Фильтрация фантомных решений

[ishhan]

Ontt в сообщении #690646 писал(а):

TR63 в сообщении #690633 писал(а):
Справа (x) во второй степени, а слева в первой. Как это понимать?
ishhan снова неявно сделал систему уравнений, введя к уравнению
$(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$ еще одно $x^2+y^2=z^2$, но "забыл" об этом написать.

Пардон, всё правильно и я ничего на этот раз не забыл.
Уравнение Пифагора можно вывернуть наизнанку тогда получится:
$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$
Нетрудно всё перемножить:
$x^2+y^2+z^2+2xy-2xz-2zy=2z^2-2zy-2zx+2xy $
И привести подобные члены- в результате без всяких предположений из исходного уравнения после эквивалентных преобразований получим: $x^2+y^2=z^2$
Зачем тут делать какие-либо оговорки?
Ontt,ошибочно назвал тождество $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$- уравнением и всё недопонимание из-за этого.

[Ontt]

ishhan в сообщении #690733 писал(а):

Ontt,ошибочно назвал тождество $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$- уравнением и всё недопонимание из-за этого.

До тех пор, пока мы его рассматриваем как самостоятельную запись, это тождество. Но как только мы пытаемся к этой записи "привязать" $x^2+y^2=z^2$, оно превращается в уравнение и мы получаем систему уравнений.

ishhan в сообщении #690733 писал(а):

Пардон, всё правильно и я ничего на этот раз не забыл.

А, значит Вы "забыли" $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$, рассматривая $x^2+y^2=z^2$ без него.

[ishhan]

Ontt в сообщении #690784 писал(а):

До тех пор, пока мы его рассматриваем как самостоятельную запись, это тождество. Но как только мы пытаемся к этой записи "привязать" $x^2+y^2=z^2$, оно превращается в уравнение

С этим согласен.
Но дальше Вы пишете

Ontt в сообщении #690784 писал(а):

и мы получаем систему уравнений

Про систему уравнений уже лишнее.
Эти два уравнения являются частями одного тождества, как у монеты две стороны, так и у тождества две части:
$(x+y-z)^2-2(z-x)(z-y)=x^2+y^2-z^2$
В результате одно уравнение дополняет другое до тождества.

[TR63]

ishhan в сообщении #690816 писал(а):

Про систему уравнений уже лишнее.

ishhan, по-моему прав Ontt. Вы тоже правы в последнем абзаце без первого предложения.
Я думаю, пора решать, что делать дальше. Ontt неуверен, что Ваша гипотеза даст в этой теме результат. А мне достаточно того, что я с Вашей помощью обнаружила новую гипотезу. ( Для этой темы можно попробовать изучить свойства преобразований (в системе). Будет ли результат? Не знаю.)

[ishhan]

TR63 в сообщении #690974 писал(а):

А мне достаточно того, что я с Вашей помощью обнаружила новую гипотезу. ( Для этой темы можно попробовать изучить свойства преобразований (в системе). Будет ли результат? Не знаю.)

Проверяйте численно или напишите.

TR63 в сообщении #690974 писал(а):

ishhan в сообщении #690816 писал(а):
Про систему уравнений уже лишнее.
ishhan, по-моему прав Ontt. Вы тоже правы в последнем абзаце без первого предложения.
Я думаю, пора решать, что делать дальше. Ontt неуверен, что Ваша гипотеза даст в этой теме результат. А мне достаточно того, что я с Вашей помощью обнаружила новую гипотезу. ( Для этой темы можно попробовать изучить свойства преобразований (в системе). Будет ли результат? Не знаю.)

"Ontt, не уверен"- что подразумевается под этим?
Уверенность или неуверенность в численном результате проверяется численно.
Так, например мне, было легче найти решения "изнаночного уравнения Пифагора":$ (x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$
записав условия целостности из трёх уравнений:
$z-x=2p^2$
$z-y=q^2$
$x+y-z=2pq$
Уравнения $x^2+y^2=z^2$ и $(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$- эквивалентны.
Если уж так сильно хочется, то рассматривайте их как систему уравнений, но не делайте далеко идущих выводов:)

[Ontt]

(Оффтоп)

Мы топчемся на месте, к сожалению.

[vasili]

Пусть ваши рассуждения изложены при условии, что $(Z,3)= 3$, тогда откуда Вы взяли, что из сравнения (10) по модулю ZY, следует сравнение (11) по модулю ZY. Это очевидная ошибка.

[TR63]

ishhan, Вы при $n=2$ доказали, что система состоит из двух эквивалентных уравнений. При $n>2$ такой способ не пройдёт. И рассматривать надо систему. Это тоже интересный факт.

[Belfegor]

Ontt в сообщении #690784 писал(а):

А, значит Вы "забыли" $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$, рассматривая $x^2+y^2=z^2$ без него.

