$, то $ZY$ больше $X_1^2$ и больше $X_2$. Так как $X_1$ взаимно просто с $X_2$, то они не равны друг другу и не сравнимы по модулю, превышающему их значения.

[ishhan]

Доброго всем времени суток!
Хочу продолжить тему о делителях ananovы после длительного перерыва и, если позволите, задать вопросик всем остальным интересующимся по более общей теме, о разрешимости диофантовых уравнений.
Очевидно, что уравнение Ферма можно записать несколькими эквивалентными способами.
Так для n=3 имеем три существенно разные записи:

$$x^3+y^3+z^3=0$$

$$(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$

$$(x_1+y_1+z_1)^3=24x_1y_1z_1$$

Вторая запись ВТФ3 получена из первого ВТФ3 уравнения, благодаря существованию "триномиального тождества".

$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$

Третья запись ВТФ3 получена из второй записи после линейной замены переменных:$x_1=\frac{x+y}{2}$, $y_1=\frac{x+z}{2}$, $z_1=\frac{z+y}{2}$
Казалось бы, что эта линейная замена переменных ничего не изменила и не приблизила нас к пониманию невозможности существования решений любого из трёх эквивалентных диофантовых уравнений ВТФ3.
Но есть один нюанс на который я хотел бы обратить внимание уважаемой публики:
Третья запись ВТФ3 представляет собой диофантово уравнение, левая часть которого записана как симметрическая форма $(x_1+y_1+z_1)^3$, не изменяющая своего значения при любых перестановках переменных $x_1,y_1,z_1$.
Правая часть уравнения $24x_1y_1z_1$ так же представляет собой симметрическую форму выдерживающую ту же самую перестановку переменных.
Вторая запись ВТФ3 представляет собой уравнение в котором левая часть $(x+y+z)^3$ имеет ту же симметрию, что и левая часть уравнения ВТФ3 в третьей записи$ (x_1+y_1+z_1)^3$ , но правая часть $3(x+y)(x+z)(y+z)$ , помимо симметрии относительно перестановок переменных имеет ещё один вид симметрии.
Так правая часть ВТФ3 записана при помощи симметрической формы $W^3(x,y,z)= 3(x+y)(x+z)(y+z)$
которая остаётся неизменной не только после любых перестановок переменных, но и при замене одного из них на обратную сумму всех остальных, так если положить $s=-x-y-z$ то:
$W^3(x,y,z)=W^3(s,y,z)=W^3(x,s,z)=W^3(x,y,s) $
Обобщим наблюдения за свойствами симметрии правой и левой части диофантовых уравнений с помощью которых записывается ВТФ3.
С одной стороны имеем равенство:

$$S^p(x,y,z)=0$$

В котором $S^p(x,y,z)$ симметрическая однородная форма степени$ p $ от трёх переменных.
Далее при помощи эквивалентных преобразований уравнения $S^p(x,y,z)=0$ с использованием:а) триномиального тождества, б)линейной замены переменных его можно привести к виду:

$$Q^p(x,y,z)=W^p(x_1,y_1,z_1)$$

в котором правая и левая часть имеет различные свойства инвариантности относительно замены переменных и следовательно различные целочисленные делители о которых упоминал ananova и это различие свойств инвариантности является достаточным признаком неразрешимости диофантового уравнения.
Надеюсь, что наконец-то боле или менее понятно излагаю суть моего вопроса.

[Ontt]

ishhan в сообщении #688019 писал(а):

Третья запись ВТФ3 получена из второй записи после линейной замены переменных:$x_1=\frac{x+y}{2}$, $y_1=\frac{x+z}{2}$, $z_1=\frac{z+y}{2}$

Вы уверены?
При замене переменных во второй записи получим $(x+y+z)^3=24 x_1 y_1 z_1$.

[ishhan]

Ontt в сообщении #688031 писал(а):

ishhan в сообщении #688019 писал(а):

Третья запись ВТФ3 получена из второй записи после линейной замены переменных:$x_1=\frac{x+y}{2}$, $y_1=\frac{x+z}{2}$, $z_1=\frac{z+y}{2}$

Вы уверены?
При замене переменных во второй записи получим $(x+y+z)^3=24 x_1 y_1 z_1$.

Следует читать не как у вас в цитате $(x+y+z)^3=24 x_1 y_1 z_1$
А конечно же как $(x_1+y_1+z_1)^3=24 x_1 y_1 z_1$
Это ваша опечатка, но спасибо вам за внимание в любом случае
А что скажете, Ontt насчёт основной идеи.
Знакомы ли Вы с понятиями инвариантности алгебраической записи относительно преобразования пременных ?
И ещё одна оговорка. Признак неразрешимости работает только для нечетных показателей степени форм $S^p(x,y,z), Q^p(x,y,z),W^p(x,y,z)$
P.S. Строго говоря, вы, Ontt пока не поняли об чём речь

[Ontt]

ishhan в сообщении #688084 писал(а):

P.S. Строго говоря, вы, Ontt пока не поняли об чём речь

Так точно. Пока не понял. Дочитал до места:

ishhan в сообщении #688019 писал(а):

Третья запись ВТФ3 представляет собой диофантово уравнение, левая часть которого

И споткнулся. Вас не смущает, что $x_1, y_1, z_1 \notin \mathbb{Z}$?

