Асимптотическая плоскость

[ИСН]

Горизонтальная - частный случай наклонной? Тогда я сейчас приведу Вам пример, где их даже не 5, а бесконечно много.

-- Ср, 2012-06-20, 12:59 --

Да если и нет. Наклон прибавить можно к чему угодно. Делов-то.
Итак, встречайте. Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы.

$$z=\sin x+e^{-y^2}$$

Каждая плоскость $z=C,\,|C|\le1$, является асимптотической!

[Shtorm]

ИСН в сообщении #587244 писал(а):

Горизонтальная - частный случай наклонной?

Да. Так же как для функции $y=f(x)$ горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, так и для асимптотических плоскостей. Я стараюсь действовать по аналогиям.

ИСН в сообщении #587244 писал(а):

Тогда я сейчас приведу Вам пример, где их даже не 5, а бесконечно много.

Давайте.

ИСН в сообщении #587244 писал(а):

Да если и нет.

То есть Вы согласны со мной, что не более четырёх наклонных(горизонтальных)?

ИСН в сообщении #587244 писал(а):

Наклон прибавить можно к чему угодно. Делов-то.

Наклон конечно можно добавить. И тогда бесконечное число вертикальных асимптотических плоскостей (В.А.П.) превращаются в бесконечное число наклонных, как мы уже видели на примере тангенсоидного цилиндра. Но тогда явно заданная функция превращается в неявно заданную. А я как раз веду речь о 4 наклонных асимптотических плоскостях (Н.А.П.) именно для явно заданной функции.

ИСН в сообщении #587244 писал(а):

Итак, встречайте. Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы.

$$z=\sin x+e^{-y^2}$$

Каждая плоскость $z=C,\,|C|\le1$, является асимптотической!

Рассекаем эту поверхность плоскостями $z=C и видим, что эти плоскости никоим образом не являются А.П. Другое дело, что линии пересечения, образованные этими плоскостями и данной поверхностью – будут являться кривыми, имеющими асимтоты. Если меняем $C$ – то изменяются кривые и соответственно их асимптоты тоже меняются. Таким образом у данной поверхности нет никаких А.П. Ни наклонных, ни вертикальных.

[Алексей К.]

Пусть $r(x,y),\;\varphi(x,y)$ определяются соотношением $x+iy=re^{i\varphi}$.
Про $z=\tg(2012\varphi)$ вроде всё ясно, а с $z=\tg(r\varphi)$ боязно голову ломать... $z=\tg(e^r\varphi)\ldots$

[ИСН]

Shtorm в сообщении #587403 писал(а):

Таким образом у данной поверхности нет никаких А.П.

Есть. Или Вы каким определением пользуетесь?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #587403 писал(а):

Рассекаем эту поверхность плоскостями и видим, ...

Нельзя ли подробностей? Как подсекали, как увидели...

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #586646 писал(а):

тогда и мои формулы верны.

Shtorm, Вы уже неоднократно гордились тут своими верными формулами. Поначалу я их не читал: ну, правда, тривиальщина: поискать в двух сечениях пределы-асимптоты, потом убедиться, что они принадлежат одной плоскости. Не заметил, что Вы этим озаботились, но любой грамотный студент, встань перед ним такая задачка, справится. Однако Ваша не раз повторенная гордость таки заставила меня посмотреть на них внимательнее.

Shtorm в сообщении #581661 писал(а):

Вычисляем
$b=\lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty}}(f(x,y)-k_{1}x-k_{2}y) $

$b=\lim \limits_{\substack{x\to -\infty \\ y\to -\infty}}(f(x,y)-k_{1}x-k_{2}y) $

Ну ладно, допустим, случай $x\to+\infty$, $y\to -\infty$ Вы забыли по невнимательности (уж сколько раз Вы тут били себя по лбу). Но Вы действительно умеете считать пределы функций двух переменных по двум переменным? Тема не раз возникала на форуме как весьма непростая, и я, ленивый, не удосужился выучить. Но Вы, ещё бОльший чайник чем я, неужели Вы так легко с ними справляетесь? Вот это ---

$$\lim \limits_{\substack{x\to \ldots \\ y\to\ldots}}\ldots\,,$$

оно Вам действительно как два пальца? Ну расскажите, если не трудно, чему равен

$$\lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty }}\left[\sqrt{x^2+y^2}-(x+y)\right]\;?$$

Я не язвлю, я правда решил проверить Ваши великие формулы для конуса $z=\sqrt{x^2+y^2}$, думал, что ниспровергну их, но, почитавши их внимательно, понял, что сам не справлюсь. Не умею такие пределы брать. Определений не знаю...

