К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[Paganel]

schekn писал(а):

Пусть решение вашей задачи с грав. плоскостью есть $g_{00}=(1+|z|)^2$...
... тело пробивает плоскость $z=0$ и вылетает в другое полупространство. В этом случае в дырке образуется разрыв первой производной компоненты $g_{00}$, что невозможно.

В данном случае разрыв производной - дело непринципиальное. Это просто результат идеализации - пренебрежения толщиной гравитирующей плоскости и соответственно введения бесконечных поверхностных значений $T_{ij}=R_{ij}-\frac{R}{2}g_{ij}\propto \delta(z)$, что допустимо, если мы не интересуемся полем внутри гравитирующей "плоскости" и совсем рядом с ней, а также вопросами физической реализуемости такой "плоскости". Если Вам разрывы органически не нравятся, берите, например, регуляризованное гладкое $g_{00}=(1+\sqrt{z^2+a^2})^2$, где $a$ малое число, характеризующее толщину "плоскости", т.е. того тонкого слоя пространства, в котором $T_{ij}\ne 0$ и конечны (тогда, например, $T^i_i(z=0) = -2/(a^2+a)$). Вне этого тонкого слоя по-прежнему будет $g_{00}=(1+|z|)^2$, а ТЭИ и 4-кривизна равны нулю.

schekn писал(а):

у меня по-прежнему остаются большие сомнения, что наблюдателю из полупространства $z>0$ удастся узнать, что творится при $z<0$. Эти сомнения основываются на том, что мы рассматриваем все время полупространство отдельно $z>0$ и $z<0$, а при переходе от метрики, скажем, с компонентами $g_{00}=(1+|z|)^2$, -1,-1,-1 к псевдоевклидову виду отдельно в этих полупространствах возникают мертвые области.
У меня не хватает фантазии, чтобы понять, как мировая линия покоящегося тела в плоском полупространстве окажется в другом полупространстве, перепрыгнув мертвую область.

Надеюсь, Вам хватит фантазии и умения работать с уравнением геодезической, чтобы понять, что при конечной толщине слоя $a$ в $g_{00}=(1+\sqrt{z^2+a^2})^2$ гладкое продление мировой линии из области $z>0$ в область $z<0$ никаких проблем не представляет.

schekn писал(а):

в новых плоских координатах должно выполняться соотношение: $\zeta^2- \tau^2>0$. То есть все полупространство $t,x,y,0<z<+\infty$ переходит только в часть пространства $\tau,x,y,\zeta$. Поэтому и возникает вопрос: тело покоится в точке $\zeta=2$ имеет мировую линию в плоском пространстве, которая обрывается. Например точки $\zeta=2, \tau=3$ не существует в данных координатах при данном преобразовании координат.

Это обычное дело для многообразий Эйнштейна. При метрике $g_{00}=z^2$ карта, представляемая координатной сеткой $t,x,y,z$ в области $z>0$ (т.е. там, где $\det g$ не обращается в ноль), покрывает не все плоское многообразие - пространство Минковского, а только его часть. Но не составляет труда гладко склеить эту карту с другой, хотя бы частично перекрывающейся с первой и охватывающей остальное пространство. Координаты $\zeta, \tau$ дают явную конструкцию такой склейки. Карта $\zeta,\tau$ с произвольными, не связанными условием $\zeta^2- \tau^2>0$, координатами покрывает как карту $t,z$ (с $z>0$), так и вообще все пространство Минковского в целом.
Стоит помнить, что уравнения гравитации Эйнштейна локальные. Они не фиксируют глобальную геометрию 4-многообразия в целом, которая должна определяться из дополнительных условий - например, граничных. И, конечно, нельзя судить о многообразии по одной карте - без анализа ее возможных расширений (склеиваний). Нельзя из одной лишь конкретной карты $t,z$ делать глобальные выводы о геометрии пространства в целом.

[dinaconst]

epros в сообщении #548933 писал(а):

Допустим, что в лабораторной ИСО (её координаты я буду обозначать с крышечками) с ускорением вдоль координаты $\hat{x}^1$ движется малая частица массы $m$. Формула её мировой линии:

$\hat{x}^1 = \sqrt{r^2 + (\hat{x}^0)^2}$, $x^2 = x^3 = 0$, где $r$ - некая константа.

