Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

Нет. В ПСВ по модулям $p_r\#>19\#\;\;d_{\max}$ может быть и больше $2p_{r-1}$, т.е. такие разности расположены не на стыках, но где-то в других местах.
Мне это пока не удалось выяснить. Но разности $2p_{r-1}$ есть во всех ПСВ именно на стыках.
Во всяком случае $d_{\max}$ в любой ПСВ не превышает $2p_{r+1},$ т.е. $2p_{r-1}\leqslant d_{\max}<2p_{r+1}.$

[vicvolf]

Вообщем с учетом обрамляющих 2 в каждой ПСВ получается зеркальное отображение.

[vorvalm]

Хочу отметить еще один момент, связанный с $d_{\max}.$
Разности $d_{\max}=2p_{r-1}$ как правило появляются в ПСВ парами на 2-х стыках,
где числа $kp_r\#\pm 1$ кратны $p_{r+1},p_{r+2}.$
А вот $d_{\max}>2p_{r-1}$ появляются в ПСВ симметрично в гораздо большем количестве, как пузыри в кипящей смоле.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #575903 писал(а):

Вообщем с учетом обрамляющих 2 в каждой ПСВ получается зеркальное отображение.

Спасибо! Очевидно зеркальное отображение внутри ПСВ выполняется и для произвольного модуля. Однако доказательство этого факта не нашел для общего случая у Бухштаба, не для частного случая $M=2*3*...*p_r$ в Ваших темах?

[vorvalm]

А почему вас так беспокоит доказательство того факта,
что вычеты любой ПСВ по любому модулю $m$ расположены симметрично относительно числа $0,5m$.
Это следует из определения ПСВ, но только для основных ПСВ,
где все вычеты меньше модуля и следуют друг за другом в порядке их увеличения.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #576046 писал(а):

А почему вас так беспокоит доказательство того факта, что вычеты любой ПСВ по любому модулю $m$ расположены симметрично относительно числа $0,5m$.

Просто Вы об этом часто пишите и используете в теме, а ссылки на доказательство нет.

vorvalm писал(а):

Это следует из определения ПСВ, но только для основных ПСВ,
где все вычеты меньше модуля и следуют друг за другом в порядке их увеличения.

Это я понял.

[vorvalm]

Так как вычеты ПСВ по модулю $m$ взаимно простые с модулем, то если первый вычет $a_1=1,$
то последний вычет равен $m-a_1,$ и т.д.

[vicvolf]

Это понятно! Далее можно по индукции.

[vorvalm]

Как вы относитесь к элементарным вычислениям ?
Проверяли ли вы точность предложенной таблицы по тем критериям, которые я предложил.
Для каждой разности есть своя формула в зависимости от модуля М.
Все разности в ПСВ вычислины по этим формулам до $d=34$.
У меня не хватило терпения найти формулы для $d=36,d=38$.
Процесс трудоемкий, а программу для вычисления я не смог составить.
Кстати, я использую среду $Borland C++ Builder$.
Вы с ней знакомы ? Что можете посоветовать.
Так вот, разности в ПСВ по модулю $23\#$ можно найти экстрополяцией,
вычислив число разностей до $d=34$ по модулю $23\#$, а
оставшиеся разности: $d=36,d=38$ найти как разность $\varphi(23\#)-N(d=36)-N(d=38)$
Я это в свое время сделал и оказалось, что в этой ПСВ есть разности $d=40.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #576139 писал(а):

Как вы относитесь к элементарным вычислениям ?
Проверяли ли вы точность предложенной таблицы по тем критериям, которые я предложил.
Для каждой разности есть своя формула в зависимости от модуля М.
Все разности в ПСВ вычислины по этим формулам до $d=34$.

Откровенно, пока внимательно не смотрел, но обязательно посмотрю

Цитата:

У меня не хватило терпения найти формулы для $d=36,d=38$.
Процесс трудоемкий, а программу для вычисления я не смог составить.
Кстати, я использую среду $Borland C++ Builder$.
Вы с ней знакомы ? Что можете посоветовать.

Я в ней не работал, думаю, что проще можно сделать в Excel

Цитата:

Так вот, разности в ПСВ по модулю $23\#$ можно найти экстрополяцией,
вычислив число разностей до $d=34$ по модулю $23\#$, а
оставшиеся разности: $d=36,d=38$ найти как разность $\varphi(23\#)-N(d=36)-N(d=38)$
Я это в свое время сделал и оказалось, что в этой ПСВ есть разности $d=40.$

Это я не понял.

[vorvalm]

Объясняю, как можно найти число разностей $d=36,d=38,d=40$, не имея соответствующих формул.
Прежде всего по аналогии число разностей $2p_{r-1}$ в ПСВ по модулю $p_r$ равно 2 и будем считать,
что эти разности максимальные в данной ПСВ, т.е. в ПСВ по модулю $23\#$ - это $d=38.$ (мы пока не знаем, что есть разность $d=40$)
Теперь вычисляем число разностей от $d=2$ до $d=34$ в ПСВ по модулю $23\#$ по известным нам формулам, суммируем их,
прибавляем 2 разности $d=38$ и обозначаем $\sum d.$ Число разностей $d=36$ равно $\varphi (23\#)- \sum d.$
Продолжу в следующий раз, извините.

[vicvolf]

Спасибо! После r-ого шага решета Эратосфена мы получаем простые числа $2,3....p_r,...p_n<p^2_{r+1}$. Как найти $p_n$?

[vorvalm]

Обозначим найденное число разностей $2n,$ т.к. число разностей $d>4$ четное.
Теперь нам необходимо проверить зти разности по второму критерию. $\sum_2^{38}d\cdot N(d)=23\#.$ ($N(d)$ - число разностей $d$)
Я не буду приводить реальные числа, они достаточно большие.($23\#=223092870$)
Оказалось, что $\sum_2^{38}d\cdot N(d)<23\#.$ Значит есть разность $d>38.$ Берем ближайшую $d=40.$
Составляем неопределенное уравнение: $36x+40y=2n$
Находим натуральные решения этого уравнения.
Теперь снова проверка по второму критерию и все сошлось. $d=40$ есть в ПСВ($23\#$).

-- Сб май 26, 2012 09:18:26 --

Я извиняюсь, но среди простых чисел после $r$-го шага не может быть $p_r.$
Число $p_n$ проще всего найти по таблице простых чисел.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #576498 писал(а):

Обозначим найденное число разностей $2n,$ т.к. число разностей $d>4$ четное.
Теперь нам необходимо проверить зти разности по второму критерию. $\sum_2^{38}d\cdot N(d)=23\#.$ ($N(d)$ - число разностей $d$)
Я не буду приводить реальные числа, они достаточно большие.($23\#=223092870$)
Оказалось, что $\sum_2^{38}d\cdot N(d)<23\#.$ Значит есть разность $d>38.$ Берем ближайшую $d=40.$
Составляем неопределенное уравнение: $36x+40y=2n$
Находим натуральные решения этого уравнения.
Теперь снова проверка по второму критерию и все сошлось. $d=40$ есть в ПСВ($23\#$).

Понятно.

Цитата:

Я извиняюсь, но среди простых чисел после $r$-го шага не может быть $p_r.$

Это в ПСВ нет, а в решете есть!

[vorvalm]

Еще раз извиняюсь. Не сразу понял о чем речь.