[svv]

(Оффтоп)

Боже, когда же это закончится...

[Shtorm]

ИСН в сообщении #587416 писал(а):

Есть. Или Вы каким определением пользуетесь?

Алексей К. в сообщении #587423 писал(а):

Нельзя ли подробностей? Как подсекали, как увидели...

Итак, уважаемый ИСН утверждал, что асимптотическими плоскостями являются

$z=C,\,|C|\le1$,

Поначалу, я рассекал поверхность

$$z=\sin x+e^{-y^2}$$

различными плоскостями, перпендикулярными плоскости $OXY$.

$x=C$, затем $y=C_{1}x+C_{2}$

Действительно, в ряде семейств параллельных плоскостей получаются кривые, обладающие асимптотами, но эти асимптоты меняются от плоскости к плоскости. Следовательно, никаких А.П. нет. (может в этом плане нужно уточнить определение?) Потом я перешёл к плоскостям $z=C$. Подставляем в уравнение поверхности и получаем:

$$C=\sin x+e^{-y^2}$$

То есть в этих плоскостях получаем кривые, заданные уравнением

$$\sin x+e^{-y^2}-C=0$$

Если эти кривые нарисовать в плоскости $XOY$, то они представляют собой семейство кривых, повторяющихся через период и имеющих вертикальные асимптоты. Меняем C – меняются кривые – и меняются значит их асимптоты. Я делаю однозначный вывод, что нет А.П. Если бы при изменении C - асимптоты оставались бы такими же, то можно было бы говорить об А.П. (Ну то есть надо доработать определение.)

Да и как бы вообще появились у этой поверхности А.П., если $\sin x$, колеблется от -1 до 1 и заставляет колебаться вместе с собой значения экспоненты.

[ИСН]

Определение приведите, пожалуйста.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #587436 писал(а):

Shtorm, Вы уже неоднократно гордились тут своими верными формулами.

Ну, вообще я ложной гордыней не страдаю. Если мы с Вами или с кем-то придём к выводу, что эти формулы не нужны, то я их отброшу как ненужный мусор. Я вообще старался везде брать "мои формулы" в кавычки. Жаль, если где-то не взял. Я брал их в кавычки, потому, что написал их просто по аналогии с формулами для наклонных асимптот функции одной перемененной, а не вывел их. Поэтому гордится мне в этом плане совершенно нечем. Да, я выпячивал эти формулы - как раз в надежде, что кто-то из опытных математиков обратит на это внимание и даст свою оценку этим формулам. Поэтому я Вам очень благодарен в этом плане.

Алексей К. в сообщении #587436 писал(а):

Поначалу я их не читал: ну, правда, тривиальщина: поискать в двух сечениях пределы-асимптоты, потом убедиться, что они принадлежат одной плоскости. Не заметил, что Вы этим озаботились, но любой грамотный студент, встань перед ним такая задачка, справится.

Да, пожалуй, Вы сейчас высказали более оптимальный способ поиска уравнений Н.А.П. (наклонных асимптотических плоскостей). НО! Чтобы убедится в наличие реальной Н.А.П., придётся перебирать несколько параллельных сечений, сначала в одном направлении, потом во втором, потом в третьем. Если в одном семействе параллельных плоскостей будут получаться разные асимптоты, то никаких Н.А.П нет.
А «те формулы», как бы мне почудилось, давали сразу полное и однозначное представление о наличие Н.А.П.

Алексей К. в сообщении #587436 писал(а):

Ну ладно, допустим, случай $x\to+\infty$, $y\to -\infty$ Вы забыли по невнимательности (уж сколько раз Вы тут били себя по лбу).

Да, я предполагал, при поиске коэффициента $b$, в предел подставляются те же бесконечности, что и в найденном пределе для коэффициентов $k_{1}$ и $k_{2}$, надо это ещё обдумать.