Уважаемый Ontt! Мы как-то уже имели жаркую дискуссию (незаконченную) с уважаемым ishhan по поводу этих "удивительных фокусов" с преобразованной формой ВТФ для 3 степени, в данном случае тот же способ, применён к пифагоровским тройкам! Какая здесь может быть система уравнений, если $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$ получена элементарными преобразованиями из $x^2+y^2=z^2$ с добавлением 0, который представлен $-x^2-y^2+z^2=0$

[ishhan]

Тождество с участием тринома $(x+y-z)^n$ для простых $n$ уже давно использовалось в доказательстве некоторых частных случаев ВТФ.
Я открыл его для себя сам, рассматривая геометрический смысл уравнений Пифагора (ВТФ2) и Ферма для n=3 (ВТФ3).
В конце текста первой ссылки оно приводится для показателя $n=7$ и его использовал Ламе в доказательстве ВТФ для $n=7$
http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html
Во второй ссылке тождество с участием тринома приводится для показателей $n=3,5,7$
http://www.mathpages.com/home/kmath367.htm
В популярной литературе по ВТФ (на английском яз.) уравнение эквивалентное ВТФ и полученное из триномиального тождества называют "мнимым уравнением Ферма". Мнимое уравнение Ферма эквивалентно уравнению Ферма.
Мнимое уравнение имеет длинную алгебраическую запись. Ещё бы, мы ведь выворачиваем наизнанку "Трином Ньютона":)
То, что мнимое уравнение Ферма можно записать в виде равенства такого, что его правая и левая часть будут иметь существенно разные виды инвариантности относительно перестановки и линейной замены переменных, заметил ваш покорный слуга.
Этот факт мне давно уже не даёт покоя и я пытаюсь его понять с помощью подсказок экспертов и всех других уважаемых форумчан.

[TR63]

ishhan,
я не знакома с литературой. Из того, что мы имеем в этой теме, я делаю вывод, что мы ходим по окружности (где-то я это слышала; помнится, тема была закрыта). Т.е. : для того, чтобы доказать, что система состоит из двух эквивалентных уравнений, надо доказать (решить) теорему Ферма; чтобы доказать (решить) теорему Ферма надо доказать, что система состоит из двух эквиваленных уравнений. Короче, окружность. Если ошибаюсь, исправьте.

[ishhan]

TR63 в сообщении #691318 писал(а):

я не знакома с литературой .

Вся литература по математике пишется сначала на английском языке, а в лучшем случае лет через несколько, только появляется на русском языке, так что следует ознакомиться с первоисточниками, а они на английском.
Хорошо уже то, что не обсуждается эквивалентность уравнений$ x^n+y^n+z^n=0 $ и уравнения Ферма для $n $простых.
Системы нет, система давно рухнула
Есть два эквивалентных уравнения:

$$x^n+y^n+z^n=0$$

$$(x+y+z)^n=nW^3(x,y,z)W^{n-3}(x,y,z)$$

$W^3(x,y,z)=(x+y)(x+z)(y+z)$
$W^{n-3}(x,y,z)$- целочисленная форма со специальным свойством симметрии переменных степени $n-3$
для простых показателей степени $n$ , и это уж поверьте "грешно" даже обсуждать

[Ontt]

Belfegor в сообщении #691206 писал(а):

Какая здесь может быть система уравнений, если $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$ получена элементарными преобразованиями из $x^2+y^2=z^2$ с добавлением 0, который представлен $-x^2-y^2+z^2=0$

Система уравнений может быть любая. "Система" - это способ записи. Проблема рассматриваемого вопроса частично кроется в том, что используется неявные способы записи. Я предложил систему, но можно использовать любые другие способы, лишь бы они были явными.

[TR63]

ishhan,
Вы опираетесь на авторитеты. Они имеют свойство иногда ошибаться, причём, архикрупно (гарантия 100 процентов). В данной теме мы имеем "окружность". Чтобы это увидеть, авторитеты не нужны. Достаточно простой логики. Хотя у авторитетов, возможно, другая логика. Но логика может быть только единственной. Что делать? (Не верить собственным глазам. Может, у меня тёмные очки, т. е. тёмная логика? Но это надо доказать.)

[ishhan]

TR63 в сообщении #691339 писал(а):

ishhan,
Вы опираетесь на авторитеты. Они имеют свойство иногда ошибаться, причём, архикрупно (гарантия 100 процентов). В данной теме мы имеем "окружность". Чтобы это увидеть, авторитеты не нужны. Достаточно простой логики. Хотя у авторитетов, возможно, другая логика. Но логика может быть только единственной. Что делать? (Не верить собственным глазам. Может, у меня тёмные очки, т. е. тёмная логика? Но это надо доказать.)

Для меня Ламе является безусловным авторитетом, а так же и Леонард Эйлер и Пьер Ферма.
Я ничего не доказываю, мои гипотезы находится в ранге наблюдений.