Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm писал(а):

Вычеты ПСВ расположены симметрично относительно числа $0,5p_r\#$.

Значит действительно достаточно проверять сходимость треугольника Гильбрайта на этом интервале. А вот интересно сохраняется ли симметричность ПСВ на интервале от $p_r\#$ до $2p_r\#$ и.т.д.?

[vorvalm]

Если брать цепочку ПСВ по модулю $p_r\#$, т.е. когда за модулем $p_r\#$ следует модуль $2p_r\#$ и т.д., то в каждой отдельно взятой ПСВ все сохраняется.
В общей цепочке модулей тоже есть симметричность, только центр симметрии зависит от четности числа ПСВ.
При нечетном числе ПСВ ценр симметрии находится в цетре средней ПСВ.
При четном числе ПСВ картина меняется. Центром симметрии становится граница, разделяющая цепочку ПСВ.
Последний вариант я часто использую.
Но лучший вариант для $\Delta$ Гильбрайта я считаю $0,5p_r\#$ т.к. увеличивая модуль до $p_{r+1}\#$, мы сразу охватываем $p_{r+1}$ модулей $p_r\#$, из которых уже исключены числа, кратные $p_{r+1}$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #574945 писал(а):

Если брать цепочку ПСВ по модулю $p_r\#$, т.е. когда за модулем $p_r\#$ следует модуль $2p_r\#$ и т.д., то в каждой отдельно взятой ПСВ все сохраняется.

Я говорю о последовательности, которая получается после r-ого шага решета Эратосфена. Модуль $p_r\#$ остается без изменения. а мы рассматриваем подпоследовательность $a_n>p_r\#$. Очевидно в этом случае соотношение между расстояниями на этом интервале полностью повторяет предыдущий. Например, при модуле $p_r=5\#$ получаем ПСВ:1,7,11,13,17,19,23,29 и далее 31,37,41,43, 47,49,53,59.

[vorvalm]

Да,но во второй ПСВ появилось число, кратное 7 (49).

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #575127 писал(а):

Да,но во второй ПСВ появилось число, кратное 7 (49).

Конечно. Я же на этом шаге вычеркнул только числа кратные 2,3,5.

[vorvalm]

Кстати, если вы продолжите эту цепочку до $7p_r\#$, то числа, кратные 7 расположатся симметрично относительно центра цепочки.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #575143 писал(а):

Кстати, если вы продолжите эту цепочку до $7p_r\#$, то числа, кратные 7 расположатся симметрично относительно центра цепочки.

Интересно!

vicvolf писал(а):

получаем ПСВ:1,7,11,13,17,19,23,29 и далее 31,37,41,43, 47,49,53,59.

Кстати повторяюшаяся цепочка чисел будет с 1 по 31, с 31 по 61 (9 чисел), т.е. на одно больше чем в ПСВ, а разностей будет 8, как раз равно функции Эйлера.

[vorvalm]

И если их убрать, то получим ПСВ по модулю $p_{r+1}\#.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #575159 писал(а):

И если их убрать, то получим ПСВ по модулю $p_{r+1}\#.$

Понятно! Я там дописал сообщение.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #575155 писал(а):

Кстати повторяюшаяся цепочка чисел будет с 1 по 31, с 31 по 61 (9 чисел), т.е. на одно больше чем в ПСВ, а разностей будет 8, как раз равно функции Эйлера.

Вот здесь надо разобраться.
Согласно определения ПСВ - это числа взаимно простые с модулем и взаимно несравнимые по модулю.
Функция Эйлера определяет число таких чисел - вычетов.
Число разностей между вычетами функция Эйлера не определяет.
Это зависит от выбора интервала, на котором вы хотите определить число разностей.
Например, в ПСВ по модулю $5\#$ число вычетов 8, а разностей 7.
Но это интервал $29-1=28.$
На интервале $5\#=30$ вычетов 9, а разностей 8, т.е. совпадает функцией Эйлера.

[vicvolf]

Это ясно! Меня вот что заинтересовало: $\varphi (2)=1=2^0;\varphi (2*3)=2^1;\varphi (2*3*5)=8=2^3$, т.е степени 2, но далее $\varphi (2*3*5*7)=2^4*3;\varphi (2*3*5*7*11)=2^5*3*5$ и.т.д и больше не встречаются только степени двойки.

[vorvalm]

Вы затронули одну из проблем простых чисел.
В интернете можно бесплатно скачать монографию К.Прахара " Распределение простых чисел".
Там этому вопросу отводится целый раздел.

[vicvolf]

Еще обратил внимание, что при М=2*3*5 последовательность ПСВ на стыке модулей 23,29,31,37 и соответственно разностей на стыке модулей 6,2,6. При M=2*3*5*7 последовательность ПСВ на стыке модулей 199,209,211,221 и соответственно разностей на стыке модулей 10,2,10. Т.е всегда на стыке модулей последовательность разностей dmax,2,dmax?

[vorvalm]

Да, и это естественно, т.к. про переходе к следующему $p_r$ мы убираем $p_r$ и все числа, кратные ему.Но если вы рассмотрите эти стыки не в поседовательности ПСВ, а в ПСВ по модудю $p_{r+1}\#$, то увидете, что эти разности сохраняются, но с небольшой коррекцией. Более того, среди чисел $p_r\#\pm 1$ могут оказаться кратными $p_{r+1}$ или другим простым числам больше, чем $p_r$. Все это переносится и на интервал простых чисел ($p_{r+2}, p^2_{r+2}$).

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #575665 писал(а):

Т.е всегда на стыке модулей последовательность разностей dmax,2,dmax?

В материале о разностях ПСВ, который Вы переслали по почте Вы пишите-
На что надо обратить внимание. Максимальная разность в ПСВ по модулям до pr#<=19# равна 2p(r - 1) .
Да, это соответствует написанному выше. А дальше Вы пишите -
Некоторые разности, например 20 или 32, появляются в ПСВ позже разностей 22 и 34, и.т.д.
А это соответствует тому, что максимальная разность находится всегда на границе модулей и dmax,2,dmax справедливо для всех модулей?