Похоже, в вашем разговоре с VladTK возникла пауза. Попробую ей воспользоваться. Меня интересует ваше мнение. Допустим, я стою на полу вашей НСО. У меня есть горсточка маленьких камешков. И время от времени я отпускаю один из камешков в свободное падение. С одним и тем же ускорением будут падать камешки каждый раз, или нет? Как Вы считаете?

[VladTK]

epros в сообщении #553706 писал(а):

VladTK в сообщении #553475 писал(а):

Вот именно - весь вопрос в "физическом смысле" суммы. А этого смысла и нет.

Вот в этом на самом деле и есть весь вопрос. И Ваш ответ на него несколько поспешен. Дело в том, что для замкнутой системы должно иметь место уравнение непрерывности:

$\partial_{j} T^{i j} = 0$ (можете считать это определением "замкнутой системы"),

кое в силу теоремы Гаусса порождает интегральное уравнение непрерывности:

$\oint T^{i j} dV_j = 0$, где $dV_j$ - дифференциальная форма, определяющая элемент трёхмерной гиперповерхности.

Обратите внимание, что эти уравнения абсолютно безразличны к тому, какова метрика пространства-времени. Так что переход к ковариантным производным в данном случае неуместен.

И второй момент, который нужно понимать: Уравнение непрерывности, а значит и понятие "замкнутости" системы, вообще говоря, ни в каком смысле не инвариантно по отношению к заменам координат. Т.е. частица, неподвижная относительно равноускоренной СО, является замкнутой системой в равноускоренной СО, но не является замкнутой системой в лабораторной ИСО.

Вот и весь "смысл". Попробуйте найти в нём что-нибудь "математически некорректного".

Ладно. Оставим на время разговор о смысле определений интегральных законов сохранения.

Очень хорошо что Вы затронули понятие "замкнутой системы". Я сам думал именно о нем в контексте Вашего примера с УСО. Рассмотрим частицу, равномерно движущуюся относительно ИСО вдоль оси $\hat{x}^1$. Уравнение траектории этой частицы имеет вид

$$ \hat{x}^1=a^1+V \hat{x}^0 $$

$$ \hat{x}^2=a^2 $$

$$ \hat{x}^3=a^3 $$

где $a_1,a_2,a_3$ - некоторые константы, $V$ - постоянная скорость частицы. Энергия частицы очевидно равна

$$ \hat{E}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-V^2}} $$

На частицу не действуют какие-либо силы и она представляет собой пример "замкнутой системы". Математически это выражается равенством

$$ \frac{\partial \hat{E}}{\partial \hat{x}^0}=0 $$

Выполним переход из ИСО в УСО. Не буду приводить все промежуточные вычисления (результат получен по Вашей формуле), а запишу конечный результат для энергии частицы в УСО

$$ E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-V^2}} \; \left( \ch{\frac{x^0}{r}}-V \sh{\frac{x^0}{r}} \right) $$

Теперь уже

$$ \frac{\partial E}{\partial x^0} \ne 0 $$

и частица не представляет собой "замкнутую систему". На частицу действует сила инерции и она испытывает ускорение, относительно неинерциального наблюдателя УСО. В соответствии с принципом эквивалентности поле сил инерции эквивалентно гравитационному полю. Т.е. можно говорить, что частица меняет свою энергию под действием этого гравитационного поля.

Сначала задам легкий "разминочный" вопрос. Какие источники порождают это поле?

Теперь вопрос посерьезней. Если частица в УСО не представляет собой "замкнутую систему", то система "частица $+$ гравитационное поле" должна быть уже замкнутой. Т.е. полная энергия такой системы должна сохраняться со "временем" $x^0$. Отсюда следует, что изменение энергии частицы за некоторый промежуток "времени" $\Delta x^0=x^0(2)-x^0(1)$ (здесь 1 и 2 обозначают разные моменты "времени"), будет равно по величине и противоположно по знаку изменению энергии гравитационного поля. Можете ли Вы показать, что все в реальности так и есть? Я Вам сразу помогу чем могу. Ковариантный метрический тензор в УСО равен

$$ g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} \left( \frac{x^1}{r} \right)^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