[ishhan]

Ontt в сообщении #688155 писал(а):

ishhan в сообщении #688084 писал(а):

P.S. Строго говоря, вы, Ontt пока не поняли об чём речь

Так точно. Пока не понял. Дочитал до места:

ishhan в сообщении #688019 писал(а):

Третья запись ВТФ3 представляет собой диофантово уравнение, левая часть которого

И споткнулся. Вас не смущает, что $x_1, y_1, z_1 \notin \mathbb{Z}$?

Нет!
И вот почему: потому что имеем дело с тем, что называется симметрической формой, то есть с однородным симметрическим полиномом от трёх переменных степени $p$ для которого верно определение однородности, которое по простоте душевной запишем как:
$S^p(ax,ay,az)=a^pS^p(x,y,z)$.

[Ontt]

ishhan в сообщении #688161 писал(а):

Нет!

Ладно, это действительно не существенно, просто не понятно, зачем Вы ввели нецелые $x_1, y_1, z_1$, хотя могли обойтись целыми.

Вернемся:

ishhan в сообщении #688019 писал(а):

это различие свойств инвариантности является достаточным признаком неразрешимости диофантового уравнения

Беда в том, что у диофантова уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ есть множество решений в целых числах вида $xyz=0$. А Вы говорите, что нету.

[ishhan]

Ontt в сообщении #688177 писал(а):

Беда в том, что у диофантова уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ есть множество решений в целых числах вида $xyz=0$. А Вы говорите, что нету.

Виноват, заранее не оговорился, что рассматриваю только нетривиальные решения.
Случай, на который указываете вы, у меня рассматривается:$(x_1+y_1+z_1)^3=24x_1y_1z_1$ и с вашей стороны было бы правильней его записать как систему двух диофантовых уравнений на которую распадается вторая ВТФ3 запись.
Таким образом будет $(x_1+y_1+z_1)^3=0$ и $24x_1y_1z_1=0$ и это тривиальный частный случай с которого нужно было начать что бы не вызывать вопросов подобных вашему.
Кроме того, исходное уравнение $x^3+y^3+z^3=0$ записано от трёх переменных $x,y,z$, а вы предлагаете рассматривать его как бы от двух переменных (или даже от одного) положив третье переменное равным нулю. Это совсем другая история.
И не забывайте о том, что я рассматриваю пока только симметрические формы от трёх переменных нечётной степени.

[Ontt]

ishhan в сообщении #688320 писал(а):

Виноват, заранее не оговорился, что рассматриваю только нетривиальные решения.

И как у Вас отсутствие "нетривиальных решений" соотносится с декларируемым Вами же тезисом "различие свойств инвариантности является достаточным признаком неразрешимости диофантового уравнения"?

ishhan в сообщении #688320 писал(а):

Случай, на который указываете вы, у меня рассматривается:$(x_1+y_1+z_1)^3=24x_1y_1z_1$ и с вашей стороны было бы правильней его записать как систему двух диофантовых уравнений на которую распадается вторая ВТФ3 запись.
Таким образом будет $(x_1+y_1+z_1)^3=0$ и $24x_1y_1z_1=0$ и это тривиальный частный случай с которого нужно было начать что бы не вызывать вопросов подобных вашему.

Вас не смущает, что уравнение $(x_1+y_1+z_1)^3=24x_1y_1z_1$ имеет множество вещественных корней (например, $x_1=3, y_1=1-\sqrt [3] {9}, z_1=2-\sqrt [3] {9}$), а система уравнений $\begin{cases} (x_1+y_1+z_1)^3=0 \\ $24x_1y_1z_1=0 \end{cases}$$ их уже не имеет?

ishhan в сообщении #688320 писал(а):

Кроме того, исходное уравнение $x^3+y^3+z^3=0$ записано от трёх переменных $x,y,z$, а вы предлагаете рассматривать его как бы от двух переменных (или даже от одного) положив третье переменное равным нулю.

От того, что переменная может принимать значение, равное нулю, она не перестает быть переменной. Вот если бы я предложил для $a_1 x^3+a_2 y^3+a_3 z^3=0$ принять $a_1 a_2 a_3 = 0$, тогда бы Ваши разглагольствования были обоснованы.

ishhan в сообщении #688320 писал(а):

И не забывайте о том, что я рассматриваю пока только симметрические формы от трёх переменных нечётной степени.

Кстати, "симметрическая форма от трех переменных нечетной степени" $x^1+y^1+z^1$ у Вас тоже не имеет нетривиальных целых корней при $x^1+y^1+z^1=0$?