Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #571294 писал(а):

Далее. Подпоследовательность $(p^2_{r+1},...N)$ состоит из вычетов ПСВ($p_r\#$), т.е. $N\leqslant p_r\#$ ?

Да. За счет вычетов ПСВ($p_r\#$), плотность общей подпоследовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена, на интервале (2,N), будет больше плотности простых чисел на том же интервале $\pi(N)$. При возрастании r плотность общей подпоследовательности будет убывать, пока при $r=k:p^2_{k+1}>N$ не достигнет нижней грани $\pi(N)$.

[vorvalm]

Это понятно. Но что из этого следует ?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #570976 писал(а):

Поэтому меня интересуют два интервала: простые числа $(p_1,..p_n<p^2_{r+1})$ с плотностью $\pi(p^2_{r+1})$ и подпоследовательность натуральных чисел: $(p^2_{r+1},....N)$ большей плотности засчет кратных большим простым числам.

Рассмотрим сходимость треугольника Гильбрайта с таким основанием. Сходимость на первом интервале (меньшей плотности) является определяющей. Если треугольник будет расходиться на первом интервале, то естественно он будет расходиться и на общей подпоследовательности. Если он будет сходиться на первом интервале, то тем более будет сходиться на общей подпоследовательности большей плотности. Поэтому для определения сходимости для общей подпоследовательности достаточно рассмотреть сходимость треугольника Гильбрайта на первом конечном интервале $(p_1,..p_n<p^2_{r+1})$, а N можно сделать больше любого наперед заданного числа. Можно показать, что треугольник Гильбрайта с таким основанием будет сходиться для достаточно больших r.

[vorvalm]

vicvolf,
я извиняюсь, но в ваших сообщениях заметил некоторое расхождение в конце последних строк:

vicvolf в сообщении #570976 писал(а):

Я простые $p_1,...p_r$ не выделяю, т.к. по плотности они не отличаюся от плотности остальных простых чисел. Поэтому меня интересуют два интервала: простые числа $(p_1,..p_n<p^2_{r+1})$ с плотностью $\pi(p^2_{r+1})$ и подпоследовательность натуральных чисел: $(p^2_{r+1},....N)$ большей плотности засчет кратных простым числам $p_1,...p_r$.

Цитата:

vicvolf в сообщении #571482 писал(а):

Поэтому меня интересуют два интервала: простые числа $(p_1,...p_n<p^2_{r+1})$ с плотностью $\pi(p^2_{r+1})$ и подпоследовательность натуральных чисел:$(p^2_{r+1},..N)$ большей плотности засчет кратных большим простым числам.

Как это понимать ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #571592 писал(а):

vicvolf,
я извиняюсь, но в ваших сообщениях заметил некоторое расхождение в конце последних строк:

vicvolf в сообщении #570976 писал(а):

Я простые $p_1,...p_r$ не выделяю, т.к. по плотности они не отличаюся от плотности остальных простых чисел. Поэтому меня интересуют два интервала: простые числа $(p_1,..p_n<p^2_{r+1})$ с плотностью $\pi(p^2_{r+1})$ и подпоследовательность натуральных чисел: $(p^2_{r+1},....N)$ большей плотности засчет кратных простым числам $p_1,...p_r$.

Цитата:

vicvolf в сообщении #571482 писал(а):

Поэтому меня интересуют два интервала: простые числа $(p_1,...p_n<p^2_{r+1})$ с плотностью $\pi(p^2_{r+1})$ и подпоследовательность натуральных чисел:$(p^2_{r+1},..N)$ большей плотности засчет кратных большим простым числам.

Как это понимать ?

В первом случае описался. На r-ом шаге решета Эратосфена кратные простым числам: $2,3,...p_r$ уже будут вычеркнуты. А что думаете по остальной части сообщения?

[vorvalm]

Надо уточнить, каким простым числам будут кратны вычеты ПСВ($p\#$).
Это очевидно $p_r<p_x<\sqrt N<\sqrt{p_r\#}$.
По-моему, надо рассматривать сходимость по другим интервалам.
1) $2, 3,...p_r$ (делители $p_r\#$);
2) $p_{r+1},.....N < p_r\#,$ т.к. этот интервал -
почти полная ПСВ (без единицы), вычеты которой подчиняются
вполне определенным закономерностям и , делая следуюший шаг $r+1,$
в первый интервал добавляется $p_{r+1},$ а второй интервал
увеличивается до $p_{r+1}\#.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #571880 писал(а):

Надо уточнить, каким простым числам будут кратны вычеты ПСВ($p\#$).
Это очевидно $p_r<p_x<\sqrt N<\sqrt{p_r\#}$.

Согласен

Цитата:

2) $p_{r+1},.....N < p_r\#,$ т.к. этот интервал -
почти полная ПСВ (без единицы)

Это не полная ПСВ, так как здесь нет не только 1, но и интервала $(N,p_r\#)$

[vorvalm]

А я и определил такую ПСВ как почти полную, если, конечно, $N>0,5p_r\#.$
Вообще, имеет ли какое-то значение величина $N$, находясь в пределах ПСВ, для определения сходимости $\Delta$ Гильберта по указанному ранее основанию ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #572417 писал(а):

Вообще, имеет ли какое-то значение величина $N$, находясь в пределах ПСВ, для определения сходимости $\Delta$ Гильбрайта по указанному ранее основанию ?

Расстояние между рядом стоящими членами рассматриваемой подпоследовательности зависит от N и r. А Вы можете указать формулу для верхней границы расстояния между рядом стоящими членами ПСВ после r шагов решета Эратосфена в зависимости от N и r?

[vorvalm]

Правильно ли я понял, что величина $N$ - плавающая, т.е. не имеет постоянного места в ПСВ ?
Что касается разностей между вычетами, то этому посвящена тема " О разностях между вычетами ПСВ"
в двух постах здесь же, но несколько выше.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #572509 писал(а):

Правильно ли я понял, что величина $N$ - плавающая, т.е. не имеет постоянного места в ПСВ ?

Да

[vorvalm]

Мне кажется, что вы усложняете себе работу, рассматривая сходимость $\Delta$ Гильбрайта по двум аргументам: $N,\;r. $
Не проще ли закрепить $N$ в ПСВ и оставить один аргумент $r.$
Я предлагаю $N=0,5p_r\#,$ т.е. использовать половину ПСВ, вычеты которой зеркально копируют вычеты второй половины.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #572509 писал(а):

Что касается разностей между вычетами, то этому посвящена тема " О разностях между вычетами ПСВ"

К сожалению, тему не нашел!

[vorvalm]

Наверное у меня не срабатывает URL, но я сделал приписку: тема находится здесь же, т.е
в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов" на стр.2 в двух постах .

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #572720 писал(а):

Наверное у меня не срабатывает URL, но я сделал приписку: тема находится здесь же, т.е
в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов" на стр.2 в двух постах .

Спасибо, посмотрю!