а определитель метрики $(-g)=\left( \frac{x^1}{r} \right)^2$. Теперь выберем псевдотензор гравитационного поля. Вы какой предпочитаете? Ландау-Лифшица (ЛЛ)? Ну давайте его. Ненулевые компоненты соответствующего суперпотенциала Фрейда равны

$$ \psi^{221}=\psi^{331}=-\psi^{212}=-\psi^{313}=\frac{x^1}{\kappa r^2} $$

где $\kappa$ - постоянная Эйнштейна. Отсюда можно получить и ненулевые компоненты псевдотензора ЛЛ

$$ t^{22}=t^{33}=\frac{1}{\kappa (x^1)^2} $$

К сожалению компонента $t^{00}$ у псевдотензора ЛЛ нулевая, а потому меняться со "временем" она не способна. Тогда может возьмем псевдотензор Меллера? Считаем опять сначала ненулевые компоненты суперпотенциала Меллера

$$ \psi^{001}=-\psi^{010}=\frac{r}{\kappa (x^1)^2} $$

а потом можно сразу получить и 4-импульс поля по формуле

$$ P^{\mu}=\frac{1}{c} \oint \psi^{\mu 0 \alpha} d f_{\alpha} $$

Интеграл для $P^0$ к сожалению расходится. Можете epros прояснить ситуацию?

[schekn]

epros в сообщении #553887 писал(а):

Какие проблемы?

А проблемы в том, что времениподобная материальной точки в координатах t,z непрерывная и ее можно нарисовать как до удара о плоскость, так и после, а то же самое событие в координатах $\zeta, \tau$ имеет разрывную времениподобную. Я даже нарисовать ее не берусь. Поэтому у меня сомнения в правомерности таких преобразований, пока Вы не восстановили всю область $\zeta, \tau$.

-- 01.04.2012, 10:12 --

[quote="Paganel в [url=http://dxdy.ru/post553944.html#p553944]

Цитата:

Надеюсь, Вам хватит фантазии и умения работать с уравнением геодезической, чтобы понять, что при конечной толщине слоя $a$ в $g_{00}=(1+\sqrt{z^2+a^2})^2$ гладкое продление мировой линии из области $z>0$ в область $z<0$ никаких проблем не представляет.

Вот появился еще один вид метрики. Только я начал критиковать вид $g_0_0=z^2$ мне предложили
$g_0_0=(1+|z|)^2$, теперь Вы даете третий. Уж как-то надо определиться. Я могу ответить Вам также как и Epros. Уже во втором случае времениподобная события при отскоке тела от поверхности z=0 - непрерывная в координатах t,z - проблем нет и я ее качественно нарисовал, а вот то же самое в координатах $\zeta, \tau$ вызывает проблемы, поскольку есть мертвые области. Она рвется. Если бы удалось восстановить всю область в этих "плоских" координатах, хотя бы при $\zeta$>0 , то я бы согласился с Someone об устранимой гравитации , как он ее определил.

[Someone]

schekn в сообщении #554390 писал(а):

А проблемы в том, что времениподобная материальной точки в координатах t,z непрерывная и ее можно нарисовать как до удара о плоскость, так и после, а то же самое событие в координатах $\zeta, \tau$ имеет разрывную времениподобную. Я даже нарисовать ее не берусь. Поэтому у меня сомнения в правомерности таких преобразований, пока Вы не восстановили всю область $\zeta, \tau$.

schekn, я сделаю последнюю попытку наставить Вас не путь истинный. Если это идиотствование будет продолжаться, Вы перестанете для меня существовать.

Вы когда-нибудь, хотя бы в школьные годы, склеивали из бумаги модель куба? Или другого многогранника? Обычно вырезают эдакую крестообразную фигуру из шести одинаковых квадратов (развёртку куба), сгибают её и склеивают поверхность куба. Представьте себе, что по поверхности склеенного куба ползёт муравей и переползает с одной грани на другую в том месте, где имеется склейка. Нарисуем его путь на поверхности куба, а потом "расклеим" эту поверхность и развернём опять в плоскую крестообразную фигуру. Как будет выглядеть путь муравья на этой развёртке? Да именно так же "устрашающе": муравей доползает до края и ... О ужас! Тут же дырка! Склеивание куба из развёртки совершенно неправомерно и вызывает непреодолимые сомнения! Пока отсутствующую область не восстановят, ни за что не признаем это склеивание законным!!!

