Доброго всем времени суток!
Хочу продолжить тему о делителях ananovы после длительного перерыва и, если позволите, задать вопросик всем остальным интересующимся по более общей теме, о разрешимости диофантовых уравнений.
Очевидно, что уравнение Ферма можно записать несколькими эквивалентными способами.
Так для n=3 имеем три существенно разные записи:
Вторая запись ВТФ3 получена из первого ВТФ3 уравнения, благодаря существованию "триномиального тождества".
Третья запись ВТФ3 получена из второй записи после линейной замены переменных:
,
,
Казалось бы, что эта линейная замена переменных ничего не изменила и не приблизила нас к пониманию невозможности существования решений любого из трёх эквивалентных диофантовых уравнений ВТФ3.
Но есть один нюанс на который я хотел бы обратить внимание уважаемой публики:
Третья запись ВТФ3 представляет собой диофантово уравнение, левая часть которого записана как симметрическая форма
, не изменяющая своего значения при любых перестановках переменных
.
Правая часть уравнения
так же представляет собой симметрическую форму выдерживающую ту же самую перестановку переменных.
Вторая запись ВТФ3 представляет собой уравнение в котором левая часть
имеет ту же симметрию, что и левая часть уравнения ВТФ3 в третьей записи
, но правая часть
, помимо симметрии относительно перестановок переменных имеет ещё один вид симметрии.
Так правая часть ВТФ3 записана при помощи симметрической формы
которая остаётся неизменной не только после любых перестановок переменных, но и при замене одного из них на обратную сумму всех остальных, так если положить
то:
Обобщим наблюдения за свойствами симметрии правой и левой части диофантовых уравнений с помощью которых записывается ВТФ3.
С одной стороны имеем равенство:
В котором
симметрическая однородная форма степени
от трёх переменных.
Далее при помощи эквивалентных преобразований уравнения
с использованием:а) триномиального тождества, б)линейной замены переменных его можно привести к виду:
в котором правая и левая часть имеет различные свойства инвариантности относительно замены переменных и следовательно различные целочисленные делители о которых упоминал
ananova и это различие свойств инвариантности является достаточным признаком неразрешимости диофантового уравнения.
Надеюсь, что наконец-то боле или менее понятно излагаю суть моего вопроса.