Фильтрация фантомных решений

[vasili]

Уважаемый ananova! У Вас нет доказательства справедливости сравнения (11). Из Сравнения (10) это не вытекает, так как после переноса $X_2^3$ в левую часть, последняя разлагается на два множителя, один из которых Вы ошибочно сравнили с нулем по модулю ZY.

[TR63]

ishhan в сообщении #688019 писал(а):

Далее при помощи эквивалентных преобразований уравнения $S^p(x,y,z)=0$ с использованием:а) триномиального тождества, б)линейной замены переменных его можно привести к виду:

$$Q^p(x,y,z)=W^p(x_1,y_1,z_1)$$

в котором правая и левая часть имеет различные свойства инвариантности относительно замены переменных

ishhan.
Ваша идея понятна, но не понятно, как получилось равенство.

[ananova]

vasili в сообщении #688416 писал(а):

Уважаемый ananova! У Вас нет доказательства справедливости сравнения (11). Из Сравнения (10) это не вытекает, так как после переноса в левую часть, последняя разлагается на два множителя, один из которых Вы ошибочно сравнили с нулем по модулю ZY.

Для упрощения можно положить, что $z-y=1$:

$x_1^3= z-y$ (5)

это:

$x_1^3= z-y=1$ (5')

Тогда $x_2 =x$

А в сравнениях (10) и (11) я рассуждал так:

$(x_1^2)^3 \equiv_{ \{ 3zy \}} x_2^3$ (11)


$x_1^6 \equiv_{ \{ 3zy \}} x_2^3$ (10)

В этом частном случае имеем:

$1 \equiv_{ \{ 3zy \}} x^3$ (10')

или

$3zy+1=x^3$

[ishhan]

TR63 в сообщении #688511 писал(а):

Ваша идея понятна, но не понятно, как получилось равенство.

Сначала исправлю опечатку в равенстве на которое любезно указал TR63 , правильно будет конечно же так: $Q^p(x_1,y_1,z_1)=W^p(x_1,y_1,z_1)$
Идея получения нового эквивалентного ВТФ равенства с различными свойствами инвариантности преобразования переменных в его левой и в его правой части основана на замечательном тождестве или разложимости ( только для простых $p$) на алгебраические множители симметрической формы $(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ в которую входит форма уравнения Ферма.
Простейшие тому примеры:$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ , $(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x+y)(x+z)(y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+xz+zy)$ и так далее для любых простых чисел.
В общем случае можно записать тождество как:$(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p=W^3(x,y,z)\cdot{W^{p-3}(x,y,z)}$ теперь исключая запись $x^p+y^p+z^p=0 $ из тождества имеем мнимое Ферма уравнение или равенство порождённое триномиальным тождеством:

$$(x+y+z)^p=W^3(x,y,z)\cdot{W^{p-3}(x,y,z)}$$

В котором:
левая часть выражена симметрической формой $Q^p(x,y,z)=(x+y+z)^p$ обладающей инвариантностью относительно перестановки трёх переменных $x,y,z$
правая часть представляет собой произведение двух форм $W^3(x,y,z)$ и $W^{p-3}(x,y,z)$ каждая из которых инвариантна не только от перестановки переменных $x,y,z$ но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных:
$W^3(x,y,z)=W^3(s,y,z)=W^3(x,s,z)=W^3(x,y,s)$
$W^{n-3}(x,y,z)=W^{n-3}(s,y,z)=W^{n-3}(x,s,z)=W^{n-3}(x,y,s)$
Я конечно же не утверждаю, что это отличие свойств инвариантности правой и левой части "мнимого уравнения ВТФ" является решающим фактором невыполнимости исходного равенства: $x^p+y^p+z^p=0$.
Но факт остаётся фактом. И что интересно для $n=2$ мнимое уравнение Пифагора:
$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y) $ уже не является записью в которой правая и левая часть являются симметрическими формами второй степени от трёх переменных $x,y,z.$
P.S. К вопросу поднятому Ontt о тривиальных решениях, которые следует рассмотреть особо так как уравнение $x+y+z=0$ можно записать как:
$x+y+z=(x+y+z)-x-y-z$ и в этом случае симметрическая формa, со свойством $W$ имеет вид:$W^1(x,y,z)=(x+y+z)-x-y-z=0$ и равна тождественно нулю для любых(не только целых) чисел.
P.P.S. Предположение о неразрешимости основано на том, что если форма правой и левой части "мнимого ВТФ" имеют разные свойства инвариантности переменных, то целые числа записанные при помощи этих форм будут иметь разные целочисленные делители соответствующие этим свойствам инвариантности.