Алексей К. в сообщении #587436 писал(а):

Но Вы действительно умеете считать пределы функций двух переменных по двум переменным? Тема не раз возникала на форуме как весьма непростая, и я, ленивый, не удосужился выучить. Но Вы, ещё бОльший чайник чем я, неужели Вы так легко с ними справляетесь? Вот это ---

$$\lim \limits_{\substack{x\to \ldots \\ y\to\ldots}}\ldots\,,$$

оно Вам действительно как два пальца? Ну расскажите, если не трудно, чему равен

$$\lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty }}\left[\sqrt{x^2+y^2}-(x+y)\right]\;?$$

Я не язвлю, я правда решил проверить Ваши великие формулы для конуса $z=\sqrt{x^2+y^2}$, думал, что ниспровергну их, но, почитавши их внимательно, понял, что сам не справлюсь. Не умею такие пределы брать. Определений не знаю...

Да, пожалуй, это определённая проблема. В этой теме, я все такие пределы брал в уме – для функций, имеющих Н.А.П. и сразу там всё так получалось без особых заморочек. Для тех же функций, которые не имеют Н.А.П., все время у меня получалось, что уже по угловым коэффициентам видно, что нет Н.А.П. И вот конус – это первая поверхность, в которой мы встретились с проблемой, что угловые коэффициенты имеют конечные значения и подставляем их в формулу для $b$.

Думаю так:

$\lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty }}\left[\sqrt{x^2+y^2}-(x+y)\right]\= \lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty }}\frac {(x^2+y^2)-(x+y)^2}{\sqrt{ x^2+y^2}+(x+y)}=\lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty }}\frac {-2xy}{\sqrt{ x^2+y^2}+(x+y)}$

Далее, для вычисления предела необходимо рассмотреть последовательность каких-либо точек, сходящихся к нужной там точке. Это я по Фихтенгольцу сейчас рассуждаю, хоть и своими словами. У нас точки должны уходить на бесконечность, поэтому если мы возьмём последовательность точек с координатами (x; x), то они как раз уходят на бесконечность, что нам и надо. Иными словами рассматриваем точки, лежащие на прямой $y=x$. И следовательно подставляем в предел, вместо y переменную x и далее вычисляем как обычный предел с одной переменной. Нетрудно убедится, что такой предел равен бесконечности. Я не проверял, но чисто по наитию, если вместо прямой $y=x$, взять любую другую прямую, лежащую в плоскости $XOY$, то получится то же самое.
Итак, делаем вывод, для конуса никаких Н.А.П. (наклонных асимптотических плоскостей) нет.

[ИСН]

Определение

[Shtorm]

ИСН в сообщении #587658 писал(а):

Определение приведите, пожалуйста.

"Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует такое семейство параллельных плоскостей $N \perp P$, что прямая, образованная пересечением любой плоскости семейства $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением той же $N$ и $S$."

Значит, дополним определение:

"Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует такое семейство параллельных плоскостей $N \perp P$, что прямая, образованная пересечением любой плоскости семейства $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением той же $N$ и $S$. Причём для всех плоскостей, асимптоты одинаковы."

Я извиняюсь за безграмотный язык. Конечно нужно это переписать в символах матлогики и теории множеств.

[ИСН]

Для чего Вы сделали это дополнение? Каков его смысл? И как могут быть асимптоты одинаковы для разных плоскостей, когда они, по крайней мере, лежат тупо в разных плоскостях? Совпадение таким образом исключено; в каких ещё отношениях могут находиться две прямые? Параллельные знаю, пересекающиеся знаю, скрещивающиеся знаю - одинаковых не знаю. Что это значит?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #587691 писал(а):

Для чего Вы сделали это дополнение? Каков его смысл?

Ну вот к примеру, берём гиперболический цилиндр $y^2-z^2=1$. Рассекаем его семейством плоскостей $x=C$. Во всех сечениях получаются гиперболы, а пересечение семейства и наклонных асимптотических плоскостей (Н.А.П.) даёт асимптоты, для этих гипербол. C учётом Вашей критики говорим, что все эти гиперболы и асимптоты не совпадают, поскольку лежат в разных плоскостях. Ну давайте напишем, что проекции этих асимптот на плоскость $YOZ$ совпадают. Так пойдёт?
Так вот, если проекции этих асимптот не будут совпадать, то и асимптотической плоскости (А.П.) не будет.

[ИСН]

Так, ясно. Теперь:

Shtorm в сообщении #587697 писал(а):

если проекции этих асимптот не будут совпадать, то и асимптотической плоскости (А.П.) не будет.

- откуда это? кто сказал?