В обсуждаемом примере области $D_1$ и $D_2$ - это такая же развёртка пространства-времени гравитирующей плоскости.

-- Вс апр 01, 2012 11:20:14 --

schekn в сообщении #554390 писал(а):

Только я начал критиковать вид $g_0_0=z^2$ мне предложили
$g_0_0=(1+|z|)^2$, теперь Вы даете третий. Уж как-то надо определиться.

Дык, хотите, предложим двадцать третий?

[schekn]

Munin в сообщении #553879 писал(а):

schekn в сообщении #553843 писал(а):

А вот это я и не могу понять.

А как из листа бумаги сделать колпак, вы можете понять? Нужно вырезать сектор, и склеить его края - тогда получится конус. В этом конусе никаких "мёртвых областей" нет. Но если лист бумаги в клеточку, то видно, что клеточки плохо соединяются в месте склейки. Это чисто координатное свойство.

Я Вас понял, но пока что-то не склеивается, чтобы времяподобная была непрерывная. Алия пыталась, но тоже не получилось.

-- 01.04.2012, 10:27 --

[quote="Someone в сообщении #554398

Цитата:

В обсуждаемом примере области $D_1$ и $D_2$ - это такая же развёртка пространства-времени гравитирующей плоскости.

Вы запутали ситуацию вырезанием и склеиванием пространства Минковского , что является чудовищной глупостью и никак это не хотите признать.

[epros]

dinaconst в сообщении #554351 писал(а):

С одним и тем же ускорением будут падать камешки каждый раз, или нет?

С одним и тем же.

VladTK в сообщении #554378 писал(а):

Сначала задам легкий "разминочный" вопрос. Какие источники порождают это поле?

Вопрос неправильный. Поле не обязано иметь источники.

VladTK в сообщении #554378 писал(а):

Если частица в УСО не представляет собой "замкнутую систему", то система "частица $+$ гравитационное поле" должна быть уже замкнутой. Т.е. полная энергия такой системы должна сохраняться со "временем" $x^0$.

Правильно.

VladTK в сообщении #554378 писал(а):

Ковариантный метрический тензор в УСО равен

$$ g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} \left( \frac{x^1}{r} \right)^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

а определитель метрики $(-g)=\left( \frac{x^1}{r} \right)^2$. Теперь выберем псевдотензор гравитационного поля.

И сразу ошиблись. Говоря о законе сохранения, нельзя пренебрегать полем, создаваемым частицей, и рассматривать только внешнее гравитационное поле. Нужно посчитать суммарное поле: внешнее поле плюс поле самой частицы, найти энергию для него и убедиться, что её изменение равно изменению кинетической энергии частицы.

schekn в сообщении #554390 писал(а):

А проблемы в том, что времениподобная материальной точки в координатах t,z непрерывная и ее можно нарисовать как до удара о плоскость, так и после, а то же самое событие в координатах $\zeta, \tau$ имеет разрывную времениподобную.

Неправда, мировая линия частицы непрерывно продолжается после столкновения с плоскостью, в любых координатах. Нужно только понимать, что указанные Вами координаты соответствуют ИСО только в области $z>0$, т.е. до плоскости. На другой стороне плоскости они не будут координатами ИСО, а метрика там не будет иметь галилееву форму.

[VladTK]

epros в сообщении #554408 писал(а):

VladTK в сообщении #554378 писал(а):

Сначала задам легкий "разминочный" вопрос. Какие источники порождают это поле?

Вопрос неправильный. Поле не обязано иметь источники.

Вопрос правильный. Как и Ваш ответ.

epros в сообщении #554408 писал(а):

VladTK в сообщении #554378 писал(а):

Ковариантный метрический тензор в УСО равен

$$ g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} \left( \frac{x^1}{r} \right)^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

а определитель метрики $(-g)=\left( \frac{x^1}{r} \right)^2$. Теперь выберем псевдотензор гравитационного поля.