[TR63]

ishhan,
Спасибо. Теперь понятнее.

ishhan в сообщении #688773 писал(а):

Я конечно же не утверждаю, что это отличие свойств инвариантности правой и левой части "мнимого уравнения ВТФ" является решающим фактором невыполнимости исходного равенства: .

При $n=3$
$Q^3(x,y,z)=-Q^3(s)$.

Остаётся доказать, что тождественное преобразование непредставимо в виде суперпозиции двух таких нетождественных преобразований. (Первое преобразование-это противоположное исходному, второе-переход с трёх переменных к одной.) (С учётом количества операций.)

[Ontt]

ishhan в сообщении #688773 писал(а):

правая часть представляет собой произведение двух форм $W^3(x,y,z)$ и $W^{p-3}(x,y,z)$ каждая из которых инвариантна не только от перестановки переменных $x,y,z$ но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных

Похоже на ненужный огород.
$E^p(x,y,z)=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ для нечетных $p>1$ само по себе "инвариантно не только от перестановки переменных $x,y,z$ но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных". Таким образом, всё сводится к рассмотрению $Q^p(x,y,z)=(x+y+z)^p$ и $E^p(x,y,z)=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$.

При этом ставить знак равенства между $Q^p(x,y,z)$ и $E^p(x,y,z)$ можно только в системе уравнений

$$\begin{cases} Q^p(x,y,z)=E^p(x,y,z) \\ x^p+y^p+z^p=0 \end{cases}$$

Моё предположение: мы приходим к "различиям в симметрии" как раз из-за того, что "случайно" потеряли одно из уравнений системы.

[ishhan]

Ontt в сообщении #688858 писал(а):

Похоже на ненужный огород

Действительно " сад-огород" и не маленький начинается с разложения на множители суммы четырёх $p$ степеней слагаемых:

$$-s^p-x^p-y^p-z^p$$

c условием того, что каждое из слагаемых представляет собой обратную сумму остальных слагаемых. Последнее условие представляет собой соотношение связывающее переменные $s+x+y+z=0$. И если это так то сумма четырёх степеней раскладывается на множители представляющий собой огород из $p$ грядок на которых растут овощи под обозначением $W^3(x,y,z)$ а также фрукты под названием $W^{p-3}(x,y,z)$:)

$$-s^p-x^p-y^p-z^p=pW^3(x,y,z)W^{p-3}(x,y,z)$$

Предполагая справедливость ВТФ одним из четырёх способов:$-x^p-y^p-z^p=0$, $-s^p-x^p-y^p=0$, $-s^p-x^p-z^p=0 $, $-s^p-y^p-z^p=0$ получим вместо красивого тождества с симметрическими формами от четырёх переменных - семейство уродливых равенств: $-s^p=pW^3(s,y,z)W^{p-3}(s,y,z)$ и так далее всего 64 равенства подобного вида.

[Ontt]

ishhan в сообщении #688921 писал(а):

$-s^p-x^p-y^p=0$, $-s^p-x^p-z^p=0 $, $-s^p-y^p-z^p=0$

Откуда Вы взяли эти равенства?
Возьмем $x=1, y=2, z=- \sqrt [3] {9}, p=3$, соответственно $s=-1-2+\sqrt [3] {9}$.

И если $-x^p-y^p-z^p=-1^3-2^3-(-\sqrt [3] {9})^3=0$,
то $-s^p-x^p-y^p=-1^3-2^3-(-1-2+\sqrt [3] {9})^3 \ne 0$. Пруф.

[ishhan]

Ontt в сообщении #688981 писал(а):

ishhan в сообщении #688921 писал(а):

$-s^p-x^p-y^p=0$, $-s^p-x^p-z^p=0 $, $-s^p-y^p-z^p=0$

Откуда Вы взяли эти равенства?

А как же словесная формула ВТФ, разве она не подходит под любое, но только одно из четырёх равенств.
Два соотношения нельзя одновременно рассматривать это не имеет смысла и ошибочно.
Каждое переменное благодаря соотношению $s+x+y+z=0$, является обратной суммой остальных:
$x=-y-z-s$, $y=-x-z-s$, $z=-y-x-s$, $s=-x-y-z $.
И в силу этого соотношения, о каждом переменном $x,y,z,s$ можно сказать -это симметрическая форма от трёх переменных.

[Ontt]

ishhan в сообщении #689006 писал(а):

но только одно из четырёх равенств

Тогда Ваше "Предполагая справедливость ВТФ одним из четырёх способов" абсурдно. Если ВТФ справедлива, то целых $x, y, z, s,$ не равных нулю, не существует.

В целом же Вы опять фактически получаете систему уравнений, но записывая её, "случайно" теряете одно из них. А потом удивляетесь результату.
Приведу аналогичные Вашим рассуждения для $x^3+y^3=0$.

