Фильтрация фантомных решений

[ananova]

Данный пост пишу для тех, кто ещё верит, что существует простое решение ВТФ.

К счастью, форум позволяет экспериментировать в этом направлении и подпитывать чьи-то надежды.

Известно, что в конечных полях, существует бесконечное множество решений основного уравнения ВТФ, а в целых положительных числах нет ни одного решения.

Чтобы как-то обозначить такую ситуацию с решениями, будем называть решения в конечном поле “фантомными”, если они не имеют решений в целых положительных числах. Возможно, что в математике есть другой термин. Во всяком случае не всегда взгляды на термины однозначны. Так, у нас используется термин - формула ускоренного умножения, почему-то везде используют другой термин - формула факторизации. Вам понятно как ускоряется умножение в формуле? Мне не очень.

Переходим к сути темы. Как Вы, наверное, уже поняли, ВТФ будем доказывать методом фильтрации фантомных решений.

Предположим, что ВТФ не доказана. В таком случае, предполагаем, что не все решения в конечных полях будут фантомными и определенная часть из них, возможно, имеет решения в целых положительных числах. Назовем возможные решения – истинными решениями.

Суть метода заключается в том, чтобы показать, что для любой тройки (x, y, z) всегда найдется конечное поле, в котором имеются только фантомные решения и отсутствуют истинные решения.

Доказательство проведем для показателя степени n=3. (Для других показателей, как ни странно, доказательство не сильно усложняется.)

$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1)

$0<x<y<z$ (2)

$(x+y)>z $ (3)

$(x,y)=1; (y,z)=1; (z,x)=1$ (4)

$x_1^3= z-y$ (5)

$x_2^3=z^2+zy+y^2 = 3zy + (z-y)^2=3zy+x_1^6$ (6)

$(x_1, x_2)=1 $ (7)

$x=x_1x_2$ (8)

$0<x_1<{ \{ x_1^2 \} \ ? \ \{ x_2 \}}< x <y<z$ (9)

$x_1^6 \equiv_{ \{ 3zy \}} x_2^3$ (10)

$x_1^2 \equiv_{ \{ 3zy \}} x_2$ (11)

(11) противоречит (7), т.к.

{$x_1^2, x_2$}$<x<y<3zy$ (12)

Два натуральных числа $x_1^2, x_2$ из отрезка $[1; 3zy]$ сравнимы по модулю $3zy$ тогда и только тогда, когда они равны. Так как сравниваемые числа значительно меньше модуля, то делаем вывод о равенстве чисел. Такое равенство противоречит условию (7), для целых положительных чисел, уравнения (1), т.к. числа имеют общий множитель $x_1$. Это доказывает, что возможно только фантомное решение уравнения (1).

Таким образом, показано, что можно получить для любой пары $z, y$ – положительное число $x_1$, которое является обязательной частью решения уравнения (1). Но значение $x_1^2$ всегда сравнимо с $x_2 $ по модулю $3zy.$ Учитывая, что предложенный для доказательства модуль значительно превышает $x_1^2$, делаем вывод, что решение уравнения (1) является фантомным.

Пример, пусть $y=5, z=6$

В таком случае, $x_1=1$, $x_2=1^2=1$.

Действительно, $1^3+5^3 \equiv_{ \{ 3 \cdot 5 \cdot 6 \}} 6^3$

Из (11) следует также противоречие с (3).

[nnosipov]

ananova в сообщении #590907 писал(а):

$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1)

Странная система равенств.

[AKM]

ananova в сообщении #590907 писал(а):

$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1)

$0<x<y<z$ (2)

$(x+y)>z $ (3)

А я бы, заботясь о читателях моих опусов, писал(а):

$$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)\eqno(1)$$ $$0<x<y<z\eqno(2)$$ $$(x+y)>z \eqno(3)$$

[ananova]

nnosipov

Да, это я "сгоряча", конечно:

$x^3=z^3-y^3$ в левой части.

-- Вс июл 01, 2012 11:57:31 --

AKM

Ой, да, сначала сделал так как сделал, потом решил, как Вы предложили, - написать по центру, но ... не поправить теперь! Возьму на заметку на будущее.

[nnosipov]

ananova в сообщении #590907 писал(а):

$x_1^3= z-y$ (5)

А это откуда следует? Почему $z-y$ будет точным кубом?

[ananova]

nnosipov в сообщении #590919 писал(а):

ananova в сообщении #590907 писал(а):

$x_1^3= z-y$ (5)

А это откуда следует? Почему $z-y$ будет точным кубом?

Решил не доказывать то, что до нас уже 100 раз доказали.