И сразу ошиблись. Говоря о законе сохранения, нельзя пренебрегать полем, создаваемым частицей, и рассматривать только внешнее гравитационное поле. Нужно посчитать суммарное поле: внешнее поле плюс поле самой частицы, найти энергию для него и убедиться, что её изменение равно изменению кинетической энергии частицы.

Я не ошибся. Метрика пространства-времени нами задана и от перехода в УСО не меняется. Потому никакой self-gravitation частицы у нас нет по условию задачи. Но если Вы хотите, то можете учитывать и этот фактор Особенно мне интересно как Вы его с ИСО совместите. Вообщем, покажите расчет в каком-нибудь виде (если это конечно возможно).

[schekn]

Paganel в сообщении #553944 писал(а):

schekn писал(а):

Это обычное дело для многообразий Эйнштейна. При метрике $g_{00}=z^2$ карта, представляемая координатной сеткой $t,x,y,z$ в области $z>0$ (т.е. там, где $\det g$ не обращается в ноль), покрывает не все плоское многообразие - пространство Минковского, а только его часть. Но не составляет труда гладко склеить эту карту с другой, хотя бы частично перекрывающейся с первой и охватывающей остальное пространство. Координаты $\zeta, \tau$ дают явную конструкцию такой склейки. Карта $\zeta,\tau$ с произвольными, не связанными условием $\zeta^2- \tau^2>0$, координатами покрывает как карту $t,z$ (с $z>0$), так и вообще все пространство Минковского в целом.
Стоит помнить, что уравнения гравитации Эйнштейна локальные. Они не фиксируют глобальную геометрию 4-многообразия в целом, которая должна определяться из дополнительных условий - например, граничных. И, конечно, нельзя судить о многообразии по одной карте - без анализа ее возможных расширений (склеиваний). Нельзя из одной лишь конкретной карты $t,z$ делать глобальные выводы о геометрии пространства в целом.

Кажется склеилось. (неаккуратно нарисовал гиперболу). Вроде теперь все геодезические непрерывные и там и там.

[Someone]

schekn в сообщении #554399 писал(а):

Вы запутали ситуацию вырезанием и склеиванием пространства Минковского , что является чудовищной глупостью и никак это не хотите признать.

Вы оказались единственным человеком, кто в этом запутался. Остальные поняли сразу и возражений против конструкции не имели.

[epros]

VladTK в сообщении #554432 писал(а):

Потому никакой self-gravitation частицы у нас нет по условию задачи.

Если нет гравитации частицы, то нет и замкнутой системы.

VladTK в сообщении #554432 писал(а):

Особенно мне интересно как Вы его с ИСО совместите.

Никак не совмещу. Закон сохранения для системы, включающей гравитацию, выводится в ОТО, а не в СТО.

VladTK в сообщении #554432 писал(а):

Вообщем, покажите расчет в каком-нибудь виде (если это конечно возможно).

Для частицы, свободно падающей в равноускоренной СО, пожалуй, будет сложновато. Но уравнение $\partial_{j} (T^{i j} + t^{i j}) = 0$ никто не отменял.

[VladTK]

epros в сообщении #554537 писал(а):

VladTK в сообщении #554432 писал(а):

Потому никакой self-gravitation частицы у нас нет по условию задачи.

Если нет гравитации частицы, то нет и замкнутой системы.

Для учета воздействия ускорения СО на частицу учет ее самогравитации в первом приближении не требуется. Так что забудем о самогравитации.

epros в сообщении #554537 писал(а):

Для частицы, свободно падающей в равноускоренной СО, пожалуй, будет сложновато. Но уравнение $\partial_{j} (T^{i j} + t^{i j}) = 0$ никто не отменял.

Кстати, Вы не ответили на вопрос о выборе псевдотензора $t^{i j}$. Какой выбираете? А то ведь тот же псевдотензор ЛЛ имеет $t^{00}=t^{01}=t^{02}=t^{03}=0$. Надо бы еще проверить соотношение $\partial_{0} T^{00} + \partial_{1} T^{01} = 0$...