Возьмем $-a^3 - b^3 + (a + b)^3=3 a b (a+b)$. Мы "получили" форму, которая "инвариантна не только от перестановки переменных $a,b$ но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных".
Дальше предположим, что для некоторых $a, b$ соблюдается исходное равенство, в данном случае это $a^3+b^3=0$. Записывая явно, имеем:
$\begin{cases} -a^3 - b^3 + (a + b)^3=3 a b (a+b) \\ a^3+b^3=0 \end{cases}$
или
$\begin{cases} (a + b)^3=3 a b (a+b) \\ a^3+b^3=0 \end{cases}$
Естественно, что у $(a + b)^3$ и $3 a b (a+b)$ имеются "различия в симметрии". Однако делать из этого далеко идущие выводы вряд ли стоит.

[TR63]

Ontt в сообщении #689069 писал(а):

Возьмем$-a^3-b^3+(a+b)^3=3ab(a+b) $. Мы "получили" форму, которая "инвариантна не только от перестановки переменных но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных".

Ontt,
можете подтвердить выкладками это утверждение? (У меня не получается).

[Ontt]

TR63 в сообщении #689084 писал(а):

можете подтвердить выкладками это утверждение?

Тождество $-a^3-b^3+(a+b)^3=ab(a+b)$ посчитал "калькулятор".

Обратная сумма переменных: $s=-a-b$.

Левая часть (обозначим как $T_1(x_1,x_2)$):
1) $T_1(b,a)=T_1(a,b)$: $-b^3-a^3+(b+a)^3=-a^3-b^3+(a+b)^3$;
2) $T_1(s,b)=T_1(a,b)$: $ -s^3-b^3+(s+b)^3=-(-a-b)^3-b^3+((-a-b)+b)^3=$
$=(a+b)^3-b^3+(-a^3)=-a^3-b^3+(a+b)^3$;
3) $T_1(a,s)=T_1(a,b)$: $-a^3-s^3+(a+s)^3=-a^3-(-a-b)^3+(a+(-a-b))^3=$
$=-a^3+(a+b)^3+(-b^3)=-a^3-b^3+(a+b)^3$;
случаи $T_1(s,a)=T_1(a,b)$ и $T_1(b,s)=T_1(a,b)$ аналогично.

Правая часть (обозначим как $T_2(x_1,x_2)$):
1) $T_2(b,a)=T_2(a,b)$: $ 3ba(b+a)=3ab(a+b)$;
2) $T_2(s,b)=T_2(a,b)$: $ 3sb(s+b)=3(-a-b)b((-a-b)+b)=$
$=-3b(a+b)(-a)=3ab(a+b)$;
3) $T_2(a,s)=T_2(a,b)$: $ 3as(a+s)=3a(-a-b)(a+(-a-b))=$
$=-3a(a+b)(-b)=3ab(a+b)$;
случаи $T_2(s,a)=T_2(a,b)$ и $T_2(b,s)=T_2(a,b)$ аналогично.

[Ontt]

Ontt в сообщении #689094 писал(а):

Тождество $-a^3-b^3+(a+b)^3=ab(a+b)$

Виноват, конечно же $-a^3-b^3+(a+b)^3=3ab(a+b)$.

[TR63]

Ontt,
действительно, просто.
У меня ещё есть вопрос (возможно, тривиальный, но мне не понятный). Однако сейчас нет времени.

[ishhan]

Ontt в сообщении #689108 писал(а):

ishhan в сообщении #689006 писал(а):
но только одно из четырёх равенств
Тогда Ваше "Предполагая справедливость ВТФ одним из четырёх способов" абсурдно. Если ВТФ справедлива, то целых $x, y, z, s,$ не равных нулю, не существует.

В целом же Вы опять фактически получаете систему уравнений, но записывая её, "случайно" теряете одно из них. А потом удивляетесь результату.
Приведу аналогичные Вашим рассуждения для $x^3+y^3=0$.

Возьмем $-a^3 - b^3 + (a + b)^3=3 a b (a+b)$. Мы "получили" форму, которая "инвариантна не только от перестановки переменных $a,b$ но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных".

Хороший примерчик.
Это первое что приходит в голову-изучить свойства $W^{n-3}(x,y)$:
$(x+y)^p-x^p-y^p=pxy(x+y)W^{n-3}(x,y)$
И если продолжить ваши рассуждения по поводу зеркальности формы $x^3+y^3$ в тождестве:
$(x+y)^3-3xy(x+y)=x^3+y^3 $
Тут уж всё ясно, так как мультипликативный скелет уравнения $x^3+y^3=0$ это не что иное как:
$(x+y)^3=3xy(x+y)$
(в этом контексте и про мультипликативный скелет мнимого уравнения Пифагора стоит упомянуть $(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$)