[AKM]

Так ссылочку бы привели. Не на все 100 раз, а, например, на лучший вариант.

-- 01 июл 2012, 13:05 --

И совершенно ни к чему целиком цитировать предыдущее сообщение.
(Ну, если Вы подозреваете, что автор его тут же исправит, то...)

[nnosipov]

ananova в сообщении #590922 писал(а):

Решил не доказывать то, что до нас уже 100 раз доказали.

Это доказали при дополнительном условии, что $x$ не делится на $3$. А если $x$ делится на $3$?

[ananova]

AKM в сообщении #590925 писал(а):

Так ссылочку бы привели. Не на все 100 раз, а, например, на лучший вариант.

Ну лучший, которому можно доверять - в книге Последняя теорема Ферма на странице 116 русского издания.

Известны, как соотношения Барлоу. После Барлоу соотношения были выведены и для Случая 2 многочисленными авторами.

-- Вс июл 01, 2012 12:10:59 --

nnosipov в сообщении #590938 писал(а):

ananova в сообщении #590922 писал(а):

Решил не доказывать то, что до нас уже 100 раз доказали.

Это доказали при дополнительном условии, что $x$ не делится на $3$. А если $x$ делится на $3$?

Да, вот тут Вы правы. Не подумал над этим. Скорей всего не обойти?

[nnosipov]

ananova в сообщении #590939 писал(а):

После Барлоу соотношения были выведены и для Случая 2 многочисленными авторами.

Точную ссылку приведите.

-- Вс июл 01, 2012 16:25:44 --

ananova в сообщении #590939 писал(а):

Да, вот тут Вы правы. Не подумал над этим. Скорей всего не обойти?

Всё, что имеем, см. на стр. 121 перед списком литературы. (Я так понял, что вы имели в виду книгу Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей", М.: Мир, 2003.)

[ananova]

nnosipov в сообщении #590948 писал(а):

ananova в сообщении #590939 писал(а):

После Барлоу соотношения были выведены и для Случая 2 многочисленными авторами.

Точную ссылку приведите.

Что тут сказать?.. Для Случая 2 я не рассматривал (забыл или просто поспешил). А соотношения для Случая 2 можно найти на странице 119 Рибенбойма. В интернет - сейчас погуглю. Но, однозначно, что будет примерно так:

$$z-y=3^{3n-1}x_{ \{1' \}}^3$$

$$x_2^3=3x_{ \{2' \}}^3$$

[nnosipov]

ananova, всё уже разъяснилось. Просто случай 1 для $n=3$ тривиален, поэтому представляет интерес только случай 2. Им и надо заниматься.

[ananova]

nnosipov в сообщении #590956 писал(а):

ananova, всё уже разъяснилось. Просто случай 1 для $n=3$ тривиален, поэтому представляет интерес только случай 2. Им и надо заниматься.

Да, спасибо, профессионально быстро нашли дырку.

-- Вс июл 01, 2012 13:10:46 --

Если рассматривать простейший Случай 2, когда $x$ кратно только числу 3, то, если чего не перепутал:

$$3^{4}x_{ \{1' \}}^6 + 3zy = 3x_{ \{2' \}}^3$$

Сократим на 3:

$$3^{3}x_{ \{1' \}}^6 + zy =x_{ \{2' \}}^3$$

Тогда имеем сравнение:

$$3x_{ \{1' \}}^2 \equiv_{zy} x_{ \{2' \}}$$

$x_{ \{2' \}}$ меньше $y$ и $3x_{ \{1' \}}^2$ меньше $y$, что ведет к указанным ранее противоречиям.


Аналогично, для делителей $x$: $3^n$.

[ananova]

Пример для Случая 2

Пусть $y=5, z=8$

$$x=3 \cdot x_{ \{1' \} }^2 \cdot x_{ \{1' \} } $$

В таком случае, x_{ \{1' \} }=1$, $x_{ \{2' \} }=3$.

$$3^3+5^3 \equiv_{ \{ 5 \cdot 8 \}} 8^3$$

Что противоречит (3):

$$ x+y>z$$

[Someone]

ananova в сообщении #590957 писал(а):

$x_{ \{2' \}}$ меньше $y$ и $3x_{ \{1' \}}^2$ меньше $y$, что ведет к указанным ранее противоречиям.


Аналогично, для делителей $x$: $3^n$.

Ох уж мне это "аналогично"... Если одна из неизвестных $x$, $y$ или $z$ делится на $3^2$, то противоречия не получается.

ananova в сообщении #590954 писал(а):

$$x_2^3=3x_{ \{2' \}}^3$$

Вы ничего не напутали? И вообще, обозначения надо бы объяснять.