[tasfinder]

Раз уж здесь в теме все хорошо ориентируются в вопросах ОТО, хотел задать вопрос который очень подходит к названию темы. Прошу высказать мнение о гипотезе, которую читал не так давно, не помню где, но могу в общих чертах рассказать своими словами. Речь идет о равенстве гравитационной и инерционной массы и там их отношение объясняется на первый взгляд просто и логично.
Суть в том, что автор для начала задается вопросом - откуда возникает такая большая разница в энергии гравитационного и других взаимодействий, например для электростатического она составляет 42 порядка, и из каких физическими параметров можно получить столь огромное число. Вариантов не так много, и один из них это отношение массы вселенной например к массе атома. Дальше развивается мысль- Вселенная, обладая массой, создает гравитационное поле, имеющее какой-то потенциал в каждой точке. Любой предмет имеющий массу (гравитационную) соответственно находясь в этом потенциальном поле обладает огромной потенциальной энергией, и обладая энергией неизбежно имеет массу инерционную, как мы видим из релятивистских эффектов.
Потом делается численная оценка и действительно вроде получается результаты примерно нужного порядка.
На мой непритязательный взгляд все выглядит очень логично, так что мне интересно мнение всех присутствующих.
Если вопрос слишком выбивается из обсуждения тензоров ЭИ, то прошу модератора перенести вопрос в детский раздел.

[dinaconst]

epros в сообщении #554408 писал(а):

dinaconst в сообщении #554351 писал(а):

С одним и тем же ускорением будут падать камешки каждый раз, или нет?

С одним и тем же.

Хочется Вам верить. Может, Вы добавите еще пару слов для убедительности? Ведь, как-никак, третья производная от минковской пространственной координаты по временной зависит от временной. Почему на камешках-то это никак не сказывается?

epros в сообщении #554408 писал(а):

VladTK в сообщении #554378 писал(а):

Ковариантный метрический тензор в УСО равен

$$ g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} \left( \frac{x^1}{r} \right)^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

а определитель метрики $(-g)=\left( \frac{x^1}{r} \right)^2$. Теперь выберем псевдотензор гравитационного поля.

И сразу ошиблись.

К какой математике в цитате из VladTK, или к каким словам в цитате относятся ваши слова? Поясните, пожалуйста.

epros в сообщении #554408 писал(а):

Говоря о законе сохранения, нельзя пренебрегать полем, создаваемым частицей, и рассматривать только внешнее гравитационное поле. Нужно посчитать суммарное поле: внешнее поле плюс поле самой частицы, найти энергию для него и убедиться, что её изменение равно изменению кинетической энергии частицы.

Свою точку зрения на необходимость использования ЗСИ в задачах, подобных разбираемой в данном случае (свободная пробная частица в ИСО), я тут в теме "озвучивала". Это я к тому, что я лицо заинтересованное, что мне было интересно, куда приведут VladTK его рассуждения. Но Вы придумали ему, извините, какое-то совершенно непонятное "нельзя", сбивающее его от намеченного пути в сторону поиска оснований (которые мне, кстати, тоже не видны) для этого "нельзя". Зачем? Пусть дойдет до конца. Там и будут видны все льзя и нельзя, мне кажется.

[epros]

VladTK в сообщении #554570 писал(а):

Для учета воздействия ускорения СО на частицу учет ее самогравитации в первом приближении не требуется. Так что забудем о самогравитации.

Для расчёта движения пробной частицы не требуется, а для расчёта изменения энергии гравитационного поля - требуется.

Вообще, очень странно рассчитывать изменение энергии гравитационного поля, обусловленное пролётом частицы, исходя исключительно из внешнего поля, которое от частицы не зависит.

VladTK в сообщении #554570 писал(а):

Кстати, Вы не ответили на вопрос о выборе псевдотензора $t^{i j}$. Какой выбираете?

Во-первых, без разницы - в силу калибровочности. Во-вторых, как я уже сказал, неправильно считать псевдотензор только для внешнего поля. Внешнее поле не зависит от частицы, поэтому и его энергия не будет зависеть от того, как и куда летит частица. Нужно наложить поле частицы на внешнее поле и посчитать энергию для суммы, вот она будет зависеть от того, как и куда летит частица.